7.9. Аттракторы

Рис. 7.1. Изображение аттракторов на фазовых диаграммах.

Точки, притягивающие траекторию развивающейся динами­ческой системы, получили название аттракторов (от англий­ского attract — привлекать, притягивать). Кроме аттрактора типа «центр» (рис. 7.1, а) могут быть такие точки типа «фокус» (рис. 7.1, б), аттрактор с потерей энергии, диссипацией ее и типа «седло» (рис. 7.1, в). Из этих рисунков видно, что траектории притягиваются, но не пересекаются. Такой анализ на ранней стадии позволяет прогнозировать поведение исследуемой систе­мы. Из аттрактора типа «седло» уже можно сделать вывод, что траектории могут и расходиться. Такие точки с расходящимися траекториями получили название странных аттракторов (тер­мин ввели математики Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 г.). Стран­ный аттрактор — это, по существу, математический образ слож­ного движения, как выяснилось, именно в нелинейных дис- сипативных динамических системах. Странность аттрактора заключается в том, что в отличие от обычного аттрактора, кото­рый характеризует устойчивость динамической системы, все тра­ектории вокруг него динамически неустойчивы, и эта неустой­чивость проявляется в перемешивании траекторий в фазовом

пространстве. Отсюда появляется и третье преимущество фазо­вого пространства, связанное с вышеизложенным: в нем можно анализировать не только линейные, но и нелинейные динамиче­ские системы. Примером аттрактора может быть поток быстро­текущей воды в горных реках через камень. Струйки воды постоянно меняют траектории движения, но поток в целом устойчив на поверхности камня, и не выходит за определенные пределы.

Согласно теории об устойчивости движения можно судить по знаку производной функции, описывающей это движение вбли­зи экстремальной точки. Если смена знака первой производной определяет характер устойчивости, то при одних значениях па­раметров система устойчива, а при других — может наступить переход от устойчивого характера движения к неустойчивому, в общем случае — от одного режима к другому.

Можно ввести величину критического порогового параметра, когда система переходит в другое состояние, меняет характер ди­намического поведения при изменении управляющего парамет­ра, которым, по существу, является рассмотренная ранее бифур­кация.

Проблемой устойчивости решений уравнений динамики за­нимается раздел математики, называемый теорией катастроф [35], которая определяет скачкообразное изменение («катастро­фу») параметров системы как ее внезапный ответ на плавные и малые изменения внешних условий, что и ведет к потере устой­чивости движения. С позиции математики — это обобщение оп­ределения экстремума исследования функции на случай многих переменных. Для разработки такой теории один из ее основопо­ложников французский ученый Р. Том привлек топологическую концепцию структурной устойчивости. Теория катастроф объяс­нила зависимость экспериментально наблюдаемых форм неус­тойчивости от числа управляющих параметров. Если функция, описывающая движение, — полином со степенью больше еди­ницы, то на бифуркационной диаграмме появляется несколько ветвей, часть из которых могут быть неустойчивыми. Происхо­дит срыв, «катастрофа» — резкое переключение динамической системы из одного режима в другой при небольшом изменении управляющего параметра, причем этот переход может быть из устойчивого состояния как в устойчивое состояние, так и в не­устойчивое. В таком понимании «катастрофа» и есть бифурка­ция.

X — управляющий параметр).

Происходящие в системе процессы, ее эволюция как рост разнообразия или увеличение числа функциональных единиц изображаются на бифуркационной диаграмме ветвями (рис. 7.2). Изменяя управляющий параметр на такой диаграмме, мы меня­ем состояние системы, причем параметр может быть отличным для разных систем (физических, химических, биологических или социальных) и структур — это и время, размер, скорость реак­ции, рост ткани, стимул поведения и т. д. Когда значение управ­ляющего параметра достигает критического значения, система попадает в точку бифуркации, наступает «катастрофический» срыв и система переходит в другое, раздвоенное состояние. Точки бифуркации — это точки ветвления линий поведения системы. Сплошным линиям на бифуркационных диаграммах соответст­вуют устойчивые состояния, устойчивое развитие; пунктирам — неустойчивые состояния. Причем ветвлений может быть много в зависимости от сочетания состояния системы и управляющих параметров. Такое поведение широко распространено в явлени­ях природы и техники: от полярных сияний и радуги в небе до опрокидывания буровых или нефтяных платформ на морском шельфе, от огромных нашествий саранчи до потери управления летательными аппаратами, в том числе и ракетами и др.

