§ 6. Ускорение точки.

Определение. Ускорением точки называется производная от её скорости по времени, или вторая производная от её радиуса – вектора по времени.

(1.12)

Из определения ускорения вытекает, что его размерность равна

.

Для определения ускорения в декартовой системе отсчёта, продифференцируем по времени выражения (1.7) и (1.8).

, (1.13)

. (1.14)

Сравнивая (1.13) и (1.14), получим:

. (1.15)

Направление ускорения по отношению к декартовым осям устанавливается по соотношениям:

(1.16)

Продифференцируем соотношение (1.11):

. (1.18)

Из постоянства величины вектора следует, что вектор перпендикулярен вектору . При произвольном пространственном движении точки сказанного мало для определения направления этого слагаемого.

Рассмотрим сначала движение точки по плоской кривой.

Вычислим . Величина вектора равна .

Рис. 8

Из чертежа видно, что . Тогда

Направлен вектор перпендикулярно к самому вектору . Для доказательства этого используем тождество . Дифференцируем по времени обе части этого тождества, получим . Каждый из сомножителей этого выражения не равен нулю, поэтому , т.е. .

Окончательно будем иметь:

. (1.19)

Можно показать, что при смещении из точки М по кривой, уклонение точки от соприкасающейся плоскости будет бесконечно малым, не ниже 3–го порядка малости относительно приращения дуги. Поэтому всякую пространственную кривую в малой окрестности каждой точки можно считать приближенно плоской и расположенной в соприкасающейся плоскости.

С другой стороны, ускорение точки может быть представлено через проекции на оси естественного трёхгранника:

. (1.20)

Сравнивая выражения (1.19) и (1.20), получим:

(1.21)

Учитывая ортогональность и , получим:

. (1.22)

Зная и , можно найти : . (1.23)

Тогда . (1.24)

Проанализируем зависимости (1.21). Из того, что следует, что полное ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории.

Случаи обращения в нуль касательного ускорения получают из условия

.

Это условие выполняется всё время, пока , т.е. при равномерном движении точки по траектории любой формы. Либо в те моменты времени, в которые скорость достигает экстремума (минимума – максимума).

Рис. 9 Рис. 10

При колебаниях маятника эти моменты соответствуют его прохождению через точку А. Случаи обращения в нуль нормального ускорения следуют из условия . Нормальное ускорение обращается также в нуль в моменты времени, в которые , т.е. в моменты изменения направления движения точки по траектории. Для маятника такими моментами являются моменты отклонения маятника на наибольший угол как в одну так и в другую сторону. Эти моменты соответствуют мгновенным остановкам маятника. Это условие выполняется при , т.е. при прямолинейном движении или в точках перегиба траектории, в которых происходит изменение выпуклости траектории на вогнутость, и наоборот.

Случаи обращения в нуль касательного (тангенциального) и нормального ускорений, а также общие формулы для них показывают, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное – по направлению.