2. Сложение вращений вокруг параллельных осей.

Следует рассмотреть три случая.

1. Вращения имеют одинаковые направления.

Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью (рис. 60, а). Таким телом является диск, представленный на рис. 60.б.

Рис.60, а

Рис.60, б

Пересечем оси вращения перпендикулярной прямой. Получим точки пересечения А и В, в которые можно перенести векторы угловых скоростей и . На отрезке А В тела в рассматриваемый момент имеется точка С, скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки С имеем

.

Точки тела, для которых переносная и относительная скорости параллельны и противоположны, могут находиться только на отрезке АВ между точками А и В. Скорость точки С равна нулю, если . Но . Следовательно, , или

. (5.16)

Прямую, перпендикулярную осям вращения, можно провести на любом расстоянии. Следовательно, существует ось, скрепленная с телом и параллельная осям вращения, скорости точек которой равны нулю в данный момент. Она является мгновенной осью вращения в рассматриваемый момент времени.

Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки В, считая ее движение сложным. Получим

, но .

Следовательно, .

Для скорости точки В при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем

.

Приравнивая скорости точки В, полученные двумя способами, имеем

.

Согласно (5.16), .

Поэтому, ,

т.е.

. (5.17)

Формулу (5.16) можно представить в следующем виде:

.

Образуя производную пропорцию и используя формулу (5.17), получим

,

или

. (5.18)

Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается вращение вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений, внутрен­ним образом. Точка С при таком делении располагается между точками А и В.

Естественно, справедливо и обратное. Вращение вокруг оси с угловой скоростью можно разложить на два вращения вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и .

Тело, участвующее в двух вращениях вокруг параллельных осей, совершает плоское движение. Плоское движение твердого тела можно представить как два вращения, переносное и от­носительное, вокруг параллельных осей.

Рис. 59, в

Плоское движение колеса сателлита 2 по неподвижному колесу 1 (рис. 59, в) явля­ется примером движения, которое можно заменить двумя вращениями вокруг параллельных осей в одном и том же направлении, например против движения часовой стрелки. Колесо сателлита совершает переносное вращение вместе с кривошипом А В вокруг оси, проходящей через точку А с угловой скоростью и относительное вращение вокруг оси, проходящей через точку В с угловой скоростью .

Оба вращения имеют одинаковые направления. Абсолютное враще­ние происходит вокруг оси, проходящей через точку Р, которая является в данный момент МЦС. Она находится в месте соприкосновения колес, если подвижное колесо катится без скольжения по неподвижному. Угловая скорость абсолютного вращения

.

Абсолютное вращение с этой угловой скоростью происходит в том же направлении, что и составляющие движения.

2. Вращения имеют противоположные направления.

Рассмот­рим случай, когда (рис. 60, а).

Рис. 60, а

Получим следующие формулы: , (5.19) , или . (5.20)

_{Для вывода этих формул разложим вращение с угловой скоростью на два вращения в том же направлении вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и . Ось одного из вращений с угловой скоростью возьмем проходя­щей через точку В и выберем = . Другое вращение с угловой скоростью пройдет через точку С (рис. 60, б). Па основании (5.17) и (5.18) имеем}

Рис. 60, б

, или , . Справедливость формул (5.19) и (5.20) доказана.

Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом.

Точка С при таком делении находится на отрезке А В за точкой А, через которую проходит ось вращения с большей угловой скоростью. Можно также одно вращение разложить на два вокруг параллельных осей с противоположными направлениями враще­ния.

Рис. 60, в

Примером плоского движения твердого тела, которое может быть представлено двумя вращениями вокруг параллель­ных осей в противоположных направлениях, является движение колеса сателлита, катящегося внутри неподвижного колеса без скольжения (рис. 60, в). Переносным в этом случае является вращение колеса 2 вместе с кривошипом АВ с угловой скоростью , вокруг оси, проходящей через точку А.

Относитель­ным будет вращение колеса 2 вокруг оси, проходящей через точку В с угловой скоростью , и абсолютным – вращение этого колеса вокруг оси, проходящей через МЦС, точку Р, с угловой скоростью . В этом случае > , и потому угловая скорость абсолютного вращения . Это вращение по направлению совпадает с направлением вращения, имеющим большую угловую скорость. Ось абсолютного вращения расположена вне отрезка А В за осью вращения с большей угловой скоростью.