Таким образом, под точкой бифуркации понимается состоя­ние рассматриваемой системы, после которого возможно некото­рое множество вариантов ее дальнейшего развития. На бытовом уровне примерами бифуркации могут служить: выбор спутника жизни, ситуации выбора учебного заведения и т. д. Наглядный образ бифуркации дает картина В. М. Васнецова «Рыцарь на рас­путье».

В дополнение к рассмотренным примерам существования ат­тракторов и бифуркаций можно привести и другие из явлений природы, техносферы, социологии и экономики. Природный электрический разряд в атмосфере Земли — молния имеет вид зигзагообразных вспышек, точки поворота которых тоже есть бифуркации. Усталость металла в машинах и механизмах и по­следующая их поломка — накопление дефектов и смена упоря­доченного состояния на неупорядоченное — это тоже бифурка­ция и возникновение странных аттракторов, расходящихся тра­екторий процессов (не предсказуемо, где сломается, прорвется).

В социально-экономических системах для быстрого экономи­ческого роста нужно крупное первоначальное вложение капита­ла (толчок), для развития частного предпринимательства жела­тельно, чтобы рост капитала был экспоненциально пропорцио­нален капиталу, т.е. выполнялся закон нелинейного роста. Жесткий закон конкуренции, отбор и выживание сильнейших дают устойчивые формы социальной организации, но диссипа- тивные процессы, связанные с усилением беспорядка, хаоса в момент неустойчивости (бифуркации), требуют учета структуры — аттракторов в своем развитии. Для России характерны обе тен­денции: нелинейность экономического роста и кризиса, а также развития рыночных механизмов.

В советский период эта нелинейность была связана с пред­почтением военного производства, что и привело к падению эф­фективности экономики, многочисленным дефицитам в граж­данских областях, чрезмерным затратам на военные научные ис­следования, растрате природных ресурсов (как и сейчас!), резкому возрастанию антропогенных катастроф. Однако разви­тие России после 1991—1993 гг. показывает ущербность и одно­сторонней либеральной экономической самоорганизации, при­нявшей во многом криминальный характер. Сильное сокраще­ние оборонных производств и попытка поставить гражданские отрасли вне государственного регулирования привели к новому кризису. Введение отношений частной собственности и стремле­ние «новых русских» к максимальной прибыли без контроля со стороны государства ведут к этому новому кризису. В нерегули­руемом обществе экономическая деятельность приводит лишь к криминалу, сокрытию доходов. Такого рода «самоорганизация без границ» в обществе, как и жесткая плановая экономика, ве­дут к срыву, катастрофе.

В политической структуре общества также возможна самоор­ганизация (самоуправление) вплоть до локальных гражданских систем и даже с представлением политических и экономических инициатив рядовым гражданам. Однако многие демократиче­ские идеалы (многопартийность, мажоритарный принцип из­брания властей, либерализация экономики и т.д.) оказались социально не эффективными из-за отсутствия настоящей само­организации на местах. Именно поэтому и возникают точки би­фуркации в развитии социума, угрожая его деградацией, распа­дом. В связи с этим возрастает необходимость понимания роли самоорганизации для повышения оптимальных качеств со­циума.

Можно привести примеры и из области психологии. Вы пом­ните не очень давние российские очереди за дефицитным това­ром? Если хвост очереди невелик, товара достаточно, то напря­жение невелико и система находится на участке устойчивого равновесия. Это означает, что в очереди сохраняется порядок, благодаря которому каждому достается равная с остальными до­ля. Любые попытки отдельных несознательных граждан обойти порядок естественным образом пресекаются — равновесие в системе устойчиво. А что произойдет, если продавец объявит о том, что торговля подходит к концу? Напряжение в очереди рез­ко возрастет, система окажется в состоянии неустойчивого рав­новесия — стоит только кому-нибудь одному попытать счастья в обход очереди, как это произведет эффект детонатора — порядок оказывается безвозвратно утерянным, система разделяется на группы: одной, благодаря их физической силе и наглости, доста­нется все, другая окажется оттесненной. При чрезмерном напря­жении состояние «порядка» в очереди становится неустойчивым.

