§ 5. Центр масс

При рассмотрении движения тел, особенно таких, как самолеты, ракеты, космические корабли, важное значение имеет понятие центра масс.

Для введения понятия центра масс разобьем мысленно рассматриваемое тело на достаточно большое число малых по равнению с телом элементарных его частей произвольной формы. Силу тяжести элементарной частицы тела с индексом i от действия на нее Земли обозначим через , а силу тяжести всего тела – через Р. Силы тяжести элементарных частиц тела направлены приближенно к центру Земли, т.е. образуют систему сходящихся сил. Если размеры рассматриваемого тела малы по сравнению с размерами земного шара, то силы тяжести элементарных частиц тела можно считать системой параллельных сил, направленных в одну сторону.

Определение. Центром масс (тяжести) тела называют центр системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц.

Радиус-вектор центра масс тела вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил (рис. 96) по формуле

Рис. 96

, (7.16) где — радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; ∆Рi – сила тяжести элементарной частицы; – сила тяжести всего тела; п – число частей, на которое мысленно разбито все тело.

Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.

Если в (7.16) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей п до бесконечности, то после замены ∆Р_i дифференциалом dP, а суммы – интегралом получим

, (7.17)

где – радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (7.16) и (7.17) получаем:

где х_с, у_с, z_c – координаты центра тяжести; – координаты точки приложения силы тяжести .

Силы тяжести элементарных частей тела и всего тела можно выразить через их массы , и М и ускорение силы тяжести g с помощью формул

, P=Mg.

Подставляя эти значения сил тяжести в (7.16) и (7.17) после сокращения на g, которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем

(7.16′)

и соответственно

. (7.17′)

По формулам (7.16′) и (7.17') также определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор которой вычисляется по формулам (7.16′) или (7.17'). В проекциях на оси координат из (7.16′) и (7.17') получаем:

где х_с, у_с, z_c – координаты центра масс тела.

Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам

,

где – объем элементарной частицы тела; – соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела

,

где v – объем тела. Подставляя эти значения в (7.16′) и (7.17'), после сокращения на соответственно, получим формулы

, (7.18)

по которым определяют центр тяжести объема тела.

Если тело имеет форму поверхности, т. е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как например у тонкого листа железа, то имеем

,

где – удельный вес, – площадь элементарной частицы поверхности, S – площадь всей поверхности. После сокращения на для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:

. (7.19)

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам

, (7.20)

где – длина элемента линии; ℓ – общая длина линии, центр тяжести которой определяется.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ (ЦЕНТРОВ МАСС)

1. Метод симметрии. При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии.

Аналогично, для однородного тела, имеющего ось uлu центр симметрии, центр масс находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

2. Метод разбиения на части (метод группировки). Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны, или предварительно могут быть определены. В таких случаях центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито. Покажем это на частном примере плоской фигуры, изображенной на рис.97.

Рис. 97

Плоскую фигуру можно разбить па три части, центры тяжести которых С1, С2 и С3 известны. Они находятся на пересечении диагоналей прямоугольников. Их радиус - векторы обозначим и площади . Общая площадь сложной фигуры будет . Используя определение центра масс, и производя группировку слагаемых под знаком суммы по частям фигуры, на которые она разбита, получим

.

Радиус – векторы центров тяжести частей тела выразятся в такой форме:

,

или

.

Используя эти формулы для радиуса – вектора всей фигуры, имеем

(7.21)

Полученная формула имеет ту же структуру, что и формула, определяющая радиус – вектор центра тяжести тела при разбиении его на элементарные частицы, только в нее входят величины для конечных частей тела.

3. Метод отрицательных масс. Видоизменением метода разбиения на части является метод отрицательных масс. Проиллюстрируем его тоже на примере плоской фигуры (рис.98). Для определения центра тяжести этой фигуры ее можно разбить на три части.

Рис. 98

Можно поступить по-другому. Для этого дополним нашу фигуру до прямоугольника и примем, что этот прямоугольник с площадью S1 и центром масс С1 полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). На той части фигуры, которую добавили, следует распределить отрицательную массу (отрицательную площадь) той же плотности.

