§ 3. Момент силы относительно точки и оси.

Вектор силы и радиус-вектор точки, лежащей на линии действия силы, определяют силу. Однако силу можно задать и другим способом, который является более удобным. Для этого введем понятие момента силы.

Определение. Моментом силы относительно точки (полюса), называют векторное произведение радиус-вектора точки, проведенного из полюса в точку на линии действия силы:

. (6.2)

Рис. 70

Величина момента силы. , где – плечо силы = длине перпендикуляра, опущенного из полюса на линию действия силы. 2) направлен по правилу векторного произведения: перпендикулярно плоскости, проходящий через полюс и вектор силы, в ту

сторону, откуда поворот силы вокруг полюса виден против стрелки часов.

(6.3)

Момент силы относительно полюса будет равен нулю лишь в случае, когда полюс лежит на линии действия силы.

Момент силы относительно полюса обладает следующим свойством:

Рис. 71

проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, есть величина постоянная для всех точек оси. Пусть – момент силы относительно точки О, лежащей на оси и и θ – угол между вектором и осью. Если θ острый угол, то проекция вектора на ось и равна длине отрезка ОК : . Угол θ равен углу между плоскостью и плоскостью π, перпендикулярной оси. Вспомнив, что произведение площади треугольника на косинус угла

между плоскостями равно площади проекции треугольника, то

.

Выбрав на оси другую точку – О₁ и проведя аналогичные рассуждения, получим:

, т.е. ОК=О₁ К₁. ■

Определение. Моментом силы относительно оси называют проекцию момента силы относительно какого–либо полюса, лежащего на оси, на эту ось.

Момент силы относительно оси равен нулю в том случае, когда ось и линия действия силы либо параллельны, либо пересекаются.

Рис.72

Для вычисления момента силы относительно оси необходимо сначала спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, затем вычислить момент проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью, определить знак момента.

Определение. Главным моментом силы относительно полюса (оси) называют сумму моментов сил относительно этого полюса (оси).

Т. к. момент силы относительно полюса зависит от выбора полюса, то и главный момент системы сил зависит от выбора полюса. Характер этой зависимости отражен в следующей теореме.

Теорема. Главный момент системы сил относительно произвольного полюса равен главному моменту относительно заданного полюса, сложенному с моментом силы, приложенной в заданном полюсе, вектор которой равен главному вектору системы, и вычисленному относительно нового полюса.

Доказательство. Пусть и – радиус – векторы точек приложения сил, соответственно проведенные из точек А и В. Тогда главные моменты системы и будут равны:

и .

Заметим, что .

Тогда

Следовательно, . (6.4)

Т. к. второе слагаемое правой части этого равенства есть момент силы с вектором , приложенным в точке А и вычисленный относительно точки В , то теорема доказана. ■

Как видно из (6.4) главный момент системы сил не зависит от выбора полюса в том случае, когда главный вектор этой системы равен нулю.

Примером такой силовой системы является пара сил.

Определение. Парой сил называют систему двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны.

Под действием пари сил свободное твердое тело выходит из равновесия.

Рис. 73

Обычно пару сил (F1, F2) прилагают к телу, которое должно вращаться, например, к маховику вентиля при его закрывании и открывании. Потому пару сил нельзя заменить одной силой. Пара сил, действующая на твердое тело, характеризуется, прежде всего, плоскостью действия, аналогично тому, как сила характеризуется линией действия.

Определение. Плоскостью действия пары сил называют плоскость, в которой расположены силы пары, расстояние между линиями действия сил пары называют плечом пары.

Итак, главный вектор такой системы сил равен нулю, а главный момент не зависит от выбора полюса.

Рис. 74

Для вычисления момента пары выберем полюс на линии действия одной из сил – т. А. Получим, . Величина момента пары равна произведению величины силы на плечо , т.е. площади параллелограмма, построенной на силах пары; направлен момент плоскости пары в ту сторону, откуда вращение пары видно против стрелки часов.

Определение. Две пары сил называют эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.

Докажем теорему об эквивалентности двух пар сил.

Теорема. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющей одинаковый с первой парой момент.

Иначе: две пары сил, расположенные в одной плоскости, эквивалентны, если они имеют одинаковые моменты.

Доказательство. Пусть на твердое тело действует пара сил ( ) с моментом М (рис. 75).

Рис. 75

Перенесем силу , в точку 01, а силу – в точку О2, проведем через точки О1 и О2 две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары и лежащие, следовательно, в плоскости действия заданной пары сил. Соединив прямой точки О1 и О2, разложим силы , в точке О1 и в точке О2 по правилу параллелограмма, как указано па рис. 75. Тогда . Так как силы , и образуют пару сил, то , следовательно,

.

Итак, , так как ( )0;

следовательно, эту систему двух сил можно отбросить.

Таким образом, заданную пару сил ( ) заменим другой парой сил . Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы. Направление вращения у них одно и то же. По величинам этих моментов имеем:

.

Но , так как эти треугольники имеют общее основание О₁О₂ и равные высоты (их вершины расположены на общей прямой, параллельной основанию).

Таким образом, теорема доказана и можно сделать следующие выводы:

а) пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия;

б) у пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом величину момента пары и плоскость действия.

