Лекция № 7–9

Тема 4. “ Общий случай движения точки и твердого тела”.

§ 1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки.

Определение. Вращением твердого тела вокруг неподвижной точки называ­ют такое движение, при котором одна точка тела остается все время неподвижной.

Это вращение часто называют сферическим движением твердого тела в связи с тем, что траектории всех точек тела при таком движении располагаются на поверхностях сфер, описанных из неподвижной точки. Вопрос этот имеет большое практическое значение, так как лежит в основе

теории гироскопических явлений, динамики корабля, самолета, ракеты, а также движений небесных тел. Тело, совершающее вращение вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы, так как закрепление одной точки тела уменьшает число степеней свободы на три единицы, а свободное тело имеет шесть степеней свободы. Одной из главных задач при изучении вращения тела вокруг неподвижной точки является установление величин, характеризующих это движение.

Предположим, что рассматриваемое твердое тело имеет неподвижную точку (центр) О (рис. 38), и может как угодно вращаться вокруг этой точки. Выясним прежде всего число величин, которое надо задать для определения положения твердого тела в пространстве.

Рис. 38

Для этого проведем через центр О ось OL, жестко связанную с телом; положение этой оси в пространстве определится двумя ве­личинами: углами  и  этой оси с осями Ох и Оу неподвижной системы координат. Но этих двух величин еще недостаточно для определения положения твердого тела, так как тело может вращаться около взятой оси. Задавая еще одну величину – угол  поворота тела вокруг оси, – полностью фиксируем положение тела в пространстве.

Приведенный выбор трех углов поясняет наличие трех степеней свободы у твердого тела, имеющего одну закрепленную точку, но, однако, непригоден для определения положения (координат) точек твердого тела, скоростей и ускорений в этих точках. Один из наиболее практически удобных выборов трех углов был указан Эйлером, что привело к наименованию всех возможных систем такого рода углов эйлеровыми углами.

Соединим жестко с вращающимся телом «подвижную» систему координат Ox'y'z' (рис. 39) и будем рассматривать вращение этой системы по отношению к «неподвижной», в условном смысле этого слова, системе Охуz.

Рис. 39

Отметим линию ON пересечения плоскостей хОу и х'Оу' (рис. 39) и назовем ее, как это принято в астрономических приложениях, линией узлов. Выберем на этой линии положительное направление ON так, чтобы, смотря с него, видеть вращение осп Oz к оси Оz' на наименьший угол в положительном направлении (т. е. в правой системе осей – против часовой стрелки); как легко видеть, плоскость zOz' перпендикулярна к оси ON.

Первый эйлеров угол — угол прецессии  или прецессионный угол, – образован в плоскости хОу линией узлов с неподвижной осью Ох; отсчитывается угол  в положительном направлении (против часовой стрелке) от оси Ох к оси ON, если смотреть с оси Oz.

Второй угол — угол нутации  – расположен в плоскости zOz' и отсчитывается от оси Oz к оси Оz' в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть с положительного направления линии узлов, т. е. оси ON.

Третий угол — угол чистого вращения  – расположен в плоскости х'Оу', причем отсчитывается от линии узлов ON до оси Ох' в положительном направлении.

Рис. 40

Для установления зависимостей между косинусами углов осей координат и эйлеровыми углами применим следующий прием. Введем, кроме единичных векторов осей координат і, j, k, і', j', k' (на рис. 40 опущенных) еще единичные векторы следующих осей (рис. 181), – линии узлов ON; – оси ON1, перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости хОу, – оси , перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости х'Оу'.

Направление оси ON₁ выберем так, чтобы оси ONN₁z образовали триэдр, сонаправленный (т. е. правый) с системой осей Oxyz; направление оси выберем так, чтобы оси образовали сонаправленный триэдр с системой Ox'y'z', а следовательно, и с системой Oxyz. Легко видеть, что угол между осями ON'₁ и ON₁ представляет собой линейный угол двугранного угла между плоскостями х'Оу' и хОу, т.е. угол . Тогда, замечая еще, что единичные векторы і, j и і', j' легко могут быть выражены через единичные векторы , , в форме зависимостей, получаемых из разложения одних единичных векторов по другим:

(4.1)

найдём

Имеем откуда

Аналогично получим остальные косинусы:

Выделим полученную группу формул:

^(4.2)

Для установления зависимостей между косинусами углов, образованных осями подвижной системы (связанной с твердым телом) с осями неподвижной системы, и эйлеровыми углами можно воспользоваться также формулами сферической тригонометрии.

