2.7. Сети вихрей – скелетон фазы скалярного поля

2.7.1. Восстановление фазы поля на основе «сдвинутых» «сеток нулей».

Пусть поле характеризуется определенной амплитудной (задано некоторое «изображение») и случайной фазовой модуляцией. Соответственно в дальней зоне формируется случайное поле , которое определяется Фурье-образом поля .

Известно, что поле может быть восстановлено (или восстановлен близкий к образ) с помощью Шенноновской выборки, сформированной из отсчетов поля в плоскости , если – функция с ограниченным спектром (или выборка отсчетов формируется в области, где сосредоточена основная энергия поля ) [59]. Максимальный шаг между отсчетами (в оптической интерпретации теоремы Шеннона) совпадает с длиной корреляции поля в плоскости . Добавим, что образ близкий к , восстановится и в том случае, когда шаг между отсчетами не является постоянным, а случайным образом меняется. Однако средняя величина этого шага совпадает с [59].

Допустим, что область, в которой переносит большую часть энергии, содержит нулей амплитуды поля. Как известно [9; 12], среднее расстояние между нулями равно .

Рассмотрим в этой области некоторую выборку точечных источников с координатами . При этом амплитуда и фаза этих источников совпадает с амплитудой и фазой поля в точках , а количество источников равняется количеству вихрей. Такую выборку будем называть «случайной» и она может быть описана соотношением

(2.25)

Учитывая тот факт, что среднее расстояние между отсчетами (их количество совпадает с количеством вихрей), выборка (2.25) должна восстановить поле, близкое к .

На рисунке 2.13 приведены результаты компьютерного восстановления «тест»-поля . В качестве «тест»-поля использовалась совокупность случайно расположенных точечных источников единичной амплитуды, фаза которых случайна и меняется в пределах, значительно превышающих . Позиции источников были выбраны так, что размещение точечных источников напоминало три вертикальные полосы (рис. 2.13 а).

Р

a b c

Рис. 2.13

a – оригинальное изображение тест-объекта «2»; b – восстановление начального поля на основе шенноновской выборки; c – восстановление начального поля на основе «случайной» выборки.

ис. 2.13 b соответствует восстановлению шенноновской выборкой. Рис. 2.13 c – результаты восстановления случайной выборкой.

Пространственный шаг между значениями выборки выбирался таким образом:

1. В случае шенноновской выборки расстояние между соседними отсчетами не превышала длины корреляции поля , что отвечает условиям теоремы Котельникова – Шеннона [59]. Величина , как обычно, определялась, исходя из поперечных размеров начального тест-поля.

2. Д ля «случайной» выборки координаты отсчетов определялись как случайные. При этом среднее расстояние между отсчетами тоже равнялась . Как показано в [59], в этом случае также возможна достаточно точная реконструкция начального поля.

Сделаем следующее допущение. Пусть позиции точечных источников случайной выборки сдвинуты относительно позиций вихрей поля на величину . Для определенности пусть направление сдвига совпадает с направлением оси .

Т

Рис. 2.14

акую выборку будем называть «сдвинутой вихревой» выборкой. Из случайной природы поля следует, что и позиции вихрей поля будут случайными. Поэтому по структуре, статистическим параметрам такая выборка ничем не отличается от выборки (2.25). Следовательно, можно ожидать восстановления образа, аналогичного полю , подобного образу, изображенному на рис. 2.13 c.

Однако это не совсем так [60]. Прежде всего, заметим, что сеть вихрей поля как поля общего вида состоит из анизотропных вихрей. Однако, как показано в пункте 1.1, система таких вихрей может быть заменена с точностью до на систему изотропных. Такого типа замена аналогична ситуации, когда на пути пучка размещают прозрачную плоскопараллельную пластинку, которая в области малых амплитуд незначительно меняет толщину (рис. 2.14). Очевидно, что поле после такой пластики фактически не изменится, и после обратного Фурье-преобразования снова сформируется исходное изображение .

Допустим, что – малая величина, и модуль амплитуды поля подчиняется линейному приближению в окрестности нулей.

В этом случае

, (2.26)

где – амплитудный фактор, определяющий поведение модуля амплитуды (скорость «нарастания» поля) в окрестности i-го нуля в -направлении.

Поле, сформированное восстанавливающей выборкой в плоскости изображения, является Фурье-образом поля и описывается соотношением:

, (2.27)

где – координаты нулей; – количество положительных и отрицательных вихрей; – начальная фаза i-го вихря.