Эти операции над парами сил не изменяют их действия на твердое тело. ■

Можно также показать, что действие пары сил на твердое тело не изменяется от переноса этой пары сил в параллельную плоскость, т.е. можно переносить пару сил из одной плоскости в другую, параллельную исходной, не изменяя её действия на твердое тело.

Сформулируем условия эквивалентности двух пар сил, используя наиболее общую характеристику пары сил — ее момент.

Известно, что пару сил можно как угодно поворачивать и переносить в плоскости ее действия; действие пары сил на твердое тело не изменяется, если величина момента пары сил остается такой же. Следовательно, момент пары сил можно переносить параллельно самому себе в любую точку твердого тела, лежащую в плоскости действия пары сил. Так как к тому же пару сил можно переносить в параллельную плоскость, то момент пары сил можно переносить параллельно самому себе в любую точку тела, не изменяя действия пары сил на твердое тело. Поэтому векторный момент пары сил, действующей на твердое тело, есть свободный вектор, т. е. он характеризуется только модулем и направлением, а точкой приложения у него может быть любая точка тела.

Итак, две пары сил, действующие на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.

Теорема о сумме моментов сил пары. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора точки и равна моменту этой пары сил, т. е. для пары ( ) (6.5)

где О – любая точка (рис. 76).

Доказательство. Эту теорему докажем, вычисляя левую часть равенства (6.5):

,

Рис.76

так как для пары сил . Но , и не зависит от выбора точки О; следовательно, , что по определению и есть момент пары сил М, т.е. . Взяв за точку О последовательно точки А и В, по формуле (6.5) имеем

т. е. момент пары сил равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары. ■

Рассмотрим случай, когда пары сил не лежат в одной или параллельных плоскостях, а расположены в пересекающихся плоскостях. Докажем, что две пары сил, действующие на одно и то же тело и лежащие в пересекающихся плоскостях можно заменить одной эквивалентной парой сил, в момент которой равен сумм моментов заданных пар сил.

Рис. 77

Пусть имеются две пары сил ( ) и ( ) (рис.77), лежащие в пересекающихся плоскостях. Эти пары сил можно получить из пар сил, как угодно расположенных в пересекающихся плоскостях, путем параллельного переноса, поворота в плоскости действия и одновременного изменения плеч и сил пар. Сложим силы в точках А и В по правилу параллелограмма. После сложения получим две силы R и R':

.

Силы и составляют пару сил, так как они приложены в разных точках и как равнодействующие равных, но противоположных сил, образующих пары сил.

Итак, при сложении двух пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях, получается эквивалентная пара сил.

Обозначим М момент пары сил ( ).

Тогда .

Учитывая, что ,

где и моменты заданных пар сил ( ) и ( ), имеем

,

т. е. момент эквивалентной пары сил равен сумме моментов заданных пар. ■

Таким образом, чтобы сложить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях, надо сложить их моменты по правилу параллелограмма в какой-либо точке тела, например в точке В (рис. 77). Сложение пар сил, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, есть частный случай сложения пар сил в пересекающихся плоскостях, так как в этом случае их моменты параллельны и, следовательно, векторное сложение перейдет в алгебраическое.

Последовательно применяя правило параллелограмма ко всем моментам пар сил, можно любое количество пар сил в общем случае заменить одной парой сил, момент которой М равен сумме моментов заданных пар сил:

Если это сложение выполнять графически, особенно когда моменты пар сил находятся в одной плоскости, то момент эквивалентной пары сил изобразится замыкающей векторного многоугольника, построенного из моментов заданных пар сил.

Для пар сил, расположенных в одной плоскости, теорема об их сложении формулируется так: пары сил, действующие на твердое тело и расположенные в одной плоскости, можно привести к одной паре сил, момент которой численно равен сумме моментов составляющих пар сил.

Так же складываются пары сил, расположенные в параллельных плоскостях, так как их предварительно можно перенести в одну плоскость.

Например, определить величину момента пары сил, которая получается при сложении двух пар сил с моментами М₁ =40Нм и М₂ = 30Нм, действующих на одно и то же твердое тело. Пары сил расположены в пересекающихся плоскостях, двугранный угол между которыми равен 60 .

Решение. Складываем по правилу параллелограмма моменты заданных пар сил. Для модуля момента эквивалентной пары сил М имеем

Нмтак как угол между М₁, и М₂ равен двугранному углу между плоскостями действия пар сил.

Рис.78

Пример 2. Пары сил с моментами М1=10Нм и М2=6Нм противоположного направления вращения находятся в параллельных плоскостях. Пара, имеющая момент М3= 3Нм, расположена в перпендикулярной плоскости (рис.78). Определить момент эквивалентной пары сил. Решение. Сложим сначала величины моментов пар сил, расположенных в параллельных плоскостях.

Получим пару сил с моментом М₁,₂ = М₁ – М₂= 10 – 6 = 4 Нм, так как моменты пар сил имеют противоположные знаки. Пару сил с моментом М_1,2 сложим с парой сил, имеющей момент М₃.

Так как угол между и прямой, то момент эквивалентной пары

Нм.