Можно рассмотреть с этой точки зрения и историческую си­туацию. В 1380 г. на Куликовом поле сошлись полки Древней Руси и войско степных кочевников, державших уже три века княжества Руси под своим игом. Битва длилась долгое время, не принося никому преимущества. Напряжение нарастало, но па­ритет противоборствующих сторон сохранялся. Когда напряже­ние достигло высшей точки (бифуркации!), неожиданно появил­ся засадный полк русского князя, внесший замешательство в ла­герь противника и обратил противника в бегство.

Интересно здесь, что сам по себе засадный полк не представ­лял значительной силы. Если бы он участвовал в битве с самого начала или был бы введен в бой раньше времени, то не оказал, скорее всего, никакого влияния на результат, Все дело оказалось в том, что этот полк был задействован именно в тот момент, когда система оказалась за критической точкой, в состоянии не­устойчивого равновесия. Он оказался тем малым управляющим параметром, который и вызвал резкий перелом событий в систе­ме противоборствующих сторон.

Даже к такому прекрасному чувству, как любовь, можно при­менить понятия синергетики и теории катастроф. Если объект ваших воздыханий находится в состоянии душевного покоя, никакое ухаживание не даст желаемого результата — легкая сим­патия, не больше. Вы встретили человека и полюбили его с пер­вого взгляда. Как вам добиться взаимности? Сразу начинать «завоевывать» его? Это не обещает ничего хорошего для вас. Действительно, если объект ваших мечтаний к вам абсолютно равнодушен, то даже сверхусилия не приведут к сколько-нибудь значительной симпатии к вам с его стороны — ваши отношения не отклоняются от среднего нейтрального положения. Другое дело, если вам удалось сначала вывести полюбившегося вам че­ловека из равновесия. Кстати, мальчишки с этой целью в юном возрасте дергают девочек за косички, бросаются снежками и т.п., еще неосознанно стараясь таким образом обратить на се­бя их внимание. В зрелом возрасте мужчина — опытный знаток женской души просто демонстрирует, что достоинства партнер­ши ему совершенно безразличны. Конечно, женщина не может спокойно воспринимать равнодушное отношение со стороны мужчины, это задевает ее достоинство, лишает душевного равно­весия и может довести до точки, когда нейтральное до сих пор отношение к партнеру становится неустойчивым. Мужчине очень важно поймать этот момент — даже совсем малое прояв­ление внимания может теперь зажечь женщину страстной лю­бовью.

Любопытный пример изменения состояния можно привести из психологии спорта айкидо. Этот японский вид единоборства основывается на неожиданности поведения спортсмена. Можно считать, что айкидо использует свойства катастроф — борец дол­жен победить не за счет большой физической силы или мощного Удара. Борец айкидо вообще не должен себе позволить нападе­ние на человека. Цель борца айкидо — своими неожиданными

F

движениями вывести нападающего на него соперника из состоя­ния равновесия. После этого противника уже можно будет обез­оружить и уронить движением, которое не потребует большой силы. Высшим мастерством считается добиться победы, совер­шенно не касаясь соперника!

Самоорганизующимся системам нельзя навязывать пути их развития. Тут важнее понять пути совместной жизни природы и человека, пути их совместной эволюции, коэволюции. В точках бифуркации маленькое случайное изменение может привести к сильному возмущению системы. Здесь главное — не сила, а правильная топологическая конфигурация, некая архитектура воздействия на сложную систему. Малые, но правильно органи­зованные резонансные воздействия на такие системы очень эф­фективны. Тысячу лет назад это современное представление синергетики выразил в озадачивающей форме основатель дао­сизма Лао-Цзы: слабое побеждает сильное, мягкое побеждает твердое, тихое побеждает громкое и т.д. В целом же, как отме­чал И. Р. Пригожин, «наша Вселенная следует по пути, включаю­щем в себя последовательности бифуркаций. В то время как дру­гие миры могли избрать другие пути, нам повезло, что наша Все- j ленная направилась по пути, ведущему к жизни, культуре и \ искусствам». i

s