§ 2. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Определение. Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором в теле существует неподвижная прямая, которая называется осью вращения.

Если выбрать две точки на оси вращения (А и В), которую для удобства выберем совпадающей с осью z, то движение тела определится движением одной его точки – точки С.

Рис. 18 Рис. 19

Из трёх параметров, определяющих движение точки С, независимым будет только один, потому что два других связаны зависимостями: Т. о., для определения движения тела при вращении вокруг неподвижной оси, достаточно задать один параметр. Выберем этот параметр. Через ось вращения проведём две плоскости: одну неподвижную П0 , а другую П, жестко связанную с твёрдым телом и вращающуюся вместе с ним. Двугранный угол  между этими полуплоскостями, который отсчитывается от неподвижной плоскости П0, называется углом поворота тела. Положительное направление отсчета угла  выбирается так, чтобы со стороны положительного направления оси z увеличение угла происходило против движения стрелки часов. Уравнение (2.5) называется уравнением вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси все его точки будут описывать окружности, которые размещаются в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а центры их лежат на этой оси.

Р ассмотрим точку М , расположен-ную на расстоянии d от оси вращения. Выберем начало отсчета дуговой коор-динаты в точке М₀ – точке пересечения траектории с неподвижной плоскостью П₀. Вычислим дуговую координату  точки М.

. (2.6)

В

Рис. 20

ычислим скорость точек тела. Движение точек задано естественным способом, поэтому . Поскольку ,

то .

Определение. Угловой скоростью тела называется вектор, направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела видно против движения стрелки часов и проекция которого на ось вращения равна первой производной от угла поворота по времени:

. (2.7)

Размерность  [1/с] или [рад/с].

Тогда . (2.8)

Скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональны их кратчайшим расстояниям до этой оси. Коэффициентом пропорциональности является угловая скорость. Скорости точек направлены по касательным к траекториям и, следовательно, перпендикулярны радиусам вращения.

Определим скорость любой точки тела через вектор угловой скорости.

Теорема: Скорость любой точки тела при его вращении вокруг неподвижной оси равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус–вектор точки, проведенный из любой точки на оси вращения:

. (2.9)

Доказательство:

П окажем, что векторы и имеют равные величины и одинаково направлены.

1. Величина вектора равна согласно (2.8). Величина векторного произведения: . Тогда . Т. о., величины векторов одинаковы.

2. Направления этих векторов тоже совпадают.

Рис. 21

Скорость точки М направлена по касательной к окружности радиуса d в сторону вращения тела, т.е. она перпендикулярна плоскости, проведенной через ось и точку. С другой стороны, по правилам векторного произведения, вектор тоже перпен-дикулярен к этой же плоскости направлен а ту же сторону.

■

Определим ускорение точки. По определению , поэтому

. (2.10)

Обозначим и назовём угловым ускорением.

Определение. Угловое ускорение тела направлено вдоль оси вращения, и его проекция на ось вращения равна второй производной от угла поворота по времени.

. (2.11)

Т. к. , то . (2.12)

Обозначим

– вращательное ускорение; – осестремительное ускорение.

. (2.13)

Рис. 22

Из определения вращательного ускорения следует, что его величина (2.14) Направление вращательного ускорения (по правилам векторного произведения) коллинеарно скорости точки. Из определения осестремительного ускорения следует: (2.15) Направлено осестремительное ускорение по радиусу окружности к оси вращения.

Т. к. и перпендикулярны, то величина полного ускорения точки равна . (2.16)

Частные случаи вращения тела.

Равномерное вращение.

Определение. Равномерным называется такое вращение тела вокруг неподвижной оси, при котором .

Т. к. , то .

После интегрирования получим , где С₁ – угол поворота  при t = 0, т.е. _0. Тогда . В этом выражении , но поскольку при равномерном вращении тело не может изменить направление вращения, то .

Окончательно . (2.17)

Равнопеременное вращение.

Определение. Равнопеременным называется такое вращение тела, при котором .

Пусть при . Тогда . После интегрирования . Из начальных условий при .

. (2.18)

Т. к. , то После интегрирования получим

. Из начальных условий .

Таким образом, . (2.19)

Вращение будет ускоренным, если , и замедленным, если . Это следует из того, что .