3. Сложение поступательного и вращательного движений

Если тело одновременно участвует в переносном поступа­тельном движении со скоростью и относительном вращатель­ном с угловой скоростью , то в зависимости от их взаимного расположения целесообразно рассмотреть три отдельных случая.

1. Скорость поступательного движе­ния перпендикулярна оси относительного вращения.

Рис. 62

В этом случае векторы и перпендикулярны (рис. 62). На линии ОС, перпендикулярной плоскости, в которой расположены и , имеется точка С, скорость которой равна нулю. Определим ее расстояние от точки О. По теореме сложения скоростей для точки С имеем

,

т. к. при вращении вокруг оси .

Учитывая, что скорости и противоположны по направле­нию, получим

.

Так как 0, то =0 и, следовательно, точки С и О находятся на расстоянии

. (5.23)

Другие точки, имеющие скорости, равные нулю, располагаются на линии, проходящей через точку С, параллельно оси вращения тела с угловой скоростью . Таким образом, имеется мгновенная ось вращения, параллельная оси от­носительного вращения и проходящая через точку С. Для определения угловой скорости абсолютного вращения вы­числим скорость, например, точки О двумя способами. Считая движение сложным, имеем

.

Точка О находится на оси относительного вращения, и поэтому = 0. Скорость переносного движения в рассматриваемом случае переносного поступательного движения равна . Следо­вательно, . С другой стороны, эквивалентное абсолютное движение тела является вращением вокруг мгновен­ной оси, проходящей через точку С с угловой скоростью . Поэтому для скорости точки О имеем

.

Приравнивая скорости точки О, вычисленные двумя способами и используя (5.23), получаем

, или , или .

Вращение вокруг мгновенной оси должно иметь такое направле­ние, чтобы скорость точки О имела такое же направление, что и скорость . Отсюда получаем совпадение направлений вращения относительного и абсолютного вращений. Следова­тельно, .

Таким образом, при сложении поступательного переносного и вращательного относительного движений твердого тела, у которого скорость поступательного движения перпен­дикулярна оси относительного вращения, эквивалентное аб­солютное движение является вращением вокруг мгновенной оси, параллельной оси относительного вращения с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью относительного вращения.

Такой же результат можно получить, если поступательное движение со скоростью заменить парой вращений , выбрав . Два вращения с угловыми скоростями ' и  можно отбросить, так как , и абсолютным движением окажется вращение с угловой скоростью . Скорость поступательного движения равна моменту пары вращений. Приравнивая их, получим или , что совпадает с (5.23).

Еще одна интерпретация рассмотренного случая получается, если рассмотреть параллельный перенос скользящего вектора угловой скорости в точку О. Такой перенос, как известно, следует компенсировать парой вращений, эквивалентной посту­пательному движению со скоростью .

На поступательное переносное и вращательное относитель­ное с осью вращения, перпендикулярной к скорости переносного движения, разлагается плоское движение твердого тела.

Рис.63

Так, плоское движение без скольжения колеса по прямой (рис. 63) можно составить из поступательного движения колеса вместе с центром О со скоростью и относительного вращательного вокруг оси, проходящей через точку О с угловой скоростью . Это же движение можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через МЦС, который совпадает с точкой Р.

Угловая скорость этого абсолютного вращения , и оно имеет то же направление вращения, что и относительное вокруг оси, проходящей через точку О. Если в качестве точки О используется другая точка колеса, например точка М, то изменится только скорость переносного поступательного движения. Она будет равна скорости точки М. Угловая скорость , вращения тела вокруг оси, проходящей через точку М, по величине и направлению будет той же самой, что и вокруг осей, проходящих через точки О и Р.

2. Винтовое движение.

Движение, при котором скорость переносного поступательного движения тела параллельна оси относительного вращения, называется винтовым движени­ем твердого тела (рис. 64).

Рис. 64

Ось вращения тела в этом случае называется винтовой осью. При винтовом движении тело движется поступательно, параллельно оси винтового движения и вращается вокруг этой оси. Винтовое движение не приводится к какому-либо другому одному простому эквивалентному движению. При винтовом движении векторы и могут иметь как одинаковые, так и противоположные направления.

Винтовое движение тела характеризуется параметром винтового движения, которым считают величину . Если и изменяются с течением времени, то и параметры винтового движения являются переменными. В общем случае ,

т. е. р есть перемещение тела вдоль оси винтового движения при повороте тела на один радиан.

Для скорости точки М тела, совершающего винтовое движение, по теореме сложения скоростей имеем

.

Но , где – расстояние точки до винтовой оси. Скорости и перпендикулярны. Следовательно,

.

Учитывая, что , получаем

. (5.24)

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и имеет постоянную скорость поступательного движения, то такое движение тела называется постоянным винтовым движением.

В этом случае точка тела при движении все время находится на поверхности кругового цилиндра с радиу­сом . Траекторией точки является винтовая линия. Кроме параметра в рассматриваемом случае вводят шаг винта, т. е. расстояние, на которое переместится какая–либо точка тела при одном обороте тела вокруг оси винтового движения. Угол поворота тела  при  = const вычисляется по формуле . Для одного оборота тела  = 2. Необходимое для этого время . За время Т точка переместится в направлении, параллельном винтовой оси, на шаг винта .

Отсюда получается зависимость шага винта от параметра винтового движения h =2р.

Рис. 65

Уравнения движения точки М тела по винтовой линии (рис. 65) в декартовых координатах выражаются в следующей форме: В этих уравнениях величины , r и V являются постоянными.

3. Общий случай. Пусть скорость переносного поступатель­но движения и угловая скорость относительного вращения образуют угол . Случаи, когда  = 0, 90 и 180, уже рассмотрены.

Рис. 66

Разложим скорость (рис. 66) на две перпендикулярные составляющие 1 и 2, причем 1 направим параллельно . Тогда . Переносное движение со скоростью 2 и относительное враще­ние с угловой скоростью эквивалентны вращению вокруг оси,

проходящей через точку С с угловой скоростью (согласно случаю первому), причем .

Скорость поступательного движения ₁ имеют все точки тела. Таким образом, получено винтовое движение с винтовой осью, отстоящей от первоначальной оси вращения на величину

.

Параметр полученного винтового движения .

Общий случай переносного поступательного и относительного вращательного движений твердого тела оказался эквивалент­ным мгновенному винтовому движению.