3. Пара вращений.

Рис. 61, а

Парой вращений называется совокуп­ность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одина­ковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 61, а). В этом случае = – . Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки М имеем .

Составляющие движения явля­ются вращениями с угловыми скоростями и . По формуле Эйлера для них получим

.

После этого для абсолютной скорости имеем

,

так как – = . Учитывая, что , получаем

.

Так как векторное произведение можно назвать моментом угловой скорости , относительно точки В, то .

Заменяя на – , соответственно получим

.

Объединяя результаты, имеем

,

или

, (5.21)

где является векторным моментом пары вращений .

Таким образом, если твердое тело участвует в паре вращений, то скорости всех точек тела, согласно (5.21), одинако­вы, т. е. тело совершает при этом мгновенное поступательное движение. При длительном участии тела в паре вращений будет длительным и поступательное движение.

Скорость поступательного движения тела

.

Она равна векторному моменту пары вращений, который может быть также выражен векторным моментом одной из угловых скоростей относительно какой–либо точки, расположен­ной на оси вращения тела с другой угловой скоростью, входящей в пару вращений. Скорость поступательного движения тела, участвующего в паре вращений зависит только от характеристик пары вращений. Она перпендику­лярна осям пары вращений. Числовое ее значение можно выразить как

, (5.22)

где d – кратчайшее расстояние между осями пары или плечо пары.

Пара вращений аналогична паре сил, действующей на твердое тело. Угловые скорости вращения тела, аналогично силам, являются векторами скользящими. Векторный момент пары сил является вектором свободным. Аналогичным свойством обладает и векторный момент пары вращений.

Пару вращений и ее эквивалентность поступательному движению, можно наглядно продемонстрировать на приборе (рис. 61, в), состоящем из неподвижной 1 и подвижной 2 шестеренок, соединенных цепью.

Рис. 61, в

При вращении кривошипа АВ вокруг оси, проходящей через точку А, шестеренка 2 будет участвовать в двух вращениях вокруг параллельных осей: переносном вместе с кривошипом и относительном вокруг оси, проходящей через точку В. Вращения противоположны. Их угловые скорости одинаковы. Скорости всех точек шестерен­ки 2 равны скорости точки В, причем , все время при движении этой шестеренки. Если с шестеренкой 2 скрепить прямолинейный отрезок MN, то он при движении механизма будет оставаться параллельным своему первоначальному положению.

Если этот горизонтальный отрезок совместить с дном стаканчика с водой, прикрепив стаканчик к подвижной шестеренке, то вода не выльется из стаканчика при движении механизма в вертикаль­ной плоскости.

При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы. Точка В описывает окружность радиуса l. Траекто­рии всех других точек подвижной шестеренки будут тоже окружностями такого же радиуса. Тело, участвующее в паре вращений, совершает плоское поступательное движение.