§2. Общий случай движения абсолютно твердого тела.

Чтобы определить положение твердого тела в пространстве, зададим прежде всего положение какой–нибудь одной его «ос­новной точки», или полюса О' (рис. 50), при помощи радиус – вектора этой точки или ее координат (х₀, у₀, z₀). Тело мо­жет вращаться около фикси­рованного положения полюса О', поэтому для определения положения тела в простран­стве нужно еще задать три эй­леровых угла тела по отноше­нию к системе О'|, оси кото­рой параллельны неподвиж­ным осям Охуz, а начало на­ходится в полюсе.

Рис. 50

Итак, твердое тело в про­странстве имеет шесть степе­ней свободы, характеризуемых величинами х0, у0, z0; , , . Уравнения движения твердого тела будут иметь вид: (4.27)

Имея заданными эти шесть величин, легко составить и урав­нения движения любой точки М тела. Из основного равенства

проектированием его на оси неподвижной системы получим

(4.28)

Здесь направляющие косинусы могут быть выражены через эйлеровы углы согласно формулам (4.2), а углы являются заданными функциями времени по (4.27); величины х', у', z' – заданные постоянные, оп­ределяющие выбор точки, движение которой разыскивается, х₀, у₀, z₀ – заданные функции времени по (4.27). Таким образом, при заданных уравнениях движения тела (4.27) уравнения (4.28) дают уравнения движения точек тела.

Рис. 51

Рассмотрение общего случая перемещения тела можно све­сти к изучению перемещений жесткого треугольника (рис. 51), имеющего в вершинах какие–нибудь три точки тела М1, М2, М3. Положение такого треугольника однозначно связано с положе­нием твердого тела.

Докажем следующую основную теорему кинематики твердого тела:

Теорема. Всякое перемещение тела в пространстве может быть осу­ществлено поступательным перемещением вместе с полюсом и одним поворотом вокруг оси, проходящей через полюс.

Для доказательства этой теоремы предположим, что за по­люс выбрана точка А тела (рис. 52).

Рис. 51

Чтобы перейти из поло­жения I в П, совершим сначала поступательное перемещение , переводящее тело из положения I в положение I'. Пере­мещение тела из положения I' в положение П является перемещением тела вокруг неподвижного центра А1,

следовательно, оно может быть по теореме Эйлера произведено одним вращением вокруг оси А₁J, проходящей через точку А₁, что и доказы­вает теорему.

В дополнение к этой теореме докажем еще, что: 1) вектор поворота не зависит от выбора полюса, т. е. при перемене по­люса будет меняться только поступательное перемещение, а ось, угол и направление поворота не будут изменяться, и

2) проекции поступательных перемещений (при различных полюсах) на общее направление оси поворота равны между собой.

Для доказательства обратим внимание на то, что в проме­жуточных положениях треугольников А₁В'С и А"В₁С" стороны их соответственно параллельны друг другу, а следовательно, как легко видеть из чертежа, для перехода их в положение А₁В₁С₁ нужно совершить повороты вокруг параллельных осей на одинаковые углы и в одинаковом направлении.

Далее,

;

но по определению вектора поворота проекция вектора на ось А₁J или, что всё равно, на ось B₁ J' равна нулю, и, следовательно, проекции векторов и на это направление равны друг другу.

Переход тела из одного положения в смежное может быть совершен при помощи различных поступательных перемещений, которые зависят от выбора той точки тела (полюса), перемещение которой определяет поступательное перемещение. Все эти по­ступательные перемещения будут различаться между собой как по величине, так и по направлению, но проекции их на ось пово­рота будут одинаковы. Можно выбрать полюс таким образом, чтобы перемещение его было наименьшим, т. е. равнялось по величине общей проекции перемещений всех остальных точек. Такая точка должна иметь перемещение, направленное парал­лельно оси поворота (перемещение будет при этом равно своей проекции).

Определение. Совокупность поступательного перемещения и вра­щательного вокруг оси, параллельной поступательному переме­щению, называется винтовым перемещением тела.

Происхождение этого наименования следует из рассмотрения совокупности поступательных и вращательных перемещений винта, ввинчи­вающегося в гайку.

