§2. Теорема Кориолиса о сложении ускорений.

Продифференцируем обе части равенства (5.5) в абсолютной системе отсчета:

.

Согласно (5.7) , тогда , где

.

Согласно лемме о локальной производной: .

.

Первые три слагаемых согласно формуле Ривальса определяют ускорение той точки переносящей среды, с которой совпала рассматриваемая точка, т.е. переносное ускорение:

.

Тогда . (5.9)

Рассчитаем согласно лемме о локальной производной:

. Тогда . (5.10)

Для получим, учитывая (5.9) и (5.10):

.

Обозначим и назовём Кориолисовым ускорением.

Определение. Кориолисовым ускорением называется удвоенное произведение угловой скорости переносящей среды на относительную скорость точки

(5.11)

Окончательно имеем:

(5.12)

Этот результат называется теоремой о сложении ускорений или теоремой Кориолиса.

Теорема. Абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. ■

Кориолисово ускорение равно нулю в 3-х случаях:

• переносящая среда движется поступательно – ;

• мгновенный относительный покой – ;

• относительная скорость в данный момент времени параллельна угловой скорости переносящей среды.

Это видно из выражения для величины кориолисова ускорения:

.

Направлено кориолисово ускорение перпендикулярно плоскости, проведенной через и согласно правилу векторного произведения. В том случае, когда и взаимно перпендикулярны, целесообразно пользоваться правилом Н.Е.Жуковского: кориолисово ускорение направлено так,как вектор относительной скорости, повернутый на 90 в направлении переносного вращательного движения.

§ 3. Сложение движений твердого тела.

В простейшем случае рассматривают сложение двух движений твердого тела, одно из которых являемся переносным, другое – относительным. Относительным движением твердого тела считают его движение, в простейшем случае поступательное или вращательное, относительно подвижной системы осей координат, движущейся относительно другой, основной или неподвижной, системы координат, т. е. системы координат, движение которой относительно других систем координат не рассматривается. Переносным движением твердого тела называют его движение, тоже в простейшем случае поступательное или вращательное, вместе с подвижной системой координат в рассматриваемый момент времени относительно неподвижной. Сложным движением твердого тела называется его движение относительно основной или неподвижной системы координат. Составление сложного движения из переносного и относительного в простейшем случае или нескольких переносных и относительных движений в общем случае, называют сложением движений твердого тела. Обратный процесс называется разложением движения твердого тела на составляющие движения и этот процесс всегда возможен.

Плоское движение свободного твердого тела считают уже сложными. В общем случае переносное и относительное движения твердого чела могут быть любыми сложными движениями тела.

При рассмотрении сложного движения твердого тела, состоящего из нескольких движений, рассматривают сложение его движений не за конечный промежуток времени, а в рассматриваемый момент времени, т. е. в действительности рассматривается сложение скоростей линейных и угловых. Для вычисления ускорений точек тела следует использовать формулу для сложного движения точки или формулы для ускорений точек того движения твердого тела, которое получается в результате сложения движений.

3.1. Сложение поступательных движений твердого тела.

Имеем твердое тело, участвующее одновременно в двух поступательных движениях, одно из которых является переносным со скоростью , а другое – относительным со скоростью . Таким образом, твердое тело движется относительно подвижной системы координат Oxvz поступательно со скоростью , а подвижная система координат движется относительнo неподвижной O₁x₁y₁z₁ тоже поступательно со скоростью (рис. 58). Движение тела относительно основной системы координат является сложным.

Рис. 58

Установим вид сложного движения. Для этого вычислим скорость какой–либо точки М тела относительно неподвижной системы координат O1x1y1z1. По теореме сложения скоростей для точки имеем , (5.13) так как переносное и относительное движения тела являются поступательными. Это справедливо для любой точки рассматриваемого тела, а потому сложное движение тела является поступательным со скоростью .

Таким образом, от сложения двух поступательных движении твердого тела получается поступательное движение со скоростью, равной векторной сумме скоростей составляющих поступательных движений.

Если имеется последовательность поступательных движений тела, первое из которых является относительным по отношению к переносному второму, а это второе относительным к переносному третьему и т. д. (скорости таких последовательных движений соответственно ), то от сложения этих движений путем последовательного применения (5.13) получим поступательное движение тела со скоростью

. (5.14)