4.1.6. Изменение длины и длительности времени в сто

Рассмотрим два наиболее важных следствия специальной те­ории относительности:

• сокращение длины (лоренцево сокращение длины);

замедление течения времени.

Стержень длиной / в системе отсчета К «упирается» в начало ко­ординат О и заканчивается в х (рис. 4.6). Чему равна длина стержня в системе отсчета К'! Наблюдатель в К' производит это измерение, определяя время, за которое начало О' этой системы проходит вдоль стержня. Этот интервал времени отсчитывается им от момента, когда начала коор­динат О и О' совпадают, т. е. t_{ = О

и t\ = 0. В момент, когда начало

О', двигаясь со скоростью v, достигает конца стержня, часы в

системе К показывают t₂, а в системе К' — t₂. Наблюдатель в К

видит, что точка О прошла путь / со скоростью v, так что t₂ = //v. Интервал времени, измеренный в К',

■-0'

U =

уг^рз'

Рис. 4.6. Сокращение длины отрезка в направлении пере­мещения для системы, движу­щейся со скоростью v ~ с.

как это следует в соответствии с преобразованием Лоренца для координаты х' и при условии f = 0, х₂ = I. Учитывая, что t₂ = ^, мы получим:

1

А Г =

уг^р"² уг^р"²

-'(1-Р²) / .

Умножая это выражение слева и справа на V и замечая, что FAt' = /' где Г — длина с точки зрения наблюдателя в К', мы по­лучим длину отрезка /' в движущейся системе К':

Г = iJl^W² .

Последнее соотношение означает, что наблюдатель в системе К', движущийся относительно стержня, увидит его более коротким по сравнению с тем, что видит наблюдатель в К, покоящийся относительно стержня. Не забываем, конечно, что это справед­ливо лишь для V, близких к скорости света с

.

При таких скоростях будет происходить и замедление течения времени. Не останавливаясь на деталях этого доказательства, от­метим, что время в движущейся системе тоже изменяется:

Интервал времени t\ отсчитываемый по часам в движущейся системе К' с точки зрения наблюдателя в системе К, оказывается продолжительнее интервала t, отсчитанного по его собственным часам. Отсюда можно сделать вывод, что для любого наблюдате­ля движущиеся относительно него часы идут медленнее таких же, но покоящихся в его системе часов. Экспериментальным доказательством замедления времени при больших скоростях яв­ляется разгон элементарных частиц в физических ускорителях: л-мезоны живут там в 2 раза дольше, чем те же, но покоящиеся частицы.

4.1.7. «Парадокс близнецов»

Рассмотрим еще один из известных парадоксов СТО, кото­рый в свое время вызывал многочисленные дискуссии и недора­зумения. Это так называемый «парадокс близнецов», предложен­ный самим Эйнштейном, и поэтому приведем его в классиче­ском изложении СТО, взяв те же имена близнецов, что и у автора парадокса. Допустим, на Земле существуют два близнеца Эл и Боб. Боб — космонавт и отправляется в космическое путе­шествие к какой-то звезде на расстоянии от Земли в 10 световых лет. Поскольку расстояние в один световой год свет проходит за 1 год, то 1 световой год, деленный на скорость света с, просто равен одному году. Эл остается на Земле. Если космический ко­рабль Боба летит со скоростью v = 0,99с относительно Земли, то по часам Эла это путешествие займет время

At = 10 свет, лет/0,99 с =10 лет.

Так как на возвращение затрачивается такое же время, то, когда корабль Боба вернется на Землю, Эл постареет на 20 лет. Однако Бобу представлялось, что Земля и звезда — цель его пу­тешествия — двигались со скоростью 0,99 с относительно него, и расстояние от Земли до звезды сократилось до

/'= 10 свет, лет J\ - (0,99)² - 1,44 свет. года.

Следовательно, по часам Боба путешествие к Земле и обратно заняло всего лишь 2,8 года. Обнимая брата при встрече, Боб обна­ружил, что его брат-близнец стал старше его на 20 — 2,8 = 17,2 го­да. Но мы знаем, что любое движение относительно, и поэтому, если фиксировать все путешествие в системе отсчета Боба, то с его точки зрения такое путешествие совершили Земля и находя­щийся на ней Эл. По этой причине часы Эла должны идти мед­леннее часов Боба, так что когда Эл вместе с Землей вернется из своего «путешествия» и встретится с братом, то Боб должен об­наружить, что его брат-близнец моложе его. Мы, таким образом, пришли к парадоксу.

Этот парадокс разрешится, если учесть, что Эл все время на­ходился в инерциальной системе отсчета, тогда как путешест­венник Боб подвергался ускорению: ракета набирала скорость 0,99 с, описывала орбиту вокруг звезды и испытывала торможе­ние при подлете к Земле. В действительности Боб будет стареть, но не так быстро, как остающийся на Земле его брат-близнец. Можно привести и такой пример полета одного из них, скажем, к звезде Арктур. Расчет показывает, что близнец Боб, летящий к звезде Арктур со скоростью v = 0,99с, возвращается на Землю через 80,8 лет жизни близнеца Эла; сам же Боб провел в полете 11,4 года. Значит, они действительно живут в разном времени. Но и пространство для них разное. Расстояние от Земли до Арк- тура для остающегося на Земле Эла составляет 40 световых лет. Но для Боба, летящего со скоростью 0,99с, расстояние уменьша­ется согласно лоренцову сокращению длины.

Замедление времени позволяет нам вообразить заманчивую возможность путешествовать к далеким звездам. Если такое путе­шествие будет совершаться со скоростью, близкой к скорости света, то космонавты смогут без труда преодолевать громадные расстояния за времена, достаточно малые по сравнению со вре­менем человеческой жизни. По возвращении домой они застанут уже другую Землю, на которой за время их отсутствия пройдут сотни, а может быть, и тысячи лет. Подчеркнем, что «парадокс близнецов» — это реальный эффект: путешествующий близнец стареет медленнее, чем оставшийся на Земле его брат. Но нужно учесть, что путешественник может ничего и не выиграть, по­скольку все биологические процессы в его организме тоже идут с меньшей скоростью по сравнению с их скоростью на Земле, и в результате все жизненные процессы, умственная и физическая его деятельность тоже будут происходить в замедленном времени.