Перемещение любой точки тела, как было показано, скла­дывается из поступательного перемещения, равного перемеще­нию полюса, и вращательного вокруг оси, проходящей через полюс. Если рассматривать только бесконечно малые переме­щения тела, соответствующие переходу тела из данного поло­жения в бесконечно близкое, то с точностью до бесконечно ма­лых высших порядков можно представить вращательное пере­мещение как векторное произведение вектора бесконечно малого поворота на радиус – вектор рассматриваемой точки по отношению к полюсу.

Рис. 52

Обозначим (рис. 52) через вектор перемещения любой точки тела, через – ее радиус – вектор относительно полюса и через – вектор переме­щения полюса; тогда на ос­новании только что дока­занной теоремы о пе­ремещениях будем иметь , (4.29) или, после деления на dt,

. (4.30)

Эта основная формула кинематики твердого тела дает закон распределения скоростей в твердом теле в общем случае его движения. Слагаемое определяет поступательную составляющую скорости, равную скорости по­люса, второе слагаемое, , представляет собой вращатель­ную составляющую скорости тела вокруг полюса О'.

Зная движение полюса и закон вращения тела вокруг по­люса, т. е. имея уравнения движения, можем по формулам (4.30) определить скорость любой точки тела. Проекции скорости на оси получим по общим правилам проектирования векторных выражений. Выпишем проекции скорости на неподвижные и подвижные оси:

(4.31)

Здесь ; что касается проекций скорости полюса на оси подвижных ко­ординат, то их приходится определять по проекциям на непо­движные оси при помощи формул перехода

Переходим к рассмотрению вопроса о распределении уско­рений. Для этого продифференцируем левую и правую части (4.30) по времени; получим

, или

. (4.32)

Рис. 53

Первое слагаемое, , определяет поступательное ускорение равное ускорению полюса, а второе и третье, и – вращательную и осестремительную со­ставляющие ускорения вращения тела вокруг полюса.

Числен­ные величины и направления последних двух слагаемых уже были исследованы при рассмотрении движения тела вокруг не­подвижной точки (рис. 53).

Таким образом, получаем теорему:

Теорема. Ускорение точки твердого тела в общем случае его движе­ния складывается из трех составляющих: 1) поступательного ускорения, одинакового в данный момент для всех точек тела и равного ускорению полюса; 2) вращательного ускорения во­круг полюса, равного по величине произведению углового уско­рения на кратчайшее расстояние точки до оси вектора углового ускорения, и направленного перпендикулярно к плоскости, про­ходящей через ось вектора углового ускорения и данную точку, в ту сторону, откуда вращение вектора углового ускорения к вектор-радиусу точки на наименьший угол будет видно поло­жительным, и, наконец, 3) осестремительного ускорения, рав­ного по величине произведению квадрата угловой скорости па кратчайшее расстояние точки до мгновенной оси вращения, проведенной через полюс, и направленного перпендикулярно к мгновенной оси от точки в сторону этой оси.

Перемещение твердого тела в пространстве в общем случае может быть представлено как совокупность некоторого посту­пательного перемещения и поворота вокруг оси, параллельной этому перемещению. Такую совокупность перемещений, как было отмечено, называют винтовым перемещением. Переход от конечных перемещений к бесконечно малым перемещениям, а следовательно и к скоростям, значительно упрощает рассмотрение вопроса и позволяет дать ему простое аналитическое решение.

Докажем, что угловая скорость вращения тела не зависит от вы­бора полюса.

Рис. 54

Перейдем от полюса О' к новому полюсу О" (рис. 54) и предположим, что при новом полюсе угловая ско­рость будет уже не , а . Тогда . Замечая, что , (4.33) перепишем предыдущее равенство после очевидных приведений в виде или .

Из последнего равенства вследствие произвольности век­тора следует , что и доказывает утверждение об одинаковости векторов угло­вой скорости тела при различных полюсах.

Докажем также, что проекция поступательной скорости на направление оси вращения не зависит от выбора полюса. Умножим обе части равенства (4.33) скалярно на , тогда получим

, (4.34)

так как .

