Мгновенные сингулярности вектора Умова – Пойнтинга

Тип сингулярности вектора Умова – Пойнтинга	Краевая	Вихревые (В.С.) В.С. обладают одина-ковым топологичес-ким индексом и отличаются хираль-ностью.	Пассивные (П.С.)
Скалярное поле	Локализация совпада-ет с эквифазными линиями	Не существуют	В процессе движения П.С. обязательно про-ходят через стаци- онарные точки фазы и интенсивности
Векторное поле	Не существуют	Как правило, В.С. совпадают с дискли- нациями	П.С. могут возникать независимо от дискли- наций

Усредненные сингулярности вектора Умова – Пойнтинга

Тип сингулярности вектора Умова – Пойнтинга	Вихревые (В.С.)	Пассивные (П.С.)
Скалярное поле	1. Локализация В.С. совпадает с вихрями поля. 2. Хиральность В.С. определяет- ся топологическим зарядом фазы вихря.	1. Позиции П.С. совпадают со стационарными точками фазы поля. 2. В дальнем поле П.С. в основном локализованы в седловых точках фазы.
Векторное поле	1. В.С. ассоциируется с отрица- тельными -точками. 2. Локализация В.С. и -точек в общем случае разная. 3. Хиральность В.С. опреде- ляется handedness фактором области, в которой находится В.С.	1 П.С. ассоциируется с положи-тельными -точками. 2. Локализация П.С. и -точек в общем случае разная.

Аппендикс 1

Приближение волновых фронтов

Рассмотрим некоторую комплексную амплитуду

(А 1.1)

с

Рис. А 1.1.

вободно распространяющейся волны (рис. А 1.1), модуль амплитуды которой меняются незначительно. Иными словами, волна промодулирована только по фазе . Естественно, что дальнейшее распространение такой волны приводит не только к искривлению волнового фронта, а и к изменению ее модуля амплитуды. Поэтому на некотором расстоянии от плоскости в плоскости она уже промодулирована как по фазе, так и по интенсивности. Однако, если фазовая модуляция подчиняется определенным ограничениям, то процесс распространения волны от плоскости к плоскости осуществляется практически без дифракции. Алгоритмизацию такого процесса можно провести, применяя соответствующие методы аппроксимации, например метод стационарной фазы [28; 94].

Поле в плоскости связано с полем в плоскости преобразованием Френеля

. (А 1.2)

В соответствии с методом стационарной фазы, если модуль амплитуды волны , заданный в , – функция с острым спектром а фаза  изменяется достаточно плавно, выражение (А 1.2) может быть существенно упрощено.

Двумерная интерпретация метода стационарной фазы имеет вид:

 , (А 1.3)

где – дважды дифференцируемая в функция; принадлежат к области и являются решением системы уравнений:

. (А1.4)

Причем точка одна единственная такая точка в ; – частные производные в точке соответственно, а для вторых производных выполняются условия:

. (А 1.5)

В нашем случае

= . (А 1.6)

Из (А 1.6) вытекает, что должна быть дважды дифференцируемой функцией в . Система (А 1.4) трансформируется к следующему виду:

, (А 1.7)

а условия (А 1.5) к

, (А 1.8)

где – решения системы уравнений (А1.7). Тогда поле в плоскости можно описать выражением

. (А 1.9)

В случае, когда такая точка не единственная в области , поле определяется как сумма полей типа (А 1.9), соответствующих каждому решению. Если же решений системы (А 1.7) бесконечно много, т.е. хотя бы одно из решений этой системы вырождается в неопределенность, то поле, соответствующее этой неопределенности, вырождается в -функцию. Физически такая ситуация соответствует формированию каустики, или точке фокусировки сферической волны.

Выражение (А 1.9) будем называть «приближением волновых фронтов».

Одномерная интерпретация приближения волновых фронтов имеет вид

, (А 1.10)

где – первая и вторая производные от фазовой модуляции; – решение уравнения

. (А 1.11)

При этом выполняется условие

. (А1.12)

Проанализируем требования к волне, при выполнении которых ее распространение может быть описано с помощью такого приближения.

