Раздел 1. К и н е м а т и к а

Тема 1. « Кинематика точки »

§ 1. Основные понятия.

Теоретическая механика изучает движение в пространстве и времени.

Определение. Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение тел без учета физических причин, вызывающих это движение.

Определение. Под механическим движением в кинематике мы будем понимать изменение с течением времени пространственного взаимного расположения тел.

Характер движения одного и того же объекта будет разным в зависимости от того, по отношению к каким другим телам это движение будет рассматриваться. Например, известно, что траекториями планет относительно далеких звезд являются эллипсы, в то же время наблюдатель, находящийся на Земле, видит движение планет происходящим по сложным пространственным кривым. Для летчика, находящегося в кабине самолёта, движение ротора двигателя будет вращением вокруг неподвижной оси независимо от того, как двигался самолёт. Если при этом самолёт двигался поступательно и прямолинейно, то для наблюдателя, находящегося на Земле, движение ротора будет винтовым.

Т. о., при изучении движения тела, следует, прежде всего указать, по отношению к какой системе отсчета изучается движение. Систем отсчета существует достаточно много, мы будем работать в декартовой системе координат, снабженной часами.

Всё многообразие окружающих нас материальных объектов теоретическая механика объединила в три основные модели: материальная точка, система материальных точек, абсолютно твёрдое тело.

Определение. Материальной точкой называют простейшую модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы, и которое можно принять за геометрическую точку (по сравнению с характерными размерами задачи), обладающую массой.

Определение. Системой материальных точек или механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Определение. Абсолютно твёрдыми телами называют механическую систему, расстояния между точками которой не изменяются в процессе движения при любых взаимодействиях.

Все тела в природе в той или иной форме деформируемы, но в некоторых задачах этими деформациями можно пренебречь.

§ 2. Способы задания и уравнения движения точки. Траектория движения.

Движение точки считают заданным, если известно её положение в пространстве в любой момент времени. Существуют три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.

1. Положение точки определено, если задан её радиус – вектор , проведенный из неподвижной точки пространства.

Определение. Функциональная зависимость радиуса – вектора исследуемой точки от времени называется уравнением движения точки в векторной форме:

(1.1)

2. Положение точки в пространстве можно определить не только при помощи вектора , но также при помощи скалярных величин–координат точки, заданных как функции времени. В частности, в декартовой прямоугольной системе координат уравнения движения точки можно написать с помощью трёх функций:

. (1.2)

Понятно, что оба эти способа задания движения точки эквивалентны, т. к.

. (1.3)

Рис. 1

!!! Декартовы координаты не являются единственными координатами, применяемыми при описании движения точки.

В общем случае в качестве координат точки могут быть приняты значения любых трех функций декартовых координат

q ₁=q₁(x, y, z); q₂ = q₂(x, y_, z); q₃ = q₃(x, y, z), (1.25)

ели только этими уравнениями х, у, z определяются как функции q ₁, q_2, q₃, т.е.

x = x (q₁, q₂, q₃); у = у (q₁, q₂, q₃); z = z (q₁, q₂, q₃). (1.25)

Таким образом, ни одно из уравнений (1.25) не должно противоречить другим и не должно являться следствием других.

Через каждую точку пространства в этом случае проходят три координатные поверхности, уравнения которых можно получить из выражений (1.25), положив криволинейные координаты равными тем иx значениям, которые определяют положение точки в фиксированный момент времени (т. е. некоторым фиксированным значениям):

q ₁(x, y, z) = С₁ ;

q₂(x, y, z) = C₂; (1.27)

q₃ (х, у, z) = C₃.

Имеем, таким образом, при различных значениях постоянных С₁, С₂, С₃ три семейства координатных поверхностей. Если взять любую пару равенств (1.27), например

q₂(x, y, z) = C₂;

q₃ (х, у, z) = C₃. (1.28)

то равенства (1.28) представляют собой уравнения координатной линии. Вдоль этой линии меняется только одна координата q₁. Очевидно, что через каждую точку пространства проходят три координатные линии (см. рис. 11).