Формула (4.34) доказывает вышеуказанное предложение.

Принимая различные точки тела за полюс, будем иметь раз­личные поступательные скорости. Все эти скорости имеют общую проекцию на направление оси вращения, одинаковой по направлению для всех полюсов. Те точки тела, которые будут иметь скорости направленными параллельно оси вращения, бу­дут вместе с тем иметь и наименьшие скорости. Все остальные точки будут иметь скорости большие, так как их проекции равны скоростям предыдущих точек.

Покажем, что в теле существует в каждый момент времени ось, все точки которой имеют скорости, направленные параллельно угловой скорости.

Рассмотрим непосредственно уравнение этой оси из последнего ее определения, пользуясь основной формулой распределения скоростей (4.30).

Поставим сначала вопрос, можно ли разыскать хотя бы одну такую точку С с радиус – вектором ,чтобы скорость ее была параллельна вектору , т. е. чтобы выполнялось равенство

.

Раскрывая произведение, получим

; (4.35)

этому уравнению можно удовлетворить, если положить = 0, т. е. за точку С принять основание перпендикуляра, опущенного из полюса О на искомую ось; тогда согласно соот­ношению (4.35) найдем

. (4.36)

Одну точку мы, таким образом, определили: ее радиус – вектор относительно неподвижного начала О будет равен

; (4.37)

но легко видеть, что и все точки с радиус – векторами

,

где  – произвольный скаляр, также удовлетворяют уравнению (4.35), а это означает, что геометрическое место точек, скорости которых параллельны вектору угловой скорости, представляет собой прямую линию с уравнением

, (4.38)

или, переходя к радиус – векторам по отношению к неподвижной системе,

. (4.39)

Если принять за полюс какую–нибудь точку на этой оси, то в данный момент времени движение тела можно будет пред­ставить разложенным на поступательное движение вдоль этой оси и вращательное вокруг нее, т. е. заданное движение можно рассматривать как винтовое. Такую совокупность движений иногда характеризуют термином «кинематический винт». Ана­логия его с «динамой» очевидна. И в статике, и в кинематике общим является метод приведения совокупности векторов к простейшему виду.

Общую для всех точек тела поступательную составляющую скорости назовем скоростью скольжения. Поскольку направ­ление скорости скольжения дается винтовой осью, причем эта скорость может быть направлена как в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, так и в противоположную сторону, будем определять скорость скольжения алгебраической величи­ной с, равной по (4.34)

, (4.40)

где Vo — скорость произвольно выбранного в теле полюса.

Итак, всякое движение твердого тела можно рассматривать как винтовое, т. е. как совокупность поступательного движения и движения вращательного вокруг оси, параллельной направ­лению поступательного движения. Ось, вокруг которой тело в данный момент поворачивается, и параллельно которой пере­мещается поступательно, называется мгновенной винтовой осью.

Уравнения этой оси в векторном виде по отношению к по­движным и неподвижным осям представлены равенствами (4.38) и (4.39) совместно с (4.36) и (4.37). Переходя к проекциям на по­движные и неподвижные оси, получим соответственно следую­щие уравнения:

(4.41)

где координаты точки С определяются по (4.36) и (4.37).

Как уже упоминалось, точка С выбрана на винтовой оси так, чтобы радиус – вектор по отношению к полюсу О' был перпендикулярен к винтовой оси, т. е. чтобы длина вектора определяла кратчайшее расстояние от полюса до винтовой оси.

В отличие от мгновенной оси вращения тела, имеющего не­подвижную точку, винтовая ось не проходит через одну и ту же неподвижную точку в разные моменты времени, точка С меняет свое расположение в пространстве с течением времени; поэтому, исключая время из уравнений (4.41), мы не получим конических поверхностей.

Линейчатые поверхности, образованные движением винтовой оси в неподвижном пространстве и в движущемся теле, будем называть соответственно неподвижным и подвижным аксоидами винтовых осей.

Подобно тому как это было доказано для аксоидов мгно­венных осей, можно было бы доказать, что при движении тела подвижный аксоид винтовых осей катится по неподвижному, и скользит по нему вдоль общей образующей – винтовой оси.