Для простоты рассмотрим одномерный случай. Разложим по степенями в окрестности x₀ решения уравнения (А 1.11). Тогда выражение (А 1.2), с учетом того факта, что , принимает вид:

. (А 1.13)

Фактически, интеграл в (А 1.13) может быть интерпретирован как некоторое поле, сформированное транспарантом с пропусканием , который освещается плоской волной на расстоянии от плоскости . Для того, чтобы поле в плоскости описывалось соотношением (А 1.10), т.е. было пропорционально , необходимо, чтобы для соотношения (А 1.13) выполнялось приближение, аналогичное приближению «тени» [94].

Сделаем замену

. (А 1.14)

Соответственно комплексная амплитуда может быть описана выражением

. (А 1.15)

Введем для угловой спектр

. (А 1.16)

В результате, можно показать, что:

. (А1.17)

Очевидно, если мало отличается от единицы для некоторой окрестности ( ), а – функция с широким спектром (т.е. быстро уменьшается для не принадлежащих окрестности), то (А 1.17) трансформируется в (А 1.10). Другими словами, , если 1, где – некоторая предельная пространственная частота, начиная с которой вкладом компонент углового спектра в результирующее поле можно пренебречь.

Известно, что для прямоугольного отверстия такая предельная частота часто определяется как (2a – размеры отверстия) и отвечает первому минимуму углового спектра. Кроме того, известно, что в нулевом максимуме спектра сосредоточено более чем 90% энергии излучения, пропускаемой отверстием. По аналогии с отверстием, под предельными частотами будем понимать полосу частот, в границах которой переносится более чем 90% энергии, ассоциируемой с . Таким образом, удовлетворяет условию

. (А 1.18)

В соответствии с критерием Релея, , если .

Таким образом, условие (А 1.18) и соотношение:

(А 1.19)

формируют критерий применимости приближения волновых фронтов.

Аппендикс 2

Фурье-образ изотропного вихря

Фазовая часть комплексной амплитуды изотропного вихря , записанная в полярных координатах с началом в центре вихря – , а ее модуль – , формируется как произведение:

(А 2.1)

где ограничивающая изотропный вихрь функция зрачка.

Найдем Фурье-образ изотропного вихря.

, (А 2.2)

где - полярные координаты в частотной плоскости.

Двойной интеграл преобразуется к повторному

(А 2.3)

Внутренний интеграл, обозначим его как , сводится к следующему выражению:

. (А 2.4)

где – функция Бесселя -го порядка. Используя известное выражение [111; 112]:

, (А 2.5)

и учитывая, что реально существуют вихри только с единичным топологическим зарядом ( ) уравнение (А 2.4) сводится к виду:

. (А 2.6)

Соответственно

. (А 2.7)

Откуда при замене и учитывая, что [111; 112]:

(А 2.8)

вытекает следующее выражение для :

(А 2.9)

Легко показать, что .

Таким образом, Фурье-образом изотропного вихря является также вихревая функция. В области ядра вихря ( невелико), где выполняется соотношение [112]:

(А 2.10)

имеет вид

(А 2.11)

Иными словами, и в частотной области изотропный вихрь фактически не изменяет своей структуры.

Аппендикс 3

вектор Пойнтинга. Параксиальное приближение

Сделаем следующие допущения:

1. Рассматриваемые поля абсолютно когерентны.

2. Распространение волны происходит в свободном пространстве и выполняется параксиальное приближение.

Пусть – векторы напряженности магнитного и электрического полей. Компоненты этих векторов определяются стандартным образом (см., например, [28]):

и т.д., (A 3.1)

где ( , ) – модули амплитуд и пространственные фазы соответствующих компонент.

Величины …и т.д. – в общем случае функции всех трех координат.

Для параксиального приближения скалярное произведение за исключением специальных ситуаций (например, поле в области ядра вихря) стремится к . Тогда (A 3.1) преобразуется к виду

и т.д. (A 3.2)

Пусть – комплексные волновые функции магнитного и электрических полей соответственно. Компоненты этих векторов определяются следующим образом. Например:

, (A 3.3)

где

Известно, что имеет место уравнение (см., например, [3]):

, (A 3.4)

где – волновое число.

Таким образом, зная , легко выразить комплексную волновую функцию магнитного поля через комплексную волновую функцию электрического поля.

Далее, как правило, используя стандартные соотношения для комплексных амплитуд, переходят непосредственно к усредненному по времени значению вектора Умова – Пойнтинга или усредненным моментам импульса электромагнитного поля [100].

В нашем случае, сохраним зависимость от времени и получим соотношения, описывающие мгновенные компоненты вектора Умова – Пойнтинга. С этой целью будем работать с напряженностями полей.