Р ис. 41

Опишем вокруг точки О сферу единичного радиуса и отметим на поверхности сферы точки пересечения ее с осями координат и линией узлов (рис. 182). Соединяя эти точки дугами больших кругов, получаем сферические треугольники, решая которые находим искомые соотношения между косинусами углов, образуемых координатными осями, и тригонометрическими функциями эйлеровых углов. Используем основную формулу сферической тригонометрии cosa = cosb cosс + sinb sinс cosA, (4.3)

Рис. 42

где дуги a, b, с являются сторонами сферического треугольника, а А обозначает двугранный угол, противолежащий одноименной стороне (рис. 42). Чтобы найти, например, нужно точки В и С пересечения осей Ох и Ох' с единичной сферой соединить с точкой А пересечения линии узлов с этой сферой. Аналогично из сферического треугольника ADE найдём , а треугольник АЕС дает .

В теории малых колебаний твердого тела (например, в теории корабля) является существенным требование, чтобы при малых отклонениях координатного триэдра Ox'y'z' от Oxyz эйлеровы углы оставались малыми. Предыдущая система эйлеровых углов этому условию не удовлетворяет. Действительно, из первого равенства совокупности (4.2) следует, что при малых О правая часть близка к cos(+), а следовательно, если ось Ох' мало отклонилась от оси Ох, т. е. дута хх' близка к нулю, то и сумма + мала, но слагаемые  и  по отдельности могут и не быть малыми. Укажем систему выбора эйлеровых углов, лишенную этого недостатка.

Рис. 43

Отметим прежде всего три основных принципа обеспечения правильного выбора эйлеровых углов: 1) Выбираются две «основные» оси, принадлежащие к системам осей Oxyz и Ox'y'z'. Это могут быть как одноименные, так и разноименные оси. Если оси одноименные, как это было в только что рассмотренном случае, то угол между ними обозначается через  (угол нутации), если разноименные, то угол полагается равным .

2. Плоскости, перпендикулярные к основным осям, называются также «основными». В пересечении они дают прямую линию, а сообщив этой прямой положительную сторону отсчета, получим линию узлов. Углы между основными осями будем отсчитывать в положительном направлении вокруг линии узлов.

3. В системах Oxyz и Ox'y'z', наряду с «основными», выбираются еще «отсчетные оси». Угол между отсчетной осью системы Oxyz и линией узлов, отсчитанный в положительном направлении около основной оси системы Oxyz, обозначим через  (угол прецессии). Угол между линией узлов и второй отсчетной осью, отсчитанный в положительную сторону вокруг основной оси системы Oxyz, обозначим буквой  (угол чистого вращения).

Пользуясь этими замечаниями, можно указать целый ряд способов выбора эйлеровых углов. Легко убедиться, что ранее изложенный способ согласуется с перечисленными только что принципами.

Примем за «основные» оси Ох и Oz' (рис. 43). Угол между ними по общему правилу обозначим через /2 + . «Основными» плоскостями будут плоскости х'Оу' и yOz; следовательно, линия узлов ON будет лежать в плоскости yOz, т. е. в плоскости рисунка. Линию узлов ON направим в ту сторону, чтобы вращение оси Ох к оси Oz' на наименьший угол происходило в положительном направлении вокруг ON. Углы  и  выберем, положив уON =, y'ON = . Когда угол  будет стремиться к нулю, так что угол хОz' будет стремиться к /2, то линия узлов ON окажется мало отклоненной от оси Oу и углы  и  будут также малы. Таким образом, условие одновременной малости всех углов Эйлера при малом отклонении системы Ох'у'z' от системы Oxyz будет выполнено.

Для составления выражений косинусов углов между осями системы координат Oxyz и Ox'y'z' легче всего использовать метод сферической тригонометрии, основанный на применении формулы (4.3).

В сферических треугольниках за одну из вершин всегда будем принимать точку N пересечения линии узлов со сферой единичного радиуса (рис. 43). Чтобы не затемнять чертежа, на рисунке показаны не все сферические треугольники.