Рис.11

Положительными направлениями координатных линий считаются те, которым отвечают возрастающие значения соответствующих координат. Так как координатные линии являются кривыми линиями, то рассматриваемая система координат общего вида называется криволинейной.

Если подставить в правую часть соотношения (1.3) вместо, декартовых координат их значения, выраженные через криволинейные координаты q₁, q₂, q₃ (1.26), то получим зависимость радиус-вектора от криволинейных координат:

(1.29)

Если рассматривать теперь движущуюся точку, то определяющие ее криволинейные координаты будут меняться с течением времени, и уравнения движения точки в криволинейных координатах будут иметь вид:

(1.30)

Рассмотрим произвольную вектор–функцию скалярного аргумента .

Определение. Годографом вектор–функции скалярного аргумента  называется геометрическое место концов вектор–функции , полученных при всех возможных значениях аргумента , если начало вектор–функции откладывать от фиксированной точки, называемой полюсом годографа.

Годограф представляет собой некоторую кривую линию. Ту сторону годографа, в направлении которой движется конец вектора при возрастании переменной , называют стороной возрастания аргумента, противоположную сторону – стороной убывания аргумента.

Если скалярному аргументу  сообщить некоторые приращения , то вектор получит приращение

. (1.31)

Рис. 12

Вектор направлен по хорде годографа в положительную сторону, если  >0, и в отрицательную сторону, если  <0. Производная вектор–функции по скалярному аргументу  представляет собой предел (1.32) при стремлении приращения аргумента  к нулю.

Так как вектор направлен по хорде в положительную сторону при  >0 и в отрицательную сторону при  <0, то в обоих случаях отношение направлено по хорде в положительную сторону.

Перейдя к пределу при  0, получим утверждение: производная вектор–функции по скалярному аргументу  направлена по касательной к годографу вектор–функции в сторону возрастания аргумента.

В общем случае годограф вектор–функции есть пространственная кривая, вид которой зависит от закона изменения вектора функции. Так, например, годографом постоянной вектор–функции является точка (рис.13, а), годографом вектор–функции сохраняющей направление, является прямая, имеющая направление вектор–функции и проходящая через полюс годограф (рис.13,б), годографом вектора–функции, сохраняющей величину, является кривая, лежащая не сфере, центр которой находится в полюсе годографа и радиус которой равен величине вектор–функции (рис.13, в). Учитывая теперь, что производная от вектор–функции направлена по касательной к годографу, и что она является скоростью точки годографа, придем к следующим выводам.

Рис. 13

В случае рис. 13,а скорость точки годографа равна нулю, так как точка не перемещается. Отсюда очевидный вывод: производная постоянной вектор–функции равна нулю. В случае рис.13,б годограф – прямая, поэтому скорость точки годографа направлена по этой прямой. Отсюда следует, что производная вектор–функции, сохраняющей направление, коллинеарна вектор–функ-ции (рис.13,б). В случае рис.13,в скорость точки годографа лежит в касательной плоскости к сфере, на которой расположен годограф. Поэтому скорость точки годографа будет перпендикулярна радиус–вектору , описывающему годограф (рис.13,в). Следовательно, производная от вектор–функции, сохраняющей величину, перпендикулярна вектор–функции.

Заметим также, что в общем случае модуль производной от вектор –функции по некоторому скалярному аргументу не равен производной от модуля этой функции по указанному аргументу, т. е.

.

В самом деле, при вычислении величины, стоящей слева, учитывается изменение величины и направления вектора , в то время как величина, стоящая справа, изменение направления вектора отвечающее изменению аргумента , не учитывает. Поэтому равенство

имеет место только для специальных вектор–функций скалярного аргумента, а именно тех, направление которых не меняется с изменением аргумента, т. е. вектор–функций вида

,

где – постоянный вектор.