Используя (3. А.4) и тот факт, что , можно показать, что:

(A 3.5)

где ; – сдвинутая по фазе на соответствующая напряженность электрического поля . Учитывая, что в дальнейшем мы перейдем только к компонентам электрического поля, здесь и далее величины типа будем обозначать просто как .

Как известно, вектор Пойнтинга описывается соотношением [28]

(A 3.6)

или для его компонент

. (A 3.7)

Используя (A 3.5 – A 3.7) и исключая все производные по и производные от -компоненты в силу их малости (за исключением членов, содержащих множитель ( велико)), можно получить следующую систему для компонент вектора :

, (A 3.8)

где и

Выразим через . Для этого воспользуемся уравнением, справедливым для свободно распространяющихся волн, записанным для комплексной амплитуды электрического поля:

или , (A 3.9)

где – поперечная компонента вектора .

Кроме того, будем учитывать, что для параксиального приближения все члены, содержащие производные по , малы, за исключением членов содержащих множитель . В этом случае справедливо равенство [105]:

. (A 3.10)

Из (A 3.9) и (A 3.10) следует:

. (A 3.11)

Из (A 3.11) имеем:

, (A 3.12)

где .

Тогда, с учетом (A 3.12), система (A 3.8) перепишется в виде:

, (A 3.13)

где

. (A 3.14)

Таким образом, при выполнении параксиального приближения соотношения для мгновенных компонент вектора Умова – Пойнтинга могут быть записаны в терминах характеристик только - и -компонент электрического поля.

Модуль поперечной составляющей вектора Умова – Пойнтинга соответственно запишется:

. (A 3.15

Ориентация поперечной составляющей задается отношением .

Соответственно направление составляющей вектора Умова – Пойнтинга в плоскости определяется значением

. (A 3.16)

Список Литературы

1. Франсон M. Оптика спеклов. – М.: Мир, 1980.

2. Гудмен Дж. Статистическая оптика. – М.: Мир, 1988.

3. Nye J.F. Natural focusing and fine structure of light. Institute of physics publishing, Bristol and Philadelphia, 1999.

4. Nye J.F., Berry M. Dislocations in wave trains. Proc. R. Soc. Lond., A 336, P. 165-190, 1974

5. Berry M.V. Singularities in waves and rays. Physics of defects. Les Houches Session XXXV, 28 July - 29, August 1980, Amsterdam: North-Holland., P. 453-543, 1981

6. Reference List on Singular Optics, Swartzlander G., Jr., http://www.u.arizona.edu/~grovers/SO/.

7. Nye J.F. The Motion and structure of dislocations in wave fronts. Proc. R. Soc. Lond., A 378, P. 219-239, 1981.

8. Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я. Дислокации поверхности волнового фронта и нули амплитуды. ЖЭТФ, 80,.5, С. 1789-1797, 1981.

9. Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я., Мамаев А.В., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Исследование плотности дислокаций волнового фронта световых полей. ЖЭТФ, 83, 5, С. 1702-1710, 1982.

10. Baranova N.B., Mamayev A.V., Pilipetsky N.F., Shkunov V.V., Zeldovich B.Ya. Wavefront dislocations: topological limitations for adaptive systems with phase conjugation. J.Opt.Soc.Am, A73, P. 525-528, 1983.

11. Nye J.F., F.R.S., Hajnal J.V., Hannay J.H. Phase saddles and dislocations in two-dimensional waves such as the tides. Proc. R. Soc. Lond., A 417, P. 7-20, 1988.

12. Freund I., Shvartsman N., Freilikher V. Optical dislocation networks in highly random media. Opt. Comm., 101, P. 247-264, 1993.

13. Freund I., Shvartsman N. Wave-field singularities: The sign principle. Phys. Rev. 50 (6),.P. 5164-5172, 1994.

14. Optical vortices. Horizons in world physics. V. 228. Edited by M. Vasnetsov, K. Stliunas. Nova Science Publ. 1999.

15. Berry M.V., Nye J.F., Wright F.J. The elliptic umbilic diffraction catastrophe. Proc. R. Soc. Lond., A 291, pp. 453-484, 1979.