Площадь этой фигуры с отрицательной массой обозначим S ₂, а ее центр масс С₂. Применяя метод разбиения на части, радиус – вектор заданной фигуры определим по формуле

. (7.22)

В отличие от обычного метода разбиения на части в формуле (7.22) массы и, следовательно, площади входят со знаком минус. Метод отрицательных масс особенно удобен при вычислении положения центров тяжести тел, имеющих отверстия.

!!! ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ ПРОСТЕЙШИХ ТЕЛ

Для определения центров тяжести тел сложной формы методом разбиения на части или методом отрицательных масс необходимо уметь вычислять центры тяжести простейших тел, на которые разбивается тело сложной формы. Рассмотрим некоторые из тел, для определения положения центров тяжести которых известны простые способы их нахождения, или вычисления по формулам.

1. Прямолинейный отрезок. Центр тяжести прямолинейного однородного отрезка располагается на его середине, а неоднородного на самом отрезке и не может находиться вне отрезка.

2. Площадь треугольника. Для определения центра тяжести площади треугольника разобьем его прямыми линиями, параллельными одной из его сторон АD на полоски, которые в пределе можно принять за прямолинейные отрезки (рис.99). Центры тяжести отрезков и, следовательно, полосок находятся посредине полоски. Все они расположатся па медиане С₁В. В пределе центры тяжести полосок непрерывно покроют медиану, но не равномерно, так как площади полосок разные. В каждом центре масс полоски следует считать сосредоточенной массу или площадь этой полоски, пропорциональную длине полоски, если ширину полосок выбирать одинаковой.

   Рис. 99

   Затем разобьем треугольник на полоски прямыми линиями, параллельными другой стороне АВ треугольника. Центры их тяжести в пределе покроют неравномерно медиану С2D. Центры тяжести неоднородных прямолинейных отрезков С1В и C2D должны располагаться на этих отрезках, а следовательно, в точке их пересечения С, являющейся точкой пересечения медиан треугольника. Эта точка делит медианы в отношении 1 к 2, т. е. если длина медианы С1В равна ℓ, то С1С = 1/3ℓ, СВ = 2/3ℓ.

3. Дуга окружности. Дуга окружности АВ определяется радиусом R и стягиваемым ею центральным углом 2α (рис. 100). Она имеет ось симметрии, делящую угол пополам. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат Ох. Координату центра тяжести дуги АВ вычисляем по формуле

Рис. 100

. В рассматриваемом случае . Подставляя эти значения в формулу для , получим

Таким образом, .

Для полуокружности . Приняв , получим:

4. Площадь кругового сектора. Центр тяжести площади кругового сектора с радиусом R и центральным углом 2α находится на оси симметрии, принимаемой за ось Ох (рис. 101).

Рис.101

Разобьем сектор на элементарные треугольники одинаковой величины. Центры тяжести треугольников в пределе при увеличении их числа до бесконечности равномерно покроют дугу окружности радиусом r = 2/3 R. Используя формулу для центра тяжести дуги окружности, получим

, или .

Для площади полукруга . При получим

.

5. Объем пирамиды и конуса. Определим положение центра тяжести объема конуса (рис.102). Для простоты рассмотрим прямой конус, у которого высота являемся осью симметрии.

Рис. 102

Высотой конуса является отрезок, соединяющий его вершину О с центром тяжести площади основания С1. Выберем начало координат в вершине конуса, а ось Oz направим по оси симметрии конуса. Тогда центр тяжести объема конуса расположится на оси Oz. Разобьем конус плоскостями, перпендикулярными оси Oz. на элементарные тонкие диски толщиной и площадью . Все полученные сечения (диски) конуса подобны его основанию. Координату zc центра тяжести объема конуса вычислим по формуле

.

Отношения линейных размеров сечений к соответствующим размерам основания конуса пропорциональны их расстояниям до вершины конуса. Отношения площадей пропорциональны квадратам расстояний. Приняв , получим

.

Учитывая, что , имеем

,

или .

Таким образом, центр тяжести прямого конуса находится на расстоянии

от вершины или от основания.

Это справедливо для объема любого конуса и любой пирамиды, как прямых, так и наклонных, т. е. центр тяжести объема пирамиды или конуса находится на расстоянии ¹/₄ расстояния от центра тяжести площади основания до вершины.

6. Объем полу шара. Полу шар имеет ось симметрии, которую примем за координатную ось Ох (рис. 103). Разобьем объем полу шара на элементарные диски толщиной dx и радиусом у, который является координатой точки окружности, которая получилась от пересечения полу шара с координатной плоскостью Oxу.

Рис. 103

Уравнение этой окружности , где R – радиус полу шара. Для координаты центра тяжести объема полу шара имеем , где х – координата центра тяжести элементарного диска. Объем полу шара .

Объем элементарного диска

,

так как радиус диска r = у. Выполняя интегрирование в пределах от х = 0 до

х = R, получим

.

Таким образом, центр тяжести объема полу шара находится от его центра на расстоянии

.

Это расстояние меньше половины радиуса полу шара.!!!

Пример. Определить координаты центра тяжести площади плоской фигуры, имеющей размеры, указанные на рис. 104.

Рис. 104

Решение. Присоединим к заданной фигуре дополнительно полукруг 3 и разобьем полученную фигуру на прямоугольник 1 и треугольник 2. Получили три фигуры, две из которых имеют поло­жительные площади (прямоугольник и треугольник) и одна – отрицательную (полукруг 3).

В выбранной системе координат для координат центра тяжести заданной фигуры имеем

Рис.105

, (а)

где – координаты центров тяжести отдельных фигур;

– площади этих фигур.

Вычислим площади и координаты центров тяжести отдельных фигур, учитывая рис. 105.

В заключение отметим:

1. если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тя­жести тела находится на этой оси;

2. если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Поэтому центр тяжести отрезка прямой лежит в его середине. Центры тяжести окружности, круга, поверхности и объема шара находятся в их геометрических центрах. Центры тяжести плоской фигуры, ограниченной соответственно параллелограммом, ромбом, прямоугольником и квадратом, а также их контуров лежат в точках пересечения диагоналей этих фигур. Центр тяжести плоской фигу­ры, ограниченной правильным многоугольником, а также его кон­тура находится в центре вписанной (или описанной) окружности.

Вопросы для подготовки к экзамену по «Технической механике»

за третий семестр

1. В чем заключаются векторный, координатный, естественной способы задания движения точки?

2. Что называется траекторией точки, как определить ее уравнение в форме зависимости между координатами, когда известны уравнения движения точки в декартовых координатах?

3. Что называется скоростью точки? Как она направлена по отношению к траектории точки?

4. Как исчисляется скорость точки при координатном и естественном способах задания движения точки?

5. Что называется ускорением точки?

6. Запишите формулы, по которым вычисляется ускорение точки при задании ее движения декартовыми и цилиндрическими координатами.

7. Как вычисляется ускорение точки при естественном способе за­дания движения?

8. Что называется касательным и нормальным ускорением точки, как они вычисляются, что характеризуют?

9. Дайте определение равномерного и равнопеременного движения точки.

10. Как вычислить касательное, нормальное ускорение и радиус кривизны при декартовом способе задания движения точки?

11. В чем заключается способ Эйлера задания движения твердого тела?

12. Какое движение тела называется поступательным? Запишите уравнение поступательного движения тела.

13. Какое движение тела называется вращением вокруг неподвижной оси? Запишите уравнение движения тела.

14. Какое движение тела называется плоскопараллельным движением? Запишите уравнение движения тела.

15. Определите вращение твердого тела вокруг неподвижной точки и запишите уравнение этого движения тела.

16. Сформулируйте теорему Эйлера о проекциях скоростей точек тела и ее выводы.

17. Какое значение имеет «мгновенное движение» тела? Что такое мгновенно-поступательное движение?

18. Что называется дополнительной скоростью точки тела? Какие свойства она имеет?

19. Что называется угловой скоростью тела? Зависит ли она от выбора полюса?

20. Запишите формулу Эйлера для скоростей точек тела.

21. Какие инварианты имеет поле скоростей?

22. Сформулируйте условия, по которым «мгновенное движение» тела будет мгновенно-поступательным, мгновенным вращением, мгновенно-винтовым.

