3.3.5 Последовательный симплексный метод

В этом методе условия опытов определяются в факторном пространстве координатами вершин симплексов (обычно применяют правильные симплексы).

Правильным симплексом называется правильный выпуклый многогранник, имеющий К+1 вершину в К-мерном факторном пространстве.

Для К=2 факторное пространство - плоскость, правильный симплекс -равносторонний треугольник.

Для К=3 в трёхмерном факторном пространстве правильным симплексом является тетраэдр.

Для К>3 симплекс представляет собой гипертетраэдр в К-мерном гиперпространстве.

Поиск оптимума симплексным методом начинается с построения начального симплекса в окрестности начальной точки. При этом размер симплекса выбирают, руководясь следующими соображениями:

слишком большая величина ребра симплекса приведёт к грубому решению задачи, слишком мелкий симплекс потребует выполнения большого количества опытов.

Ориентация начального симплекса в факторном пространстве в общем случае произвольна, однако для упрощения построений и вычислений рекомендуется одну из сторон симплекса ориентировать параллельно одной из координатных осей факторного пространства.

Проведя опыты в соответствии с координатами вершин начального симплекса, находят вершину, давшую наихудший результат, и строят следующий симплекс путем зеркального отражения этой вершины относительно противоположной грани.

Проведя опыт в соответствии с координатами новой вершины, снова находят вершину, давшую наихудший результат в достроенном симплексе, и продолжают последовательное достраивание симплексов описанным способом, проводя в каждом симплексе, начиная со второго, уже только один опыт.

Некоторые осложнения могут возникнуть, когда симплекс попадёт на гребень поверхности отклика и начнёт колебаться, поскольку отражение вершины, давшей худший результат, приводит к возврату на отражённую вершину предыдущего симплекса.

Для устранения колебаний следует исключить в последнем симплексе вершину с наихудшим результатом (опыт 5 на рисунке) и отражать наихудшую из оставшихся (опыт 6).

Если этот прием не устраняет колебания - делается вывод о достижении области оптимума. Другим признаком близости оптимума является вращение симплекса вокруг одной из вершин (на рисунке вершина 10). В обоих случаях либо останавливают процесс и считают оптимальным сочетанием значений факторов координаты вершины, давшей наилучший результат, либо продолжают поиск в её окрестности, уменьшив размер симплекса с целью уточнения результата.

Нетрудно видеть, что алгоритм достраивания симплексов предусматривает продвижение в факторном пространстве в сторону, противоположную областям, дающим наихудший результат. Благодаря этому реализация ПСМ обеспечивает последовательное улучшение критерия оптимизации.

Другим важным положительным качеством ПСМ является его устойчивость к погрешностям. Это объясняется тем, что допустимые погрешности измерения, как правило, не оказывают влияние на результат качественного анализа при выборе наихудшей вершины симплекса, а грубый промах вызывает временное отклонение поиска, которое затем «автоматически» возвращается к истинному направлению.

Не менее важным преимуществом ПСМ по сравнению с градиентным методом является его адаптивность к свойствам объекта (форме поверхности отклика), обеспечивающая как бы «автоматическую» корректировку направления поиска в процессе эксперимента с гарантированным выходом в зону оптимума.

Недостатком является несколько замедленное по сравнению с градиентным методом продвижение к цели, особенно при неудачном выборе размера симплекса.

В целом, по совокупности достоинств и недостатков можно сказать, что ПСМ занимает промежуточное положение между методом Гаусса-Зайделя и градиентным методом.