Как можно увидеть из (2.27), с точностью до постоянного множителя не зависит от . Если , то также можно считать независящей от .

Заменим выборку (2.25) на следующую систему элементарных полей:

, (2.28)

где – усредненное в окрестности i-го вихря , а (в полярных координатах с началом в центре вихря) имеет вид

, (2.29)

где – «вихревая» амплитудная функция, равная нулю при .

В этом случае (2.27) трансформируется в соотношение

, (2.30)

где , , , и в области анализа стремятся к , если пространственные размеры небольшие (см. Аппендикс 2). Заметим, что представление восстанавливающего поля в виде (2.25) можно интерпретировать как некоторую выборку из поля (2.27).

Таким образом, интенсивности восстановленных полей в обоих случаях будут промодулированы функцией, аналогом . Особенностью такой «вихревой» модулирующей функции является равенство нулю в точке и ее монотонное увеличение при отходе от этой точки.

Результаты компьютерного моделирования по восстановлению изображения сдвинутой выборкой представлены на рис. 2.15. Как видно из рисунков, восстановленное на основе сдвинутой выборки поле действительно промодулировано функцией типа . Для подчеркивания радиальной симметрии модулирующей функции в восстановленное изображение вписано белое кольцо (рис. 2.15 c). Рис. b поясняет принципы формирования «сдвинутой» выборки. Сдвиг координат выборки осуществлялся как в направлении оси , так и в направлении оси . Как видим из рисунка, практически до величин сдвига порядка 0.5 (рис. c – e) характер восстановленного поля не изменяется. Даже для 0.75 (рис. f) в центре изображения сохраняется темная область. Лишь для величин сдвига больше (рис. g, h) можно утверждать, что поле, реконструированное на основе сдвинутой выборки, стает подобным полю, восстановленному случайной выборкой, т.е. влияние вихрей на формирование структуры поля стает таким незначительным, что сдвинутая выборка превращается фактически в случайную.

Иными словами, восстановленное поле «помнит», что оно сформировано точечными источниками, фаза которых определяется фазовым геликоидом вихревой структуры, если сдвиг восстанавливающей выборки не превышает величины порядка .

Таким образом, проанализировав результаты восстановления тест-полей на основе сдвинутых выборок можно, утверждать, что «фазовое» влияние отдельного вихря распространяется на расстояние, сравнимое с длиной корреляции поля.

Рис. 2.15

Восстановление тест-поля на основе «сдвинутой» выборки.

a – оригинальное изображение, рисунок (b) иллюстрирует принципы формирования «сдвинутой» выборки. – серые точки соответствуют позициям нулей поля, черные – позиции отсчетов выборки, – сдвиг точек выборки относительно координат вихрей. Рис. c – h соответствуют разной величине : c – 0.1 ; d – 0.25 ; e – 0.5 ; f – 0.75 ; g – ; h – 2 .

2.7.2. Восстановление изображения регулярной выборкой, полученной на основе анализа параметров вихрей случайного поля

Как показано в [12], поле в Фурье-плоскости (дальней зоне) может быть представлено на основе так называемого произведения волновых функций:

, (2.31)

где – изменение фазы в окрестности -го вихря.

Если заменить систему анизотропных вихрей поля на систему изотропных, (2.31) может быть переписано в виде:

, (2.32)

где – истинный модуль амплитуды; , ; координаты связаны с центром -го вихря; – топологический заряд -го изотропного вихря.

Заметим, что исходя из выражения (2.32) и вследствие того, что результирующая фаза поля формируется как сумма элементарных фаз, которые ассоциируются с каждым вихрем, сумма начальных фаз изотропных вихрей:

(2.33)

ф

Рис. 2.16

Восстановление поля сдвинутой выборкой при замене анизотропных вихрей на изотропные.

a – оригинальное изображение, рисунок (б) иллюстрирует принципы формирования «сдвинутой» выборки. – серые точки соответствуют позициям изотропных вихрей, черные – позиции отсчетов выборки, – сдвиг точек выборки относительно координат вихрей. Рис. в – е соответствуют разной величине : в – 0.1 ; г – 0.5 ; д – ; e – 2 .

