§ 2. Равновесие произвольной системы сил.

Примем без доказательства следующее утверждение.

Теорема. Необходимым и достаточным условием равновесия системы сил, приложенных к свободному твёрдому телу, является равенство нулю главного вектора и главного момента системы сил относительно какой–либо точки:

. (7.2)

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат: два векторных уравнения будут эквивалентны 6 скалярным.

Получим выражения для момента силы относительно координатных осей:

Тогда

Таким образом, в развернутом виде уравнения равновесия имеют вид:

Рассмотрим отдельные случаи, когда число независимых уравнений равновесия меньше шести.

1. Сходящаяся система сил.

Определение. Система сил называется сходящейся (пучком прямых), если линии действия сил пересекаются в одной точке, которая называется точкой схода или центром пучка.

В этом случае начало отсчета можно переместить в точку схода, тогда , а значит, уравнения 4,5,6 становятся тождествами. Следовательно, для сходящейся системы достаточно записать три уравнения равновесия: (7.3)

Определение. Если все силы системы лежат в одной плоскости, то система сил называется плоской.

В случае плоской сходящейся системы сил уравнений равновесия будет только два.

2. Параллельная система сил.

Определение. Если линии действия всех сил системы параллельны, такая система сил называется параллельной.

В таком случае выберем одну из координатных осей параллельно заданным силам (например, ось Z). Тогда проекции сил . Уравнения 1,2,6 обращаются в тождества, а уравнения 3,4,5 являются уравнениями равновесия:

(7.4)

3. Произвольная система сил.

В этом случае упростить систему уравнений равновесия не удастся, т.е. придется решать все шесть уравнений.

Определение. Если число неизвестных в задаче соответствует числу уравнений, задача называется статически определимой, в противном случае – статически неопределимой.

Если заданная система сил является плоской, то можно совместить одну из координатных плоскостей (например, ОХУ) с плоскостью действия сил.

Тогда . Уравнения 3,4,5 обращаются в тождества, а уравнения 1,2,6 являются уравнениями равновесия:

(7.5)

Запись уравнений равновесия в форме (7.5) является основной формой уравнений равновесия.

Форма записи (7.5) не является единственной. Другие формы записи уравнений равновесия вытекают из следующих теорем.

Теорема о трех моментах. Необходимыми и достаточными условиями равновесия системы сил являются равенства нулю главных моментов системы относительно трех точек, не лежащих на одной прямой.

(7.6)

Теорема. Необходимыми и достаточными условиями равновесия системы сил являются равенства нулю главных моментов относительно двух точек и проекции главного вектора на ось, не перпендикулярную отрезку, соединяющему эти точки:

(7.7)

При решении задач, в которых рассматривается равновесие тел, удобно придерживаться следующей схемы:

1. указать тело, равновесие которого рассматривается, или условиться об очередности рассмотрения равновесия тел;

2. приложить к телу активные силы;

В статике рассматривают силы, приложенные к твердому телу в какой-либо его точке, в действительности обычно силы бывают приложены к какой-либо части объема тела или его поверхности, а иногда к некоторой части линии. Так как все аксиомы и теоремы статики формулируются для сосредоточенных сил, приложенных к твердому телу, то необходимо рассмотреть способы перехода от распределенных сил к сосредоточенным в простейших, наиболее часто возникающих случаях.

Распределенные силы, прежде всего, характеризуются интенсивностью распределенной силы, т. е. силой, приходящейся на единицу объема, поверхности или длины линии. В основном встречаются параллельные и сходящиеся распределенные силы. К параллельным силам, распределенным по объему тела, относится вес частиц этого тела. Сила давления воды на плотину относится к распределенным параллельным силам по поверхности плотины. Сила тяжести частиц тонкой проволоки характеризует распределенные силы по длине линии.

Рассмотрим замену сосредоточенными силами только распределенных сил по длине линии, т. е. линейных распределенных сил. Для простоты возьмем случаи, когда отрезок линии, по которому распределены силы, является отрезком прямой, а интенсивность этих сил или постоянна (силы распределены по прямоугольнику), или распределена по линейному закону, в простейшем случае по треугольнику. Комбинируя эти два случая, можно получить линейное распределение интенсивности распределенной силы в более общем случае.

Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии.

Пусть на участке АВ прямой линии длиной ℓ распределены параллельные силы, интенсивность которых q постоянна (рис. 89, а). Заменим эти распределенные силы сосредоточенными. Для этого отрезок АВ разобьем на отрезки достаточно малых размеров по сравнению с его длиной. На каждый такой малый отрезок действует сила , которую при достаточной малости длины отрезка , можно считать сосредоточенной силой. Заменяя полученную таким образом систему сосредоточенных параллельных сил одной равнодействующей силой, получим

Рис. 89

.

Равнодействующая параллельна распределенным силам и приложена вследствие симметрии распределения сил в середине отрезка АВ.

Если параллельные силы постоянной интенсивности q распределены по отрезку прямой, наклоненному к распределенным силам, то модуль равнодействующей R таких сил равен , линия действия ее параллельна распределенным силам и проходит через середину отрезка (рис. 89,б). Модуль равнодействующей в этом случае не равен площади параллелограмма, образованного прямой АВ и распределенными силами.

Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону.

Рассмотрим распределенные параллельные силы, изменяющиеся по линейному закону (рис. 90, а). Обычно считают, что такие силы распределены по треугольнику. Параллельные распределенные по треугольнику силы приводятся к равнодействующей , по модулю равной ,

Рис. 90

где – наибольшая интенсивность силы. Это легко можно проверить путем сложения параллельных сосредоточенных сил , приложенных к каждому элементарному отрезку длиной . Наиболее просто это можно сделать путем интегрирования. Действительно,

.

Если х отсчитывать от точки А, то из подобия треугольников имеем

После этого, вставляя под интеграл вместо q его значение, получаем

.

Точка приложения С равнодействующей силы смещается в сторону, где интенсивность силы больше, и совпадает с центром тяжести площади треугольника, который находится в точке пересечения медиан, расположенной на расстоянии ¹/₃ от основания треугольника и ²/₃ от его вершины А, т.е. АС=²/₃ ℓ. Точку приложения равнодействующей силы можно также определить вычислив момент элементарных сосредоточенных сил , например относительно точки А, и применив затем теорему Вариньона о моменте равнодействующей силы.

Имеем

.

Заменяя q его значением , получаем

.

Учитывая, что , найдем

.

Если параллельные силы с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону, распределены по отрезку прямой, наклоненному к направлению сил (рис. 90, б), то их равнодействующая и делит отрезок АВ так же, как и в том случае, когда распределенные силы перпендикулярны отрезку АВ. Величина равнодействующей в этом случае не равна площади треугольника, образованного отрезком прямой А В и распределенными силами.

В более сложных случаях распределенных сил равнодействующую силу и ее точку приложения обычно определяют путем интегрирования и применения теоремы Вариньона. Величину равнодействующей в случае непараллельных распределенных сил находят так же, как и для параллельных, только суммируют (и, следовательно, интегрируют) не элементарные сосредоточенные силы , а их проекции на оси координат. По проекциям уже вычисляют равнодействующую силу и косинусы ее углов с осями координат.

3. освободиться от связей и отнести реакции связей к активным силам;

4. выбрать оси координат так, чтобы уравнения равновесия были наиболее простыми. Этого удается достичь, если стараться выбрать оси так, чтобы точки, в которых на тело наложены связи, находились на этих осях;

5. найти проекции всех сил на оси координат и моменты их относительно этих осей;

6. составить уравнения равновесия; найти неизвестные силы из уравнений равновесия.