§ 3. Эквивалентные системы сил.

Введем некоторые определения. Две силы, приложенные в общей точке, векторы которых отличаются только знаком, будем называть противоположными. Систему сил, образованную из заданной путем замены каждой силы системы ей противоположной, называют системой, уравновешивающей заданную.

Примем следующие обозначения. Систему сил будем обозначать S, систему сил, уравновешивающую систему S, обозначим (– S). Если система сил состоит из сил системы S₁ и S₂, то ее будем обозначать S₁+S₂.

Определение. Если системы S₁ и S₂ таковы, что S₁+ (– S₂) и S₂ (–S₁) находятся в равновесии, то говорят, что системы S₁ и S₂ эквивалентны.

(Можно показать, что для эквивалентности систем сил S₁ и S₂ достаточно потребовать выполнения только одного из названных условий.)

Определение. Если существует сила, эквивалентная системе сил, то ее называют равнодействующей системы сил или просто равнодействующей.

До сих пор мы пользовались понятием равнодействующей для системы сил, приложенных к одной материальной точке. Существование равнодействующей для такой системы сил следует из принципа независимости действия сил. В приведенном выше определении речь идет о системе сил, приложенных к различным точкам твердого тела. Такая система сил не всегда имеет равнодействующую.

Имеет место следующий критерий эквивалентности. Необходимым и достаточным условием эквивалентности двух силовых систем является соответственно равенство главных векторов и главных моментов относительно какой-либо точки:

. (7.8)

Важным следствием этой теоремы является теорема Вириньона, справедливая для всякой системы сил, имеющей равнодействующую.

В дальнейшем будем говорить, что над системой сил можно производить те или иные операции, если эти операции переводят данную систему в ей эквивалентную.

Так как главный вектор и главный момент системы сил не меняется от перемещения точек приложения сил вдоль их линии действия, то из теоремы об эквивалентных системах сил следует, что каждую силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку (конечно, неизменно скрепленную с телом).

Из этой же теоремы следует, что присоединение к данной системе сил системы, находящейся в равновесии, заменяет данную систему системой ей эквивалентной. Вспомним, что систему сил, состоящую из двух сил, равных по величине и направленных по одной прямой в противоположные стороны, называют двойкой сил. Присоединение к системе сил, либо отбрасывание от нее двойки сил заменяет заданную систему системой, ей эквивалентной.

Имеет место и следующее утверждение. Замена двух сил системы, приложенных к твердому телу, линии действия которых пересекаются, одной силой, линия действия которой проходит через точку пересечения линий действия заданных сил и вектор которой равен сумме векторов заданных сил, переводит исходную систему в ей эквивалентную.

Две нижеследующие теоремы устанавливают условия существования равнодействующей у сил, линии действия которых параллельны.

Рис. 91

Теорема. Две параллельные силы, направленные в одну сторону, имеют равнодействующую, направленную в ту же сторону, что и силы. Величина равнодействующей равна сумме величин сил, а линия ее действия делит отрезок прямой, заключенный между линиями действия сил, в отношении, обратно пропорциональном величинам сил (рис. 91).

Рис. 92

Теорема. Две параллельные силы, направленные в разные стороны и величины которых не равны, имеют равнодействующую, направленную параллельно силам в ту сторону, что и сила большей величины. Величина равнодействующей равна модулю разности величин сил, и линия действия равнодействующей делит внешним образом любой отрезок между линиями действия сил на части, величины которых обратно пропорциональны величинам сил (рис. 92).

К параллельным системам сил относится и пара сил – такая система сил, у которой нет равнодействующей.

Для пар сил имеют место следующие теоремы.

Теорема. Две пары, имеющие равные моменты, эквивалентны.

Сформулированный результат означает, что над парой можно делать всевозможные операции, которые не изменяют ее момента.

Определение. Система сил, состоящая из пар, называется системой пар.

Теорема. Система пар сил эквивалентна одной паре, момент которой ранен сумме моментов пар системы:

.

Определение. Пара, эквивалентная системе пар, называется результирующей парой.

Необходимым и достаточным условием равновесия системы пар является равенство нулю суммы моментов пар системы:

.