16. Vaupel M., Weiss C.O. Circling optical vortices. Phys. Rev. A, 51, pp. 4078-4085, 1995.

17. Freund I. Saddles, singularities, and extrema in a random-phase fields. Phys.Rev. E52, P. 2348-2360, 1995.

18. Shvartsman N., Freund I. Speckle spots ride phase saddles sidesaddle. Opt. Comm., 117, 228-234, 1995.

19. Freund I. Critical-point level-crossing geometry in wave fields. J.Opt.Soc.Am., A14, P. 1911-1927, 1997.

20. Freund I. ‘1001’ correlations in random wave fields. Waves Random Media, .8,. P. 119-158, 1998.

21. Freund I., Shvartsman N.. Vortices in Random Wave Fields: Nearest Neibor Anticorrelations. Physical Review Letters, 72, P. 1008-1011, 1994.

22. Freund I. Amplitude topological singularities in random electromagnetic wavefields. Phys. Lett. A. 198, pp.139-144, 1995.

23. Freund I. Vortex derivatives. Opt. Comm., 137, pp. 118-126, 1997.

24. Freund I. Optical phase maps. SPIE Proc., 2389, pp. 411-419, 1995.

25. Mokhun I. Amplitude zeroes and structure of statistical optical fields. Correlation between the field’s intensity and phase. Proc. SPIE, 3573,.P. 567-571, 1998.

26. Ангельський О.В., Бесага Р.М., Ковальчук О.В., Мохунь І.І. Структура статистичних скалярних полів // Наук. Вісн. Чернівецького унів., Вип. 66, Фізика. Електроніка. – С.66-68, 1999.

27. Freund I., Freilikher V. Parameterization of anisotropic vortices. JOSA A, 14, 1902-1910, 1997.

28. Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ. – М.: Наука, – 1973.

29. Indebetouw G. Optical vortices and their propagation. J. of Mod. Opt., 40, P. 73-87, 1999.

30. Heckenberg N.R., McDuff R., Smith C.P., Rubinsztein-Dunlop H., Wegener M.J. Laser beams with phase singularities. Opt. & Quant. Electr., 24, P. S951-S962, 1992.

31. Heckenberg N.R., Vaupel M., Malos J.T., Weiss C.O. Optical-vortex pair creation and annihilation and helical astigmatism of a nonplanar ring resonator. Phys. Rev. A, 54, P. 2369-2378, 1996.

32. Berry M.V. Much ado about nothing: optical dislocation lines (phase singularities, zeroes, vortices…). Proc. SPIE., 3487, P. 1-5, 1998.

33. Berry M.V. Wave dislocation reactions in non-paraxial Gaussian beams. J.Mod.Opt., 45, P. 1845-1858 1998.

34. Abramochkin E., Volostnikov V. Spiral-beams: optical and quantum aspects. Opt. Comm., 125, P. 302-323, 1996.

35. Abramochkin E., Volostnikov V. Structurally stable singular wavefields. Proc. SPIE, 3487, pp. 20-28, 1998.

36. White A.G., Smith C.P., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H., McDuff R., Weiss C.O. Interferometric measurements of phase singularities in the output of a visible laser. J. Mod. Opt., 38, P. 2531-2541, 1991.

37. Basisty I.V., Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Optical wavefront dislocations and their properties. Opt. Comm., 119, P. 604-612, 1995.

38. Soskin M.S., Vasnetsov M.V., Basisty I.V. Optical wavefront dislocations. Proc. SPIE, 2647, P. 57-62, 1995.

39. Heckenberg N.R., McDuff R., Smith C.P. and White A.G. Generation of optical singularities by computer-generated holograms. Opt. Lett., 17, P. 221-223, 1992.

40. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. – Ч2. – М.: Наука, 1978.

41. Freund I. Optical vortex trajectories, Opt. Comm., 181 pp. 19-33, 2000.

42. Rozas D., Law C.T., Swartzlander G.A. Propagation dynamics of optical vortices. JOSA B, 14, pp. 3054-3065, 1997.

43. Rozas D., Sacks Z.S., Swartzlander G.A. Experimental observation of fluidlike motion of optical vortices Phys. Rev. Lett., 79 pp. 3399-3402, 1997.

44. Розанов Н.Н. О формировании излучения с дислокациями волнового фронта // Оптика и спектроскопия, 75, 1993, С. 861-867.

45. Nicholls K.W., Nye J.F. Three-beam model for studying dislocations in wave pulses, Journ. of Phys. A Mathem. & General, 20, pp. 4673-4696, 1987.