ормирует лишь постоянный фазовый сдвиг, одинаковый для всего поля. В этом смысле, начальная фаза изотропного вихря не является актуальной при формировании структуры поля, чем можно пренебречь. Очевидно, что такой вывод приводит к абсолютно другому пониманию ситуации, которая складывается в поле при замене анизотропных вихрей на изотропные. Поле в границах каждого (произвольного) спекла формируется «одинаковыми» вихрями, отличающимися только знаком топологического заряда. Это, в свою очередь, приводит к тому, что восстановление поля на основе сдвинутых выборок также должно происходить по-другому. Действительно, даже при значительной величине сдвига выборки и при переходе соответствующего отсчета из одного спекла в другой эта точка поля попадает под «влияние» такого же вихря.

Этот вывод подтвержден результатами компьютерного моделирования (рис. 2.16). На этом рисунке приведены результаты восстановления поля сдвинутыми выборками при замене анизотропных вихрей поля в дальней зоне на систему изотропных. Как и в предыдущем случае, сдвиг координат выборки осуществлялся как в направлении оси , так и в направлении оси . Мы видем, что в отличие от результатов, представленных на рис. 2.15, темная область в центре изображения сохраняется даже для сдвига 2 (рис. f).

В заключение этого параграфа приведем результаты восстановления начального поля шенноновской выборкой, сформированной на основе характеристик системы изотропных вихрей. Принципы построения выборки следующие:

1. Шаг между отсчетами составляет величину порядка 0.5

2. Модуль амплитуды поля в точке отсчета совпадает с истинным значением, полученным как корень из интенсивности поля.

3. Фаза поля в точке произвольного отсчета определяется соотношением:

, (2.34)

где – координаты ближайшего к точке изотропного вихря; – его топологический заряд; – начальная фаза этого вихря.

Фактически фаза в произвольной точке поля определяется как фаза ближайшего изотропного вихря, поскольку, как было показано выше, влияние вихря на формирование структуры поля распространяется, во всяком случае, на расстояние сравнимое с половиной длины корреляции поля. Так как шаг между отсчетами равняется 0.5 , то тем самым этот факт формально учитывается.

Е стественно, что такое утверждение выполняется лишь в статистическом смысле. Реально расстояние между нулями поля колеблется в широких пределах. Таким образом, в каждом конкретном случае влияние конкретного вихря распространяется на разное расстояние. Как показали проведенные оценки, фаза поля, реконструированная согласно соотношению (2.34), только в 75–80 % случаях совпадает с истинной фазой поля. За критерий «идентичности» фазы был выбранный критерий Релея. Считалось, что фаза, определенная по соотношению (2.34) совпадает с истинной фазой поля, если разница между ними не превышала .

Д

Рис. 2.17

Результаты восстановления поля Шенноновской выборкой, сформированной на основе анализа характеристик системы изотропных вихрей.

a – оригинальное изображение, b – результаты восстановления. Рисунок (c) иллюстрирует принципы формирования выборки. – серые точки соответствуют позициям изотропных вихрей, черные – позиции отсчетов выборки. Стрелочками указаны координаты отсчетов выборки, фазу которых «определяет» соответствующий вихрь

обавим, что среднее отклонение рассчитанной фазы от истинной не превышало величины = . Таким образом, в некоторых точках рассчитанная фаза совпадала с фазой поля практически полностью. Среднее отклонение в точках, в которых разница между фазами была больше чем , не превышало величины (20 – 25% точек).

Результаты восстановления поля такой шенноновской выборкой представлены на рис. 2.17 b. Как видно из рисунка, реконструированное на основе регулярной выборки поле (с , рассчитанной в соответствии с соотношением (2.36)) стремится к начальному изображению тест-объекта. Относительно темная зона в середине изображения может быть объяснена кооперативным воздействием (см. выше) системы изотропных вихрей.

Таким образом, полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. «Фазовое влияние» отдельного вихря распространяется на расстояние, сравнимое с длиной корреляции поля.

2. Восстановленное поле промодулировано «вихревой» амплитудной функцией, если реконструирующая выборка точечных источников по координатам совпадает со сдвинутой сетью нулей поля.

3. Сеть анизотропных вихрей случайного поля может быть заменена системой изотропных вихрей. При этом влияние такой системы изотропных вихрей, ее отдельных вихрей на формирование структуры поля распространяется значительно дальше, чем влияние аналогичной системы анизотропных вихрей и значительно превышает длину корреляции поля.

4. Фаза в произвольной точке поля может быть определена с высокой вероятностью и ошибкой не больше чем на основе анализа характеристик системы изотропных вихрей.

2.8. Определение знаков вихрей случайного поля

Подытожим установленные факты.

