§ 2. Скорость точек тела при его плоскопараллельном движении. Формула Эйлера. Теорема о проекциях скоростей.

Любое движение твёрдого тела, в том числе и плоское движение, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения: переносное и относительное. Примем за переносное движение фигуры её движение вместе с поступательно движущейся системой координат , связанную с полюсом А. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат вращением вокруг неподвижной оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости фигуры.

Рис. 27

Абсолютную скорость точки М можно определить согласно теореме о сложении скоростей: , где . – угловая скорость тела при его вращении вокруг указанной оси. Тогда абсолютная скорость точки М будет равна: (3.2)

Возникает вопрос: как меняется угловая скорость тела при выборе полюса в другой точке?

Теорема: Угловая скорость тела не зависит от выбора полюса.

Доказательство: Рассмотрим сечение тела. Выберем полюса в точках А и В.

Рис. 28

На основании (3.2) запишем скорость точки М: Но скорость самой точки В относительно полюса А определяется формулой: Вычтем из (а) (в):

а из (б) .

Т. к. левые части уравнений равны, то равны и правые, т.е. или .

Т. к. вектор произволен, то равняться нулю может лишь выражение в скобках, т.е. . ■

Итак, скорость любой точки при плоскопараллельном движении равна:

(3.3)

Эта формула принадлежит Эйлеру и носит его имя.

Угловая скорость тела при плоскопараллельном движении направлена перпендикулярно плоскости сечения тела в сторону, откуда поворот тела видно против движения стрелки часов, и проекция её на ось z равна .

Разность скоростей двух точек твердого тела V_М и V_А представляет собой добавку V_МА к скорости V_А точки А (полюса), необходимую, чтобы получить скорость V_М точки М:

. (3.4)

Будем называть эту добавку V_МА дополнительной скоростью точки М по отношению к полюсу А.

Проектируя формулу Эйлера (3.3) на направленный отрезок , получим

Так как векторное произведение есть вектор, ортогональный вектору , то его проекция на направление указанного вектора равна нулю. Поэтому имеем

. (3.5)

Равенство (3.5) выражает теорему, впервые полученную Эйлером.

Теорема: Проекции скоростей двух точек твердого тела на направленный отрезок, их соединяющий, равны.

Теорема Эйлера отражает то требование, которое налагает на распределение скоростей точек тела неизменность расстояний между ними. Если разложить скорости точек А и М на составляющие, коллинеарные отрезку и ортогональные ему, то составляющие скоростей двух точек и (рис. 29), направленные вдоль отрезка , должны быть направлены в одну сторону и иметь одинаковые величины. Если бы величина вектора была больше величины вектора , то точка А, сближалась бы с точкой М; если же величина была бы больше , то точки А и М удалялись бы друг от друга. Разумеется, эти утверждения верны для случая, когда и направлены в ту же сторону, что и вектор , если же обе они направлены и сторону, противоположную отрезку АМ, т. е. в сторону отрезка , то в первом случае точки будут удаляться друг от друга, во втором будут сближаться. Все эти случаи не могут иметь место вследствие неизменности расстояний между точками А и М. На ортогональные отрезку АМ составляющие скоростей и неизменность расстояний между точками никаких ограничений ни на их величину, ни на их направление не налагает, так что они могут быть направлены либо в одну и ту же сторону, либо в противоположные стороны и могут иметь произвольные величины.

Из теоремы Эйлера вытекают следствия:

1. если скорости двух точек твердого тела параллельны и перпендикулярны отрезку, их соединяющему, то они равны;

2. если проекция скорости какой–либо точки отрезка на отрезок равна нулю, то скорости других точек этого отрезка либо равны нулю, либо перпендикулярны отрезку.

Справедлива также теорема, в некотором смысле обратная тео­реме Эйлера.

Теорема. Если проекции скоростей двух точек на направленный отрезок, их соединяющий, равны на протяжении некоторого промежутка времени, то расстояние между этими точками остается постоянным.