Приведем формулы зависимости косинусов от эйлеровых углов, отмечая в скобках, из каких сферических треугольников, они получены:

Рассмотрим перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку. Докажем следующую теорему Эйлера.

Теорема. Любое перемещение тела, имеющего одну неподвижную точку, можно осуществить поворотом вокруг оси, проходящей через эту точку.

Доказательство. Проведем из центра О (рис. 44), вокруг которого вращается тело, сферу S произвольного радиуса. Эта сфера пересечет твердое тело по сферической фигуре Г; при движении тела вокруг центра фигура Г будет скользить по сфере S.

Рис. 44

Рис. 45

Всякому положенню фигуры Г соответствует вполне определенное положение твердого тела, и, наоборот, всякому положению тела соответствует определенное положение фигуры Г на сфере S. Поэтому, применяя метод, аналогичный методу замены плоского движения тела движением плоской фигуры по ее плоскости, можно свести изучение перемещений тела вокруг центра к вопросу о перемещениях сферической фигуры по сфере. Положение сферической фигуры на сфере однозначно связано с положением отрезка дуги большого круга, проходящего через точки А и В. Поэтому будем изучать перемещения дуги по сфере.

Для доказательства теоремы Эйлера рассмотрим два каких–нибудь положения одной и той же дуги большого круга (рис. 45): АВ и А'В', а следовательно, и два положения сферической фигуры и самого перемещающегося твердого тела. Соединим концы отрезков дугами больших кругов АА' и ВВ', отметим их середины А₁ и В₁ и через них проведем перпендикулярные к предыдущим дугам большие круги. Такие круги всегда пересекутся; обозначим точку пересечения их через С. Из равенства сферических треугольников АСВ и А'СВ' ( по построению, и , как сферические наклонные, одинаково удаленные от оснований сферических перпендикуляров) следует, что треугольник АСВ может быть совмещен с треугольником А'СВ' одним поворотом на угол АСА' вокруг центра С; отсюда следует, что и сферический отрезок АВ совместится с отрезком А'В'. Так как при таком перемещении останутся неподвижными две точки О и С, то и прямая ОС останется неподвижной: эта прямая будет служить осью поворота тела, что и доказывает теорему Эйлера. ■

Можно заметить, что приведенное на рис. 45 построение на сфере, где роль прямых играют дуги больших кругов, совершенно аналогично построению центра поворота в случае плоского движения.

Предположим, что тело совершило малый поворот. Введем в рассмотрение вектор малого поворота , равный по величине углу поворота тела  и направленный по оси поворота в такую сторону, чтобы с конца вектора вращение представлялось происходящим в положительную сторону.

Малое перемещение точки М твердого тела с радиус – вектором ОМ ( ) с точностью до малых высшего порядка определится вектором:

(4.4)

Рис. 46

Действительно (рис. 46), величина этого векторного произведения равна р = rsin= h, т.е. величине перемещения, а направление совпадает с перпендикуляром к плоскости, содержащей векторы и , в сторону поворота тела. Пусть тело сначала совершило малый поворот , затем также малый поворот 2; согласно теореме Эйлера эта совокупность двух поворотов может быть заменена одним поворотом с вектором поворота .

Чтобы определить вектор результирующего поворота , возьмем какую – нибудь точку М тела с радиус – вектором , которая после поворота перейдет в положение М' с радиус – вектором ; при втором повороте ₂ точка М' переходит в положение М" с радиус – вектором

Пренебрегая последним слагаемым, как малым вектором второго порядка (произведением двух малых векторов первого порядка и ₂), будем иметь

Написав формулу результирующего поворота и сравнивая ее с предыдущим выражением, вследствие произвольности вектора получим:

. (4.5)

Если бы сначала был совершен поворот ₂, а потом , то было бы

.

Итак, приходим к результату: два последовательных малых поворота тела могут быть заменены одним результирующим поворотом с вектором поворота, равным геометрической сумме слагаемых векторов поворота; от перемены порядка поворотов результирующий поворот не меняется.

