§ 3. Путь, пройденный точкой.

Изменение дуговой координаты за время может быть как положительным, так и отрицательным. Введём функцию S, дифференциал которой равен .

В свою очередь . Тогда .

Определение. Путь, пройденный точкой за промежуток времени – это интеграл вида

.

Необходимо помнить, что отождествлять координату  (t) с длиной пути S нельзя.

Рис. 3

Рассмотрим прямолинейное движение точки. Пусть в начальный момент времени точка занимала положение М₀. За промежуток времени она дважды проходит отрезок М₀ М длиной а (“туда и обратно”). При этом  (t₀)=ОМ₀, при  (t – t₀)=ОМ₀, т.е. дуговая координата не изменилась, а путь пройденный за это же время S= 2а.

§ 4. Скорость точки.

Пусть М₁ и М₂ – положения движущейся точки в момент времени t и . Вектор , соединяющий начальное и конечное положение точки называется перемещением точки за промежуток времени .

О пределение. Средней скоростью за промежуток времени называется отношение вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло:

. (1.5)

Направление совпадает с направле-нием перемещения. Чем меньше промежуток времени , тем более точно представит средняя скорость быстроту перемещения. Естественно при этом перейти к пределу.

Рис. 4

. (1.6)

Определение. Скоростью точки называют производную её радиус–вектора по времени.

Поскольку предельное положение хорды М₁М₂ при стремлении М₂ к М₁ есть касательная к траектории в данной точке, то и скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории в сторону движения точки.

Из определения скорости вытекает, что её размерность равна

.

Продифференцируем по времени выражение (1.3), получим:

. (1.7)

С другой стороны, скорость точки, как и любой вектор, может быть представлена через свои проекции на координатные оси:

. (1.8)

Сравнивая выражения (1.7) и (1.8), получим: .

Величина скорости равна

. (1.9)

Направление скорости определяется косинусами углов, составляемых вектором скорости с осями координат:

(1.10)

Перейдём к вычислению скорости точки при естественном способе задания её движения. Считая, что зависимости заданы, найдём:

. (1.11)

Если мы вспомним, что предел отношения длины хорды к соответствующей ей дуге кривой при стремлении дуги к нулю равен единице, то определяет единичный вектор касательной .

Т. к. коллинеарен касательной к траектории, то .

§ 5. Сопровождающий трёхгранник, кривизна, радиус кривизны кривой в заданной точке.

С каждой точкой М пространственной кривой мы можем связать три взаимно перпендикулярных прямые и три плоскости, взаимно пересекающиеся под прямыми углами в точке М. Укажем на чертеже эти прямые и плоскости:

прямые	– касательная с единичным вектором , направленная в положительную сторону движения; – главная нормаль с единичным вектором , направленная всегда в сторону вогнутости кривой; – бинормаль с единичным вектором , направленная так, чтобы вектора , и образовывали правую тройку;
плоскости	– соприкасающаяся плоскость содержит в себе касательную и главную нормаль. Среди всех плоскостей, проходящих через точку М, эта плоскость наиболее тесно прилегает к кривой; – нормальная плоскость содержит в себе главную и бинормаль; – спрямляющая плоскость содержит касательную и бинормаль.

Образованный этими плоскостями трёхгранник называется естественным или трёхгранником Фрэнэ, а перечисленные прямые – естественными или сопровождающими осями, т. к. при движении точки по кривой естественный трёхгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Рис. 5

Кривизна кривой в точке М – число, характеризующее отклонение кривой в окрестности точки М от прямой.

Рис. 6

Проведём в точке М кривой касательную .В другой близкой точке кривой М1, отстоящей от М на расстоянии , построим касательную . Проведём в точке М прямую параллельную . Угол между линиями и называют углом смежности.

Определение. Кривизной кривой К в точке М называют предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния , при стремлении к нулю, т.е.

.

Определение. Радиусом кривизны кривой в точке М называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т.е.

.

Пример. Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиуса R.

Рис. 7

Дуга окружности длиной , опирающаяся на центральный угол , выражается зависимостью  = R. Для радиуса кривизны имеем: , т.е. для окружности радиус кривизны в каждой её точке один и тот же и совпадает с радиусом окружности. ■