Применяя теперь приведенные выше соображения к изучению зависимостей вектора от каждой из криволинейных координат q₁, q₂, q₃, придем к выводу, что производные от вектора

(1.33)

полученные при изменении только одной из трех криволинейных ко­ординат (они называются частными производными), направлены по касательным к соответствующим координатным линиям в сторону возрастания координат.

С помощью векторов (1.33) можно образовать тройку ортов криволинейной системы координат

. (1.34)

Если орты (1.34) взаимно ортогональные, то криволинейная система координат называется ортогональной.

Для ортогональной системы криволинейных координат

, (1.35)

где – символ Кронекера, который определяется следующими условиями:

Рассмотрим некоторые системы ортогональных криволинейных координат, применяемые в теоретической механике.

Цилиндрические координаты. Формулы перехода от декартовых координат х, у, z к цилиндрическим координатам , , z имеют вид:

x = cos ; y = sin ; z = z. (1.36)

Обратный переход производится по формулам:

. (1.37)

Координатные поверхности описываются уравнениями

. (1.38)

Из уравнений (1.38) видно, что одна из этих поверхностей есть прямой круговой цилиндр, причем ось Oz является его осью симмет­рии, другая поверхность есть плоскость, проведенная через ось Oz, третья поверхность есть плоскость, перпендикулярная этой оси. Ко­ординатные поверхности, а также орты криволинейных цилиндриче­ских координат изображены на рисунке.

Рис. 14

Из равенства (1.3) и (1.36) имеем

, (1.39)

откуда

. (1.40)

Из (1.40) получаем

. (1.41)

Пользуясь соотношениями (1.34), (1.40), (1.41) найдем орт цилиндрической системы координат:

. (1.42)

Уравнения движения точки в цилиндрических координатах имеют вид

. (1.43)

Сферические координаты. Формулы перехода от декартовых координат х, у, z к цилиндрическим координатам r, ,  имеют вид:

. (1.44)

Обратный переход производится по формулам:

(1.45)

Координатные поверхности описываются уравнениями

(1.46)

Из уравнений (1.46) видно, что одна из этих поверхностей есть сфера с центром в начале координат; вторая поверхность есть плоскость, проведенная через ось Oz; третья поверхность есть круговой конус, имеющий в качестве оси симметрии ось Оz (см. рис.15).

Рис. 15

Из равенства (1.3) и зависимостей (1.23) получим

, (1.47)

откуда

. (1.48)

Из (1.48) получаем . (1.49)

Пользуясь соотношениями (1.34), (1.48), (1.49) найдем орт сферической системы координат:

. (1.50)

!!! Уравнения движения точки в сферических координатах имеют вид

. (1.51)

Определение. Геометрическое место последовательно занимаемых точкой положений в заданной системе отсчета называется траекторией точки.

Траектория движущейся точки может быть прямолинейной или криволинейной. Вид траектории зависит от выбранной системы отсчета. Например, при бомбометании траектория падения бомбы относительно самолёта – это прямая линия, а относительно Земли – парабола.

Уравнения движения в форме (1.1) и (1.2) являются одновременно и уравнениями траектории в параметрическом виде, не дающем наглядного представления о виде траектории. Для устранения этой проблемы нужно перейти от уравнений в параметрическом виде к уравнениям в координатной форме, исключая параметр t – время.

Например,

3. Часто необходимо определить положение точки при её движении по наперёд заданной траектории. Уравнения кривой по которой движется точка при помощи декартовых координат записываются в виде: . Этих уравнений недостаточно для определения положения точки в пространстве в любой момент времени. Зададим закон движения по траектории с помощью длины дуги, которую будем называть дуговой координатой  =  (t).

Выберем некоторую фиксированную точку, от которой будем отсчитывать , и положительное направление отсчета. Тогда положение точки М в пространстве будет определено однозначно.

Рис. 2

Итак, задание движения точки при помощи задания уравнений траектории и длины дуги как функции времени называют естественным способом задания движения.

(1.4)