§ 7. Частные случаи движения точки.

Равномерное движение.

Определение. Равномерным называется такое движение, при котором величина скорости остаётся постоянной .

Т. к. , то , т.е. полное ускорение равно нормальному. Определим путь, пройденный точкой при равномерном движении.

.

Равнопеременное движение.

Определение. Равнопеременным движением называют такое движение по траектории любой формы, при котором касательное ускорение .

Если при движении точки модуль скорости увеличивается, то движение называется ускоренным, если уменьшается – замедленным.

Условие ускоренного движения: (т.е. скорость и ускорение направлены в одну и ту же сторону).

Условие замедленного движения: (т.е. скорость и ускорение направлены в противоположные стороны).

Определим скорость точки в некоторый момент времени и путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени.

Пусть при . Тогда

.

.

Лекция № 4

Тема 2. “ Простейшие движения твёрдого тела”.

Знать движение тела – это означает знать его положение в пространстве в любой момент времени. Положение твёрдого тела в пространстве определяется положением трёх его точек, которые не лежат на одной прямой. Положение каждой точки в пространстве задаётся тремя скалярными параметрами – координатами. Следовательно, положение тела можно задать девятью параметрами. Однако, согласно определению абсолютно твёрдого тела, расстояния между его точками не меняются в процессе движения, т.е.

Рис. 16

Таким образом, независимых координат, определяющих положение тела, будет 9–3=6. Определение. Числом степеней свободы твёрдого тела называют число независимых параметров, однозначно определяющих положение тела относительно рассматриваемой системы отсчета.

Твёрдое тело, которое может без помех и ограничений двигаться в любом направлении, называется свободным. Свободное твёрдое тело имеет 6 степеней свободы. Когда существуют ограничения движению, тело будет иметь меньше степеней свободы.

Имеется два простейших вида движения твердого тела, комбинированием которых можно получать другие, более сложные его движения. Такими движениями являются поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.

§ 1. Поступательное движение твёрдого тела.

Определение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, жестко скреплённая с телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени.

Поступательно движутся педали у велосипеда относительно его рамы, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения относительно Земли в парках.

Траектории точек у поступательно движущегося твёрдого тела могут быть не только прямыми, но и любыми кривыми, в том числе и окружностями. Например, все точки спарника, который соединяет пальцы равных кривошипов, описывают в процессе движения окружности.

Свойства поступательного движения характеризует следующая теорема.

Теорема: При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы.

Доказательство: Выберем в теле две произвольные точки А и В. Положения этих точек зададим их радиус–векторами, которые связаны между собой условием: . (2.1)

Рис. 17

Для любого твердого тела вектор является постоянным по величине, а при поступательном движении он не изменяется и по направлению. Траектория точки В может быть получена параллельным переносом траектории точки А. Продифференцируем по времени соотношение (2.1): .

Т. к. , то . (2.2)

Продифференцировав (2.2), получим . (2.3)

■

Мы видим, что поступательное движение характеризуется движением одной точки тела. Для задания этого движения достаточно задать координаты этой точки тела как функции времени, т.е.

(2.4)

Следовательно, твёрдое тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы и уравнения (2.4) являются уравнениями поступательного движения твёрдого тела.