Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами:

1 способ. а) Пусть А – событие, что среди извлеченных три раза шаров окажется ровно два белых. Обозначим через В событие, что при однократном извлечении шар будет белым, тогда ему противоположное событие - шар будет черным. Событие А можно представить в виде:

, где

- первый и второй раз извлекли белый шар, а третий раз – черный; – первый и третий раз извлекли белый, а второй раз черный; – первый раз извлекли черный шар, а второй и третий раз – белый.

Так как слагаемые в А – несовместные события и каждое из произведений состоит из независимых событий, то по теоремам сложения и произведения вероятностей, получим:

.

По условию задачи в урне (n+1) шаров черного цвета. Пусть n=3, тогда в урне n+1=3+1=4 черных шара. Всего в урне: 3 белых +4 черных = 7 шаров. Так как после извлечения и определения цвета шар возвращается в урну, то вероятность события В – извлечен белый шар постоянная в каждом испытании. (всего шаров семь, благоприятствующих случаев 3 – белых). Тогда

и

б) Пусть С – событие, что среди извлеченных с возвращением три раза шаров не менее двух белых. Событие С можно представить в виде:

(А – среди извлеченных два белых, а – три раза извлекли белые шары). Снова применим теоремы сложения несовместных событий и произведения независимых событий:

2 Способ.

Как отмечали, что извлечение шаров с возвратом – независимые испытания и в каждом испытании вероятность события В – извлечен белый шар, постоянна (и при n=3 , ), то имеем испытания Бернулли. Вероятности можно вычислять по формуле Бернулли:

Здесь k означает, что белый шар будет извлечен k раз из шаров, число сочетаний из по k.

По условию задачи: а) имеем: ,

б) вероятность того, что из трех извлеченных шаров окажется не менее двух белых (т.е. два или три белых шара)

Задача 12.2.1.

В урне находиться (m+2) белых и (n+2) черных шара. Три шара последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

Решение:

Пусть А – случайное событие, что третий по счету извлеченный шар белый. Это событие можно представить как сумму четырех несовместных событий:

– первый, второй и третий шары белые;

- первый шар черный, второй и третий белые;

- первый и второй шары черные, третий – белый;

- первый и третий шары белые, второй – черный.

А = + + +

По формуле суммы несовместных событий:

P(А) = P +P +P +P

В каждом слагаемом события между собой зависимы, так как шары после извлечения в урну не возвращаются. Пусть m=5, n=2. Тогда в урне m + n = 5 + 2 = 7 белых шаров и n + 2 = 2 + 2 = 4 черных шаров. Всего шаров 7+4=11. Будем использовать классическое определение вероятности и теорему умножения для зависимых событий:

(всего шаров 11, 7 – белых)

(после извлечения первого белого шара в урне остается 10 шаров, среди которых 6 белых)

(после извлечения первого и второго белых шаров, в урне осталось 9 шаров, среди которых 5 белых)

Таким образом имеем:

Аналогично рассуждая, получим: