§ 4. Центр системы параллельных сил.

Для систем параллельных сил, приводящихся к равнодействующей, введем понятие центра параллельных сил. Для того предположим, что на твердое тело действует система параллельных сил , приводящаяся к равнодействующей, силы которой приложены в точках А₁,А₂,…,А_п.

При введении понятия центра параллельных сил считаем силы приложенными и точках твердого чела. При переносе сил вдоль линий действия положение центра параллельных сил изменяется.

Определим линию действия равнодействующей параллельных сил для заданного направления этих сил. Затем через точки приложения параллельных сил проведем взаимно параллельные оси, перпендикулярные силам. Повернем параллельные силы вокруг этих осей на общий угол в одном и том же направлении (рис. 94).

Рис. 94

Получим новую систему параллельных сил . Равнодействующая этой системы параллельных сил равна по модулю равнодействующей силе , так как при повороте числовые значения параллельных сил не изменялись. Линии действия двух равнодействующих сил и пересекутся в точке С, которая и называется центром napaллельных сил.

Если равнодействующую силу приложить, в точке С вместо С₁, то при повороте заданных параллельных сил на угол  она повернется на тот же угол вокруг оси, проходящей через точку С и параллельной осям, вокруг которых поворачиваются заданные параллельные силы. Оси поворота параллельных сил должны быть перпендикулярны параллельным силам.

Центр параллельных сил не зависит от угла поворота и направления параллельных осей, вокруг которых поворачиваются параллельные силы. Из определения центра параллельных сил следует, что его положение зависит от точек приложения параллельных сил. Поэтому параллельные силы следует считать приложенными в точках твердого тела.

Получим формулу для определения радиус-вектора центра параллельных сил, если известны параллельные силы и радиус-векторы точек их приложения. Для этого выберем единичный вектор , параллельный силам.

Тогда каждая из параллельных сил , где F_i – алгебраическое значение силы. Оно положительно, если сила , направлена в одну сторону с единичным вектором , и отрицательно, если направление силы противоположно направлению единичного вектора.

Для равнодействующей силы параллельных сил соответственно имеем

.

Так как система параллельных сил, по предположению, приводится к равнодействующей, то к ней можно применить теорему Вариньона относительно точки О:

. (7.10)

Для векторных моментов сил относительно точки О имеем

,

Рис.95

где – радиус-вектор центра параллельных сил, проведенный из точки О; – радиус-вектор точки приложения силы , проведенный из той же точки (рис. 95). Если подставить эти значения векторных моментов сил в (7.9), то после переноса всех слагаемых в левую часть равенства и вынесения за скобку общего множителя получим

. (7.11)

Так как центр параллельных сил, а следовательно, и его радиус-вектор не зависят от направления параллельных сил, характеризуемого единичным вектором , то условие (7.11) должно выполняться при любом направлении этого вектора.

Это возможно только при обращении в нуль векторной величины, стоящей в скобках, т. е.

=0, или . (7.12)

Пo формуле (7.12) определяют радиус-вектор центра параллельных сил, если заданы эти силы и их точки приложения.

Так как алгебраические значения параллельных сил входят в числитель и в знаменатель (7.12), то не зависит от того, какое из двух направлений параллельных сил считается положительным.

В проекциях на оси координат из (7.12) получаем:

. (7.13)

По формулам (7.13) вычисляют координаты центра параллельных сил , если известны величины параллельных сил и координаты точек их приложения .

Определение. Векторную величину

(7.14)

называют статическим моментом системы параллельных сил относительно точки О.

Определение. Алгебраические величины

(7.15)

называют статическими моментами относительно координатных плоскостей.

Для плоской системы параллельных сил, расположенных, например, в плоскости Оху, вводят понятие статических моментов относительно осей координат Ох и Oу по формулам

.

Статические моменты параллельных сил относительно точки и координатных плоскостей определяются по единому правилу: алгебраические значения сил умножают на расстояния от точек приложения сил до точки или плоскости и результаты суммируют. Расстояния от точек приложения сил до координатных плоскостей есть величины скалярные; это соответствующие координаты этих точек. Расстояния от точки О до точек приложения параллельных сил берутся векторные. Ими являются радиус-векторы точек приложения параллельных сил, проведенные из точки О.