Уравнениями движения тела, вращающегося вокруг подвижной точки, являются уравнения, связывающие параметры (эйлеровы углы), определяющие положение тела, со временем:

(4.6)

Определяя скорость как предел при отношения малого перемещения к промежутку времени и основываясь на формуле (4.4), найдем .

Вводя вектор угловой скорости

(4.7)

получим . (4.8)

Вектор угловой скорости направлен по предельному положению оси того поворота, который тело совершает за рассматриваемый бесконечно малый промежуток времени. Ось эта в отличие от неподвижной оси вращения называется мгновенной осью. Что касается величины вектора , то уже нельзя, как раньше, определять ее производной от некоторого угла по времени; при вращении твердого тела вокруг неподвижного центра, так же как и в общем случае пространственного движения твердого тела, такого угла не существует. Иными словами, угол бесконечно малого поворота тела не является дифференциалом некоторого угла.

Из формулы (4.8), в полной аналогии со случаем вращения вокруг неподвижной оси, следует, что величина скорости равна произведению величины угловой скорости на кратчайшее расстояние точки от мгновенной оси: ; вектор скорости направлен по перпендикуляру к плоскости, проведенной через мгновенную ось и рассматриваемую точку, в сторону вращения тела.

Согласно известным правилам проектирования векторного произведения получим из (4.8) выражения скорости в проекциях на неподвижные и подвижные оси (формулы Эйлера):

(4.9)

Покажем, как вычисляется угловая скорость по заданным уравнениям движения тола (4.6).

Для этого заметим, что согласно теореме о сложении малых поворотов всякий малый поворот тела можно представить в виде геометрической суммы трех составляющих поворотов: , а следовательно, деля обе части последнего равенства на малый промежуток времени и переходя к пределу, вектор угловой скорости этого поворота можно представить в виде суммы трех угловых скоростей составляющих поворотов:

.

Рис. 47 Рис. 47

Разложим вектор угловой скорости (рис. 47) на следующие векторы: – угловая скорость поворота тела вокруг оси Оz, – угловая скорость поворота тела вокруг линии узлов, – угловая скорость поворота тела вокруг оси Оz'. Каждый из этих поворотов соответствует изменению лишь одного из эйлеровых углов, а именно: – изменению , – изменению , – изменению .

Отсюда сразу следует, что

(4.10)

и, кроме того,

. (4.11)

Пользуясь этим представлением вектора , легко найдем его проекции на неподвижные оси Охуz:

,

или, пользуясь (4.2),

(4.12)

Аналогично получим и проекции угловой скорости на по­движные оси, проектируя равенство (4.11) на оси координат Ox'y'z', связанные с движущимся телом:

(4.13)

Из выведенных только что формул следует

. (4.14)

Система равенств (4.2) вместе с формулами (4.12) и (4.13) ре­шает вопрос о распределении скоростей в твердом теле, вра­щающемся около неподвижного центра.

Проекции угловой скорости можно выразить также и через направляющие косинусы системы осей, связанной с вращаю­щимся телом. Для этого, прежде всего, найдем производные по времени от единичных векторов подвижной системы, равные скоростям концов этих векторов. По формуле (4.8) можем на­писать

. (4.15)

разложим вектор по тем же единичным векторам:

,

и подставим в предыдущую систему равенств; тогда, вспоми­ная формулы для векторных произведений единичных векторов, будем иметь

(4.15)

Отсюда, умножая скалярно обе части равенств (4.15') соот­ветственно на , получим

или, выражая скалярные произведения через проекции сомно­жителей в системе координат Oxyz,

(4.16)

Мгновенная ось была выше определена как ось бесконечно малого поворота тела. Мгновенную ось можно также опреде­лить как геометрическое место точек тела, имеющих в данный момент нулевую скорость. Если обозначить радиус – вектор ка­кой–нибудь точки М мгновенной оси через , то из условия ра­венства нулю скорости этой точки получим

. (4.17)

Уравнение (4.17) представляет собой уравнение мгновенной оси; оно выражает тот факт, что векторы и параллельны; оба вектора имеют общее начало в точке О и, следовательно, расположены по одной прямой – мгновенной оси вращения тела.