46. Masajada J., Dubik B. Optical vortex generation by three plane wave interference, Opt. Comm., 198, pp. 21-27, 2001.

47. Angelsky O.V., Besaha R.N., Mokhun I.I. Appearance of wave front dislocations under interference among beams with simple wave fronts. Optica Aplicata, XXVII, (4), P. 273-278, 1997.

48. Angelsky, R.Besaha, I.Mokhun. Appearance of wave front dislocations under interference among beams with simple wave fronts. SPIE Proc., 3317, P. 97-100, 1997.

49. Nye J.F. Unfolding of higher-order wave dislocations J.Opt.Soc.Am., A 15, P. 1132 – 1138, 1998.

50. Karman G.P., Duijl A. van, and Woerdman J.P. Unfolding of an unstable singularity into a ring. Opt.Lett., 23, p.403-405, 1998.

51. Karman G.P., Woerdman J.P. How phase and amplitude aberration destabilized the phase singularities. J.Opt.Soc.Am., A 15, p. 2862 – 2868, 1998.

52. Lukin V.P.,. Sennikov V.A, Tartakovski V.A. Optical vortices: creation, annihilation, and modeling. Proc. SPIE, 4724, pp. 85-93, 2002.

53. Ангельський О.В., Бесага Р.М., Коновчук О.В., Мохунь І.І. Отримання вихрових пучків. Наук. Вісн. Чернівецького унів., Вип. 79, Фізика. Електроніка, С. 40-42, 2000.

54. Mandel L., Wolf E. Optical coherence and quantum optics. Cambridge university press, 1995.

55. Arecchi F.T., Giacomelli G., Ramazza P.L., Residori S. Vortices and defect statistics in two-dimensional optical chaos Phys. Rev. Lett. 67, 3749-3752, 1991.

56. Zuravlev V.A., Kobozev I.K., Kravtsov Yu.A. Statistical characteristics of phase front dislocations of a wave field, JETP, 75, pp. 256-262, 1992.

57. Freund I. Optical vortices in Gaussian random wave fields: statistical probability densities. JOSA A, 11 pp. 1644-1652, 1994.

58. Arsenyan T.I., Embaukhov S., Fedotov N., Korolenko P., Petrova G. Statistical characteristics of light fields with helical dislocations of the wave front. Proc. SPIE, 3487, pp. 148-155, 1998.

59. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. Т.1 – М.: Мир. 1983.

60. Angelsky O., Brandel R., Mokhun I. Characteristics of scalar random field and its vortex networks. Recovery of the optical phase. SPIE Proc., 4607, P. 25-29, 2002.

61. Обратные задачи в оптике / Под ред. Г. П. Болтса – М.: Машиностроение, 1984.

62. Аблеков В.К., Зубков Б.И., Фролов А.В. Оптическая и оптоэлектронная обработка информации. – М.: Машиностроение, 1976.

63. Аблеков В.К., Колядин С.А., Фролов А.В. Высокоразрешающие оптические системы. – М.: Машиностроение. 1985.

64. Nye J.F. Line singularities in wave fields. Phil. Trans. R. Soc. Lond., A 355, P. 2065-2069, 1997.

65. Nye J.F. Polarization effects in the diffraction of electromagnetic waves: the role of disclinations. Proc. R. Soc. Lond., A 387, P. 105-132, 1983.

66. Nye J.F. Lines of circular polarization in electromagnetic wave fields. Proc. R. Soc. Lond., A 389, P. 279-290, 1983.

67. A.I. Konukhov, L.A. Melnikov. Optical vortices in a vector field: the general definition based on the analogy with topological solitons in a 2D ferromagnet, and examples from the polarization transverse patterns in a laser. J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 3, S139–S144, 2001.

68. Angelsky O.V., Besaha R.N., Mokhun I.I., Sopin M.O. About thin structure of speckle field. SPIE Proc., 2647, P. 75-79, 1995.

69. Angelsky O.V., Besaha R.N., Mokhun I.I., Sopin M.O. About thin structure of speckle field. SPIE Proc., 2778, P. 357-358, 1996.

70. Angelsky O., Besaha R., Mokhun I.. Study of statistical fields in vicinity of zero-crossing. SPIE Proc., 3317, P. 88-96, 1997.