1. Сетки интенсивности и фазы связаны (хотя бы в статистическом смысле).

2. Седловые точки интенсивности преимущественно находятся в областях поля, где фаза меняется достаточно быстро, т.е. плотность эквифазных линий поля наибольшая, и, как правило, два соседних вихря разного знака можно соединить линией тока градиента, которая проходит через седловую точку интенсивности.

3. В пределах фазового спекла фаза меняется в границах . Поэтому любая линия, которую можно провести в относительной близости от истинной эквифазовой линии, может быть с достаточно большой точностью принята за эту эквифазную линию.

Тогда можно высказать следующую гипотезу «1»: линия тока градиента интенсивности, проходящая через седловую точку интенсивности, может быть отождествлена с одной из эквифазных линий поля фазы, соединяющей соседние вихри с различными знаками топологического заряда.

Иными словами, анализируя характеристики системы особых точек и линий тока градиента интенсивности, можно с точностью до знака присвоить топологические заряды вихрям поля и соединить их некоторыми эквифазными линиями. Результатом такого анализа может быть построение сети, которая близка к истинной сети вихрей, либо к аналогичной сети комплексно-сопряженного поля.

Естественно, что такое утверждение является справедливым лишь с определенной долей вероятности и, очевидно, выполняется не для всех участков поля. Однако правомерным является утверждение, что в поле могут быть выделены участки, для которых с точностью до знака топологического заряда вихрей может быть проведено такое соответствие.

Тогда логическим продолжением вышесказанного является следующая гипотеза «2»: поле может быть поделено на участки, для которых сеть, образованная абсолютными минимумами интенсивности и ее седловыми точками, соединенными линиями тока градиента, образует сеть, которая с точностью до знака топологического заряда достаточно близка к сети, образованной вихрями этого поля.

Отсюда следует, логический вывод, что если бы существовала возможность точного определения знака топологического заряда произвольного вихря поля, то знаки вихрей таких «элементарных» сетей могут быть однозначно согласованы и построена сеть, соответствующая истинной сети вихрей (возможно за небольшим исключением) для всего поля.

Очевидно, что построение такой сети эквивалентно решению обратной задачи – восстановлению фазы.

Как известно (см. п. 1.3), информацию о знаках вихрей можно получить из анализа результатов интерференционного эксперимента, поскольку вихревые структуры образуют вилочки при их интерференции с регулярной опорной волной.

Однако в большинстве случаев создание опорного пучка является проблематичным вследствие того, что предыстория анализируемого поля неизвестна.

Таким образом, возникает необходимость разработки метода, позволяющего получить информацию о знаках любого из вихрей анализируемого поля, распределение интенсивности которого известно.

При этом:

1. В общем случае поле – случайное.

2. Регулярная опорная волна не может быть сформирована.

3. Вывод о знаке вихря должен базироваться на данных интерферометрического эксперимента, поскольку только такого типа фазометрия дает однозначный ответ о знаке топологического заряда вихря.

Перед формулировкой основной идеи метода напомним некоторые факты, касающиеся характеристик случайного поля:

1. В центре спекла фаза практически постоянна, поскольку именно там расположены ее седловые точки.

2. Средние размеры спекла определяются длиной корреляции поля.

3. Любое поле является когерентным по отношению к самому себе.

В основу предлагаемого метода положено следующее.

Очевидно, что с помощью разделения анализируемого поля на две идентичные составляющие достаточно просто можно организовать интерференцию любого поля самого с собою. При этом можно контролировать такие параметры:

• Угол схождения между интерферирующими полями.

• Взаимный пространственный сдвиг между ними.

• Соотношение средних интенсивностей интерферирующих полей.

Пусть с помощью светоделителя поле разделено на идентичные по структуре составляющие и . При этом поле сдвинуто относительно поля в плоскости в произвольном направлении на величину . Направления преимущественного распространения полей различны и такие, что поля описываются соотношениями:

(2.35)

где ; ; , а и являются «точными копиями» поля с соответствующими амплитудными коэффициентами, устанавливающими соотношение между средними интенсивностями этих полей.

Тогда интенсивность суперпозиции этих полей опишется виражением:

, (2.36)

где ( ) – действительные и мнимые части комплексных амплитуд и .

Отметим следующее:

1. Из (2.36) следует, что при величине третье слагаемое равно нулю. Соответственно результирующая интерференционная картина представляет собой систему прямых интерференционных полос, промодулированных интенсивностью поля . Поле интерферирует с таким же полем и в любой его точке (несмотря на его сложную фазовую структуру) разность фаз между полями и равна нулю.

