2.3 Функция распределения
Применение дифференциальной формы закона распределения для оценки вероятности отказа оборудования на заданном временном интервале не очень удобно, поскольку для этого требуется интегрировать теоретическую плотность вероятностей. Проще для решения этой задачи применить интегральную форму закона, которая называется функцией распределения:
Эта функция безразмерна. Она равна вероятности того, что отказ оборудования случится до наступления заданного момента x=A.
Если выборка наблюдений за наработками на отказ имеет границы от A до B, то при всех заданных значениях x<A вероятность отказа будет равна 0, а при всех значениях x>B вероятность отказа будет равна 1.
При изменении заданного значения X от A до B вероятность отказа будет увеличиваться от 0 до 1 при любом законе распределения, однако характер этого изменения будет зависеть от вида закона, как это показано на рисунке.
С помощью функции распределения можно достаточно просто решать практические задачи, связанные с оценкой надёжности оборудования.
Допустим, корабль готовится к длительному рейсу, который начнётся в момент времени t1 и закончится в момент времени t2. Главный механик хочет оценить вероятность отказа во время рейса агрегата YYY, для которого имеется функция распределения отказов, показанная ниже.
Эту
задачу можно решить следующим образом:
2.4 Корреляционный анализ
Допустим, что накопленные статистические данные представляют собой массив не одиночных, а парных наблюдений:
Параметр Х |
X1 |
X2 |
. . . |
Xi |
. . . |
XN |
Параметр Y |
Y1 |
Y2 |
. . . |
Yi |
. . . |
YN |
При этом возникают 3 вопроса:
имеется ли какая-то функциональная взаимосвязь параметров X и Y?
если да, то каким видом функции она может быть выражена?
какие численные значения должны быть у коэффициентов этой функции?
На первый и второй вопросы можно ответить с помощью корреляционного анализа, на второй и третий – с помощью регрессионного анализа.
Корреляционный анализ называют парным, если сопоставляются два ряда наблюдений, и множественным, если число параметров больше двух. Мы ограничимся рассмотрением парного анализа.
Первым этапом парного корреляционного анализа обычно является попытка установить наличие линейной взаимосвязи параметров. Для этого вычисляют коэффициент линейной корреляции по формуле:
Диапазон изменения коэффициента линейной корреляции: 0 ≤ r ≤ 1. Чем больше величина коэффициента, тем ближе функциональная взаимосвязь параметров к линейной.
На приведённых графиках точки соответствуют заданным сочетаниям значений параметров X и Y, а прямые линии отображают возможную линейную взаимосвязь параметров:
Каким образом можно однозначно ответить на вопрос: можно считать связь параметров линейной, или нельзя?
Строгий анализ можно выполнить путём оценки значимости коэффициента линейной корреляции с помощью критерия Стьюдента. На практике часто используют упрощённый метод оценки: если r ≥ 0,8 - можно считать, что между параметрами X и Y имеется линейная зависимость, конкретные коэффициенты которой можно определить с помощью регрессионного анализа.
Что делать, если оказалось, что линейной функцией нельзя корректно описать взаимосвязь параметров X и Y? В этом случае можно использовать метод преобразования параметров для поиска другого вида функциональной зависимости.
Например, можно ввести функции U = k1lnX V = k2·sinY и провести парные корреляционные анализы по приведённой ниже схеме:
-
Если в результате получилось, что самый большим и значимым оказался, например, коэффициент r5, это означает, что функциональная взаимосвязь параметров может иметь следующий вид: X = k2sinY
Вариантов таких дополнительных функционалов может быть огромное множество, поэтому такой поиск может быть выполнен только с помощью специальных компьютерных программ.