23. Что называется угловым ускорением тела?

24. Запишите формулу Ривальса для ускорения произвольной точки тела. Что такое осестремительное и вращательное ускорение точки?

25. Какое свойство имеют скорости и ускорение точек тела при его поступательном движении?

26. Как вычисляются скорость и ускорения точки тела при его вращении вокруг неподвижной оси?

27. Как по уравнению вращения тела определить угловую скорость и угловое ускорение тела?

28. Определите равномерное и равнопеременное вращение тела. Запишите законы изменения угла чистого вращения в этих случаях.

29. Как вычислить скорость и ускорение точки тела при его плоскопараллельном движении?

30. Что называется мгновенным центром скоростей? Какие существуют методы его определения?

31. Как вычисляются угловая скорость и угловое ускорение тела по уравнениям движения при плоскопараллельном движении? Что можно сказать о направлениях этих векторов?

32. Как определить скорость любой точки тела и угловую скорость тела при плоскопараллельном движении тела, если известны скорость какой-нибудь точки тела и положение мгновенного центра скоростей?

33. Какое движение тела называется вращением вокруг недвижимой точки? Как вычисляются скорость и ускорения любой точки тела?

34. Как направлены угловая скорость и угловое ускорение тела при его вращении вокруг недвижимой точки?

35. Какую систему отсчета называют абсолютной, переносной?

36. В чем заключается содержание леммы о локальной производной?

37. Какое движение точки называется абсолютным? Относительным?

38. Дайте определение абсолютной, относительной и переносной скоростей.

39. Сформулируйте теорему сложения скоростей.

40. В чем заключается теорема сложения ускорений? Дайте определение абсолютного, относительного, переносного, кориолисова ускорений.

41. Укажите свойства кориолисова ускорения. В каких случаях кориолисово ускорение равняется нулю?

42. В чем заключается теорема о сложении угловых скоростей?

43. Каким будет абсолютное движение тела, если относительное и переносное движения тела - это мгновенные вращения вокруг осей, которые пересекаются?

44. Каким будет абсолютное движение тела при составлении двух мгновенных вращений твердого тела вокруг параллельных осей, если сумма угловых скоростей составных вращений отлична от нуля?

45. Что называется парой вращений? Каким будет абсолютное движение тела в этом случае?

46. Как по известным углам Эйлера вычислить угловую скорость тела с неподвижной точкой?

47. Сформулируйте основные аксиомы статики.

48. Что называется моментом силы относительно полюса? Как определить его величину и направление?

49. Дайте определение момента силы относительно оси. Как он вычисляется? В каких случаях равняется нулю?

50. Что называется главным вектором и главным моментом системы сил?

51. Запишите формулу, которая предоставляет связь между главными моментами относительно разных точек.

52. Что называется элементарной работой силы? В каких случаях элементарная работа равняется нулю?

53. Как вычисляется элементарная работа системы сил, которые действуют на твердое тело?

54. Что называется связями? Дайте их классификацию.

55. Как формулируется теорема Лагранжа–Остроградского?

56. В чем заключаются необходимое и достаточное условия равновесия сил, приложенных к свободному твердому телу?

57. Запишите уравнения равновесия произвольной системы сил, действующих на твердое тело.

58. Как записать уравнения равновесия для сходящейся, параллельной системы сил, произвольной плоской?

59. Какие Вам известны типы опор? Как направлены реакции разных типов опор?

60. Какие две системы сил называются эквивалентными?

61. Что называется равнодействующей системы сил?

62. В чем заключаются условия эквивалентности двух силовых систем?

63. Сформулируйте теорему Вариньона.

64. Как найти равнодействующую двух сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, или параллельны и направлены в один сторону, или в противоположные стороны?

65. Что называется парой сил? Укажите ее свойства.

66. Чему эквивалентна произвольная система сил?

67. Какие инварианты поля сил Вам известные?

68. Сформулируйте условия приведения системы сил к динамическому винту, равнодействующей, паре сил, нуль-системе.

69. Сформулируйте теоремы о разных формах условий равновесия системы сил.

70. Что называется центром системы параллельных сил? Дайте определение центра масс твердого тела и перечислите методы его нахождения.

88