2. Взаимный сдвиг полей и приводит к тому, что при определенной величине (меньше и больше ) участки полей с вихрями интерферируют с практически плоскими волнами, которые соответствуют частям полей, локализованных в областях седловых точек фазы. Таким образом, при отличном от нуля , в местах локализации вихрей полей и должны наблюдаться классические интерференционные вилочки.

При этом:

• вихри разных знаков, принадлежащие одному из полей ( или ), будут формировать разнонаправленные интерференционные вилочки.

• Направление вилочек также разное, если вихри одного знака принадлежат разным полям.

3. Как известно, максимальная видность интерференционной картины достигается при равной интенсивности интерферирующих пучков. При интерференции случайных полей однородная видность интерференционной картины невозможна, за исключением случая, когда сдвиг . Однако вихри поля размещаются в зонах поля с малой интенсивностью. Соответственно при значительных сдвигах между полями максимальная видность интерференционной картины в зоне вихрей будет достигаться в случае, когда интенсивность одного из полей значительно превышает интенсивность другого.

Пусть средняя интенсивность несдвинутого поля значительно выше, чем интенсивность поля . Тогда максимально выгодные условия для интерференции будут возникать как раз для участков поля , в которых интенсивность поля минимальна, т.е. для участков поля с вихрями. В то же время для участков поля , которые содержат вихри, наоборот, условия интерференци будут наихудшими даже по сравнению с другими областями этого поля.

Иначе говоря, можно утверждать, что при определенном выборе соотношения интенсивностей сдвинутого и несдвинутого полей ( ) в интерференционной картине уверенно будут наблюдаться только вилочки, соответствующие несдвинутому полю.

Таким образом, отслеживая появление вилочек в суммарной интерференционной картине, их движение при увеличении и регулируя соотношение интенсивностей интерферирующих полей, можно однозначно установить позиции и знаки вихрей поля.

2.8.1. Результаты компьютерного моделирования «сдвиговой» интерференции спекл-полей

Проведенное рассмотрение было подтверждено данными компьютерного моделирования.

Результаты компьютерного моделирования приведены на рисунках 2.18 – 2.21.

Рисунок 2.18 иллюстрирует поведение интенсивности участка спекл-поля и соответствующую фазовую карту для различных величин сдвига . Как видно из рисунка, для величины (рис. а) интерференционные полосы действительно прямые, характерных для вихрей вилочек не наблюдается. При наличии ненулевого сдвига, в местах поля, соответствующих локализации вихрей полей и , появляются пары разнонаправленных вилочек (рис. b – d), возникающие в результате интерференции вихревых структур полей , и гладкими участками этих полей. По мере увеличения вилочки, ассоциируемые с полем , сдвигаются относи-тельно неподвижных вилочек, созданных полем .

Н

a b

Рис. 2.18

Поведение параметров спекл-поля

a – интенсивность участка спекл-поля; b – фазовая карта этого участка. Темный квадратик с белой окантовкой – негативный вихрь, светлый квадратик с темной окантовкой – позитивный вихрь

а рис. 2.19 приведены расчетные интерферограммы сдви-га поля для различных величин сдвига парциальных полей.

Рис. 2.19

Интерферограммы сдвига поля для различных величин сдвига .

a – , b – , c – , d – .

a b c

Рис. 2.20

Интерферограммы сдвига поля для различных взаимных угловых ориентаций полей и и величины сдвига . Белыми стрелочками на рисунке а указаны позиции вихрей несдвинутого поля.

Рис. 2.21

Интерферограммы сдвига поля для величины сдвига и различных соотношений интенсивностей полей и . Белыми стрелочками на рисунке а указаны позиции вихрей несдвинутого поля. a – средняя интенсивность поля равна интенсивности поля ; b – больше в 4 раза; c – больше в 16 раз; d – больше в 100 раз.

Рис. 2.20 иллюстрирует результаты интерференции при различных взаимных угловых ориентациях полей и . Как следует из рисунка, для всех ориентаций вилочки, созданные идентичными вихрями полей и , разнонаправлены. При этом они как будто вложены одна в другую для ориентации, когда направление сдвига полей совпадает с направлением интерференционных полос.

Рис. 2.21 иллюстрирует результаты интерференции при различных соотношениях интенсивностей полей и . Как следует из рисунков 2.21 c, d, начиная с величин превышения интенсивности поля над полем порядка 20 раз, в интерференционной картине практически наблюдаются только вилочки, созданные несдвинутым полем .