71. Ангельский О.В., Бесага Р.Н., Мохунь И.И. О тонкой структуре спекл поля в областях малых амплитуд // Оптика и спектроскопия, 82, 1997, С. 621-629.

72. Mokhun I., Sopin M. Thin structure of coherent optical fields in the vicinity of minimal intensity and its connection with wave front dislocations. SPIE Proc., 3317, P. 108-110, 1997.

73. Nye J.F., Hajnal J.V. The wave structure of monochromatic electromagnetic radiation. Proc. R. Soc. Lond., A 409, P. 21-36, 1987.

74. Apostol A., Dogariu A. First- and second-order statistics of optical near fields. Opt Lett., 29, pp. 235-237, 2004.

75. Ellis J., Dogariu A. Discrimination of globally unpolarized fields through Stokes vector element correlations. J. Opt. Soc. Am A, 22, pp. 491-496 2005.

76. Dogariu A,. Wolf E. Coherence theory of pairs of correlated wave fields. Journ. of Modern Opt., 50, 1791-1796, 2003.

77. Hajnal J.V. Singularities in the transverse fields of electromagnetic waves I. Theory. Proc. R. Soc. Lond., A 414, P. 433-446, 1987.

78. Hajnal J.V. Singularities in the transverse fields of electromagnetic waves II. Proc. R. Soc. Lond., A 414, P. 447-468, 1987.

79. Hajnal J.V. Observation of singularities in the electric and magnetic fields of freely propagating microwaves. Proc. R. Soc. Lond., A 430, P. 447-468, 1987.

80. Аззам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет. – М.: Мир, 1981.

81. Angelsky O., Mokhun A., Mokhun I., Soskin M. The relationship between topological characteristics of component vortices and polarization singularities. Opt. Comm., 207, P. 57-65, 2002.

82. Angelsky O., Besaha R., Mokhun A., Mokhun I., Sopin M., Soskin M., Vasnetsov M. Singularities in vectoral fields. SPIE Proc., 3904, P. 40 – 55, 1999.

83. Ангельський О.В., Бесага Р.М., Мохунь І.І. Сопин М.О., Соскін М.С. Сингулярності у векторних полях // Наук. Вісн. Чернівецького унів., Вип. 57, Фізика, С.88 – 99, 1999.

84. Angelsky O.V., Mokhun I.I, Mokhun A.I, Soskin M.S. Interferometric methods in diagnostics of polarization singularities. Phys. Rev. E., 65, 036602(5), 2002.

85. Angelsky O.V., Mokhun I.I, Mokhun A.I, Soskin M.S. Inerferometric Methods in diagnostics of polarization singularities. SPIE Proc., 4829, Р.487-488, 2002.

86. Mokhun A.I., Soskin M.S., Freund I. Elliptic critical points: C-points, a-lines, and the sign rule. Opt. Lett., 27, pp. 995-997, 2002.

87. Freund I., Soskin M.S., Mokhun A.I. Elliptic critical points in paraxial optical fields. Opt. Commun., 207, P. 223-253, 2002.

88. Fruend I. Second harmonic generation of optical ellipse fields. Opt. Comm., 213, P. 129-149, 2002.

89. Freund I. Polarization singularity indices in Gaussian laser beams. Opt. Comm., 201, P. 251-270, 2002.

90. Ангельський О.В., Бесага Р.М., Мохунь А.І., Мохунь І.І., Соскін М.С. Елементарні поляризаційні сингулярності // Наук. Вісн. Чернівецького унів., 63: Фізика. Електроніка., С.45-51, 1999.

91. Ван-де-Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. – М.: Энергия, 1987.

92. Мировицкий Д.И., Будагян И.Ф., Дубровин В.Ф. Микроволноводная оптика и голография. – М.: Наука, 1983.

93. Абезгауз Г.Г., Тронь А.П., Копенкин Ю.Н., Коровина И.А. Справочник по вероятностным расчетам. – М.: Воениздат, 1970.

94. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. – М.: Мир, 1971.

95. Nieto-Vesperinas M. Scattering and Diffraction in Physical Optics. A Wiley-Interscience Publication, John Wiley and suns, Inc., 1981.

96. Brandel R., Mokhun A., Mokhun I., Viktorovskaya Ju. Fine structure of inhomogeneous vector field and his space averaged polarization characteristics. Optica Applicata, 36, pp 75-95, 2006.

