7.7. Динамический хаос

Известно, что диссипативные структуры возникают вдали от равновесия и дают возможность перехода к «организованному» хаосу. В них возникают непредсказуемые, т.е. случайные, но организованные потоки. Более корректно такой хаос называют динамическим или детерминированным хаосом. Детерминирован­ность, т.е. определенность, проявляются в том, что потоки воз­никают обязательно, и они при определенных условиях орга­низованы, упорядочены, а хаос проявляется в непредсказу­емости места и времени появления потоков. Динамический хаос можно воспринимать как динамику частиц или объектов в условиях хаотического их движения. Реальное хаотическое дви­жение с учетом случайных источников, например, движение атомов и молекул в состоянии равновесия, можно обозначить как «физический» или статистический хаос. Детерминирован­ный хаос может порождать упорядоченные структуры, но очень небольшие изменения начальных условий могут кардинально изменить сам характер движения, т.е. сделать его динамически неустойчивым. Поскольку начальные условия задаются с ко­нечной точностью, то предсказание характера движения стано­вится невозможным. Теперь нам понятно, почему долгосроч­ные прогнозы погоды, которые мы регулярно слушаем и удив­ляемся их неточности, так далеки от реальной погоды за окном. Такой прогноз из-за наличия динамической неустойчи­вости в атмосфере является чрезвычайно трудной задачей. Ав­тор модели атмосферных процессов Э. Лоренц подчеркивал, 4Tq несмотря на спутники и множество наземных станций, со­бирающих метеорологические данные, предсказание погоды на срок более двух-трех недель имеет не большее отношение к ре­альности, чем метеокарта, выбранная наугад из кучи старых карт.

7.8. Фазовое пространство

Рассмотрим возможности описания динамики частиц. Су­ществует два подхода к решению такой задачи: механический и термодинамический. Эволюцию динамической системы можно анализировать в абстрактном пространстве состояний — фазовом пространстве, в котором можно ввести координаты, описываю­щие состояние системы, в частности фазу системы. Это понятие является обобщенным и широко используется в различных об­ластях науки и даже нашей обычной жизни (фазовые состояния вещества, фазовый переход, фаза развития общества, фаза роста, фаза функции, фаза развития системы и т.д.). Для систем клас­сической механики такими координатами является положение точек и их скорости в каждый момент времени. Совокупность последовательных положений системы в фазовом пространстве составляет фазовую траекторию. Выстраивая такую траекторию в фазовом пространстве, необходимо указывать направление пе­ремещения системы по фазовой траектории во времени. Не ос­танавливаясь далее на математической стороне дела, укажем, по крайней мере, на три полезных преимущества введения такого фазового пространства.

Во-первых, можно проще провести анализ движения, если перейти из обычного координатного пространства в фазовое. Например, если равномерное движение на пространственно-вре­менной диаграмме переменных х, t изображается прямой лини­ей, а равнопеременное — параболой (кривой второго порядка), то на фазовой плоскости v, х (где v — скорость, х — координата) такие движения изображаются соответственно точкой и прямой (кривой первого порядка). Для пружинного маятника фазовой плоскостью, как следует из уравнения его движения, будет плос­кость: координата — скорость и вместо зависимостей x(t) и v(/) можно рассматривать фазовую траекторию v(x). Во-вторых, в фазовом пространстве также проще анализировать устойчивость решения задачи движения тела и исследовать проблему устойчи­вости—неустойчивости системы.

В основу классификации движений и их моделей положено условие воспроизводства решений по заданным начальным ус­ловиям. Так, колебания маятников с различными энергиями на фазовой плоскости изображают эллипсами, которые не пе­ресекаются, что соответствует идеальным собственным коле­баниям в консервативной системе без потерь. Анализ динами

­

ки систем в таком предположении показывает, что с течением времени фазовые траектории из определенных областей про­странства концентрируются вокруг некоторых точек — систе­ма как бы притягивается к этим точкам в процессе своего раз­вития.