Важное значение имеет задача об отыскании наиболее простой системы сил, эквивалентной произвольной системе сил. Из следующей теоремы вытекает, что произвольную систему сил можно заменить эквивалентной ей системой трех сил.

Теорема. Произвольная система сил эквивалентна одной силе, линия действия которой проходит через произвольную точку пространства, вектор которой равен главному вектору системы сил, и паре сил, момент которой равен главному моменту системы относительно выбранной точки.

Приведенная теорема называется основной теоремой статики – теоремой Пуансон.

Замена произвольной системы сил, приложенной к твердому телу, тремя силами может быть осуществлена бесчисленным множеством способов. Конкретный вид системы трех сил, эквивалентной заданной произвольной системе сил, зависит от выбора точки приведения. При заданной точке приведения замена не является однозначной, вследствие того, что пару сил можно менять, не меняя ее момента.

!!! Дальнейшие результаты удобно формулировать с помощью величин, не зависящих от выбора точки приведения.

Определение. Инвариантами в статике называются такие величины для рассматриваемой системы сил, которые не изменяются при изменении центра приведения.

Первым инвариантом является главный вектор системы сил, так как в любом центре приведения он выражается векторной суммой системы сил.

Скалярное произведение главного момента относительно какой-либо точки на главный вектор также не зависит от выбора точки приведения, т. е.

.

Величину поэтому называют вторым инвариантом системы сил.

Определение. Система сил, состоящая из силы и пары, плоскость которой перпендикулярна вектору силы, называют динамическим винтом или динамой (рис. 93).

Рис. 93

Для решения задачи о приведении системы сил к простейшему виду важна следующая теорема.

Теорема. Если главный вектор системы сил отличен от нуля, то существует прямая линия, при приведении к точкам которой главный момент равен нулю, либо параллелен главному вектору.

Указанная прямая линия называется центральной осью системы. Уравнение центральной оси можно получить, воспользовавшись условием коллинеарности векторов и :

, (7.9)

где А(х, у, z) – точка центральной оси.

Равенства (7.9), задающие центральную ось системы, можно переписать в форме

,

где точка О – начало системы координат.

В следующих теоремах рассматриваются частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.

Теорема. Необходимым и достаточным условием приведения системы к динамическому винту является отличие от нуля второго инварианта системы сил.

Система сил, эквивалентная динаме, приводится к ней, если в качестве точки приведения взята точка на центральной оси системы. Эта ось в рассматриваемом случае называется центральной винтовой осью.

Теорема О. И. Сомова. Произвольная система сил, второй инвариант которой не равен нулю, в общем случае может быть приведена к двум скрещивающимся силам, одна из которых приложена в центре приведения.

Теорема. Необходимыми и достаточными условиями приведения системы сил к равнодействующей являются отличие от нуля первого инварианта системы и равенство нулю второго инварианта.

Центральная ось системы в рассматриваемом случае является линией действия равнодействующей.

Теорема. Необходимыми и достаточными условиями приведения системы сил к паре сил являются равенство нулю главного вектора и отличие от нуля главного момента системы сил относительно какой-либо точки.

Результаты приведенных теорем объединены в таблице.

Первый инвариант	Второй инвариант	Значение главного момента	К чему приводится заданная система сил
			К паре сил с моментом
			К равнодействующей силе
		и перпендикулярен	К равнодействующей силе
		и не перпендикулярен	К динамическому винту или к двум, в общем случае, скрещивающимся силам
			Система сил эквивалентна нулю

Для частных случаев силовых систем – сходящейся, параллельной и плоской второй инвариант всегда равен пулю. Следовательно, перечисленные силовые системы не могут быть приведены к динамическому винту, условием приведения этих систем к равнодействующей является отличие от нуля главного вектора.

При приведении системы сил к простейшему виду удобно придерживаться следующего порядка действии:

1. выбрать декартову систему координат;

2. найти проекции на оси главного вектора системы и главные моменты относительно осей;

3. установить, согласно таблице, какая из перечисленных силовых систем имеет место в данной задаче;

4) если система сил приводится к паре сил, найти момент пары сил; если приводится к равнодействующей, найти вектор и линию действия равнодействующей; если приводится к динамическому винту, найти центральную винтовую ось, вектор силы и момент пары сил, составляющих динамический винт. !!!