97. Brandel R., Mokhun A., Mokhun I., Viktorovskaya Ju. Space averaged polarization characteristics of inhomogeneous vector field. Proc. SPIE, 5972, pp. 38-45, 2005.

98. Freund I., Mokhun A.I., Soskin M.S., Angelsky O.V., Mokhun I.I. Stokes singularity relations. Opt. Lett., 27, P.545-547, 2002.

99. Freund I. Polarization flowers. Optics Comm., 199, pp. 47-63, 2001.

100. Allen L., Padgett M.J. and Babiker M. The orbital angular momentum of light. E.Wolf, Progress in optics XXXIX 1999, Elsevier Science B.V.

101. Allen L., Padgett M.J. The Poynting vector in Laguerre-Gaussian beams and the interpretation of their angular momentum density. Opt. Comm., 184, pp. 67 71, 2000.

102. He H., Friese M.E.J., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H. Direct observation of transfer of angular momentum to absorptive particles from a laser beam with a phase singularity. Phys. Rev. Letters, 75, pp. 826-829, 1995.

103. Gahagan K.N., Swartzlander G.A. Optical vortex trapping of particles. Opt. Lett., 21, pp. 827-829, 1999.

104. Matthew J.Lang, Steven M. Block. “Resource Letter: LBOT-1: Laser-based optical tweezers”. Am. J. Phys., 71, pp. 201-215, 2003.

105. Berry M. Paraxial beams of spinning light, Proc. SPIE, 3487, pp. 6-11, 1998.

106. Arnold V.I. Catastrophe Theory. Second revised and expended edition Berlin, Springer, 1986.

107. Mokhun I., Arkhelyuk A., Brandel R. Viktorovskaya Ju. Angular momentum of electromagnetic field in areas of optical singularities. SPIE Proc., 5477, pp. 47-54, 2004.

108. Mokhun I., Brandel R., Viktorovskaya Ju. Angular momentum of electromagnetic field in areas of polarization singularities, UJPO, 7, pp. 63-73, 2006.

109. Mokhun I., Mokhun A., Viktorovskaya Ju., Cojoc D., Angelsky O., Di Fabrizio E. Orbital angular momentum of inhomogeneous electromagnetic field produced by polarized optical beams. Proc. SPIE, 5514, P. 652-662, 2004.

110. Mokhun I., Mokhun A., Viktorovskaya Ju. Singularities of the Poynting vector and the structure of optical fields. UJPO, 7, pp. 63-73, 2006.

111. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1984.

112. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абромовица М. и Стиган И.; Пер. с англ., – М.: Наука, 1979.

Предметный указатель

А

Аннигиляция

- вихрей 15,27,97

- дисклинаций 162

- сингулярностей вектора Умова-Поинтинга 162

В

Вектор Умова-Поинтинга

- компоненты 199

- - , поперечная 155,169

- - - , модуль 156,168

- - - , ориентация 156

- , мгновенный 153,156,171,174,190

- , усредненный 153,156,171,173,188,190

Вихрь

- анизотропный 11,47

- изотропный 10,47,117

- - , начальная фаза 10,47

- - , Фурье-образ 197

- ортогонально-поляризованной компоненты 77,81,93,104

- оптический 10

- , плотность 26

- разности фаз

- , фаза 29

- фазовый 9,190

- характеризующий изотропный 11

- , ядро 11,117

Стокс-вихрь 148

Вихревой

- анализ векторного поля 85

- модулирующая функция 45

Выборка

- сдвинутая, вихревая 43

- случайная 42

- Шенноновская 41

Г

Генерисити 23

Д

Деполяризация, интегральная 136,142

Дисклинация 76,84,95,155,162,169,172,174,190

Дислокация волнового фронта

- , винтовая 10,29

- , краевая 25,75

- - , нулевой длины 33

Дисперсия

- азимута поляризации 141,147

- разности фаз 132,147

З

закручивающий фактор 82,167,190

И

Интерференционная вилочка 16,32,52,55,56,98,111

К

Карта

- разности фаз 117

- фазовая 10,118,138,173,175

Компьютерно-синтезированная голограмма 17,120,183

Контур

- -контур 78,84,87,97,104,112,137,149,163,172,174

- -контур 87,115,149

- разности фаз 114

Корреляция

- , длина 37,42,49,125,143

- интенсивности и фазы 34

- интенсивности и поляризации 101