Проектируя векторной уравнение (4.17) на неподвижные и подвижные оси координат, получим уравнения мгновенной оси:

а) в неподвижной системе координат ; (4.18)

б) в подвижной системе координат . (4.19)

Проекции угловой скорости будут меняться с течением вре­мени. Мгновенная ось будет в разные моменты времени зани­мать различные положения как в неподвижном пространстве Oxyz, так и в самом теле, т. е. в системе Ox'y'z'. Перемеща­ясь в неподвижном простран­стве и во вращающемся теле, мгновенная ось опишет в них некоторые линейчатые поверх­ности. Так как образующая эти линейчатые поверхности мгновенная ось всегда прохо­дит через неподвижную точку О, то поверхности будут кони­ческими с вершиной в точке О. Поверхность, образованную движением мгновенной оси в неподвижном пространстве, будем называть неподвижным аксоидом, а во вращающемся теле – подвижным аксоидом. Исключая время из уравнений (4.18), получим уравнение неподвижного аксоида, исключая время из уравнений (4.19), получим уравнение подвижного аксоида.

Докажем следующую теорему:

Теорема. При вращении тела вокруг неподвижного центра неподвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному.

Рис. 48

Поверхности аксоидов в каждый момент времени имеют об­щую прямую ОС (рис. 48) – мгновенную ось. Пересечем оба аксоида плоскостью, проходящей через точку С перпендикулярно к мгновенной оси, и отметим те точки М' и М, принадлежащие подвижному и неподвижному аксоидам, которые в момент t +dt будут находиться на новой мгновенной оси и, таким образом, совпадут. Перемещение точки М', т. е. вектор М'М, будет равно по уравнению (4.8)

так как .

Из предыдущего равенства следует, что сектор М'М по длине представляет собой малую величину второго порядка, если считать малыми величинами первого порядка промежуток времени dt и дугу М'С. Это доказывает, что подвижный аксоид касается неподвижного по общей образующей, т. е. катится по неподвижному. Остается заметить, что качение происходит без скольжения. Для этого достаточно вспомнить, что любая точка тела, находящаяся в данный момент на мгновенной оси, имеет скорость, равную нулю; следовательно, скольжения на оси быть не может.

Для определения ускорения точки М с радиус – вектором продифференцируем по времени обе части формулы распреде­ления скоростей (4.8). Тогда получим

. (4.20)

Производная по времени от вектора угловой скорости опре­деляет вектор углового ускорения

. (4.21)

По величине и направлению этот вектор совпадает со скоростью движения конца вектора угловой скорости по его годографу.

Так как , получим: . (4.22)

Первое слагаемое (4.23)

представляет собой вращательное ускорение; это – вектор, перпендикулярный к плоскости, проходящей через вектор углового ускорения и радиус – вектор взятой точки тела (рис.49).

Рис. 49

В отличие от слу­чая вращения вокруг неподвижной оси, вектор углового ускорения не лежит на той же прямой, что и век­тор угловой скорости, а направлен по некоторой прямой, проходящей через неподвижную точку; эту прямую будем называть осью углового уско­рения. Эта ось, как уже указывалось, па­раллельна скорости конца вектора . Поэтому здесь вектор вращательного ускорения перпендикулярен не радиусу вращения h, а отрезку h', пред­ставляющему собой кратчайшее расстояние от точки М до оси углового ускорения.

По величине вращательное ускорение равно

. (4.24)

Второе слагаемое

(4.25)

определяет осестремительное ускорение. Оно направлено пер­пендикулярно к плоскости, содержащей и , т. е. по кратчай­шему расстоянию между точкой М и мгновенной осью, причем всегда в ту сторону, откуда вращение к на наименьшей угол видно положительным; из рис.49 видно, что направ­лено к оси .

По величине осестремительное ускорение равно

. (4.26)

Возвращаясь к формуле (4.22), получаем теорему: Ускорение точек твердого тела, вращающегося вокруг непо­движного центра, складываете! геометрически из вращательной и осестремительной составляющих.

Для определения проекций углового ускорения на неподвиж­ные оси необходимо продифференцировать по времени обе части равенств (4.12), получим выражения проекций углового ускорения на неподвиж­ные оси через эйлеровы углы и их производные.

Для опреде­ления проекций углового ускорения на подвижные оси следует вычислить производные по времени от проекций угловой ско­рости, приведенных в системе равенств (4.13).