Лекция № 13

Тема 6. “ Основные понятия и аксиомы статики”.

§ 1. Несвободные системы материальных точек. Элементарная работа силы и системы сил.

На систему материальных точек действуют силы внешние и внутренние.

Определение. Внешними называются силы, с которыми точки либо тела, не входящие в рассматриваемую систему, действуют на точки, входящие в нее. Внутренними силами называются силы взаимодействия точек рассматриваемой системы.

Система внутренних сил, приложенных к рассматриваемой системе материальных точек, в соответствии с третьим законом Ньютона, состоит из двоек сил. Главный вектор и главный момент системы внутренних сил равны нулю.

Пусть равнодействующая внутренних сил, приложенных к k–ой точке системы, обозначена , главный вектор и главный момент системы внутренних сил – соответственно и .

Тогда .

Для случая, когда любая система сил, приложенных к твердому телу, плоская или пространственная, приводится к равнодействующей силе, часто применяют теорему Вариньонa: Если система сил имеет равнодействующую, то вектор равнодействующей равен главному вектору системы сил, а момент равнодействующей относительно точки (или оси) равен главному моменту системы сил относительно этой точки (оси).

В механике часто встречаются задачи, в которых на возможные движения системы материальных точек наложены некоторые ограничения.

Определение. Материальная точка называется свободной, если она может занимать любое положение в некоторой области, имея в этом положении произвольную скорость. Система материальных точек называется свободной, если все точки системы одновременно свободны.

Тела, ограничивающие перемещения точек системы, называются с в я – з я м и. Если на точки системы наложена некоторая связь, то это значит, что координаты точек системы, проекции скоростей точек и время связаны некоторыми функциональными зависимостями:

(6.6)

Уравнения (6.6) называются уравнениями связей.

Определение. Система материальных точек, на которую наложена по крайней мере одна связь, называется несвободной.

Определение. Связь называется стационарной, если в уравнение связи время явно не входит. В противном случае связь называется нестационарной.

Определение. Связь называется голономной, если уравнение связи не содержит проекций скоростей точек системы, если в уравнение связи проекции скоростей входят в не интегрируемой комбинации, то связь называется неголономной.

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные, голономные связи.

Если существует такое положение системы, что координаты точек системы удовлетворяют всем уравнениям связей, то связи называются непротиворечивыми.

Если при каком-то движении системы координаты ее точек удовлетворяют некоторым условиям связи и отсюда следует, что будут удовлетворены и оставшиеся уравнения связи, то связи называются зависимыми. В противном случае связи называются независимыми.

Рассмотрим только непротиворечивые и независимые связи, число которых меньше числа координат точек системы.

Итак, рассматривается система связей

(6.7)

Число s =3n – k называется числом степеней свободы системы.

Скорости точек системы удовлетворяют уравнениям:

, (6.8)

где – вектор с проекциями .

Каждая совокупность векторов , удовлетворяющая уравнениям (6.8), называется возможными скоростями точек системы. Эти векторы имеют размерности скоростей. Истинные скорости точек системы есть некоторые возможные.

Векторы , где – возможные скорости, а  – произвольное вещественное число, называются возможными перемещениями.

Элементарные перемещения это некоторые возможные.

Чтобы убедиться в этом, достаточно взять в качестве возможных скоростей истинные, и положить = dt.

Рис. 79

Определение. Возможной работой силы называется скалярное произведение вектора силы на возможное перемещение точки ее приложения (рис. 79): (6.9)

Определение. Возможной мощностью силы называется скалярное произведение вектора силы и возможной скорости точки ее приложения:

(6.10)

Возможная мощность системы сил, приложенных к твердому телу, равна

(6.11)

где и – соответственно главный вектор и главный момент системы сил;

и – соответственно возможная скорость точки А тела и его возможная угловая скорость.

Формуле (6.11) соответствует следующее выражение для возмож­ной работы системы сил, приложенных к твердому телу:

, (6.12)

где и – соответственно возможное перемещение точки А тела и его возможный вектор поворота.

Если рассматривается мгновенно-поступательное движение твердого тела, то

,

где – возможное перемещение любой точки тела;

– ее возможная скорость.

Если тело совершает мгновенное вращение, то

где – главный момент системы сил относительно мгновенной оси;

– проекция возможной угловой скорости на мгновенную ось.

Т.к. для системы внутренних сил главным вектор и главный момент, вычисленный относительно произвольного полюса, равны нулю, то из равенства (6.11) следует, что возможная мощность, а следовательно, и возможная работа

системы внутренних сил, приложенных к твердому телу, равны нулю:

Определение. Силы, с которыми рассматриваемая система материальных то­чек действует на связи, называются силами давления на связи; силы, с которыми связи действуют на рассматриваемую систему материальных точек, называются реакциями связей.

Сила давления на связь и соответствующая реакция связи подчиняются третьему закону Ньютона, т. е. они имеют общую линию действия и векторы этих сил отличаются только знаком. В отли­чие от реакций заданные силы называются активными.

Определение. Связи называются идеальными, если сумма возможных работ реакций связей равна нулю, т. е.

,

где – реакция, приложенная к k-ой точке;

– возможное перемещение k-ой точки.