В заключение отметим, что проведенный анализ и полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на физические основы существующих методов восстановления фазы поля по распределению его интенсивности и перейти к разработке принципиально новых алгоритмов решения подобных обратных задач [61 – 63].

2.8.2. Экспериментальное определение знаков нулей спекл-поля на основе анализа интерферограмм сдвига

Для подтверждения результатов теоретического рассмотрения метод нахождения характеристик вихрей с помощью сдвиговой интерферометрии был реализован в следующей схеме (см. рис. 2.22 a).

Н

a b

Рис. 2.22

1 – обьект; 2 – Фурье преобразующий объектив; 3,6 – светоделители; 5,4 – зеркала.

еколлимированный пучок от Не-Ne лазера освещал рассеивающий объект 1 (рис. 2.22 b), изготовленный из матового стекла. Величина дисперсии фазы граничного поля была выбрана таким образом, что регулярная составляющая пучка после объекта отсутствовала. На фокусном расстоянии от объекта устанавливался Фурье-преобразующий объектив 2, за которым располагался интерферометр 3 – 6. Одно из зеркал 4 и выходной светоделитель 6 устанавливались на прецизионных механических столиках, обеспечивающих возможность регулировки углов схождения и величин сдвига элементарных полей. За интерферометром в фокусе объектива устанавливалась CCD-камера, фиксировавшая результат интерференции.

Р езультаты интерференции представлены на рисунке 2.23. Рисунок a соответствует нулевому сдвигу элементарных полей, рисунок b – сдвиг между полями порядка половины длины корреляции (среднего размера спекла).

К

a b

Рис. 2.23

a – интерференция при отсутствии сдвига между элементарными полями; b – сдвиг между полями порядка половины длины корреляции.

ак видно из рисунка 2.23 b, вихри случайного поля достаточно уверенно идентифицируются.

3.Сингулярности векторного поля

В векторном электромагнитном поле, характеристики которого в общем случае пространственно распределены, можно, как и для скалярного поля, выделить определенные множества особых точек, объединенных в особые сети. Очевидно, можно рассчитывать на то, что, как и в скалярном случае, благодаря свойствам Эвклидова пространства, характеристики таких сетей должны дать исследователю информацию (хотя бы на качественном уровне) о поведении поля в любой его точке. Иными словами, можно ожидать, что и для векторного поля возможно построение его топологического скелетона, характеристики которого определяют закономерности изменения характеристик поля от точки к точке.

Однако ситуация в векторном монохроматическом поле кардинально отличается от ситуации в скалярном: в векторном поле отсутствуют стационарные нули интенсивности [3; 68 – 71]. Действительно, для существования стационарного нуля векторного поля требуется одновременное существование в одной точке нулей всех трех ортогональных компонент. Вероятность такого события нулевая. Более того, существование такого нуля проблематично, даже если допустить возможность его возникновения, поскольку как угодно малое возмущение поля приведет к немедленному смещению нулей компонент относительно их первоначальных позиций.

Поэтому о стационарном дефекте такого типа можно говорить только с точки зрения модельных представлений, когда реальное расстояние между нулями компонент невелико, и разницу в их локализации невозможно определить с помощью экспериментальных средств исследования поля [68 – 71]. В этом случае поле в окрестности «модельного» дефекта будет вести себя так же, как и в случае реального нуля векторного поля.

3.1. Реализация сингулярных моделей

Остановимся еще на одном вопросе, который, с нашей точки зрения имеет принципиальный характер. Утверждается, что для анализа векторных, однородно поляризованных полей могут быть использованы скалярные подходы (см., например, [8]). Однако это не совсем так.

Покажем, что даже в случае однородно поляризованных полей, т.е. в случае так называемых скалярных оптических полей, абсолютных нулей амплитуды не существует, и определим пределы, в которых эти понятия можно применять для описания оптических явлений.

3.1.1. «Абсолютные» («стационарные») нули интенсивности в оптическом поле

Известно, что скалярное описание поля, как утверждается в [8], справедливо только для поляризационно-однородных полей. Требование пространственной поляризационной однородности выполняется для случая рассеивающего объекта, не меняющего поляризацию освещающего пучка, и одновременном выполнении параксиального приближения. Авторы допускают, что вкладом продольной ( -вой) компоненты поля в амплитуду и интенсивность поля можно пренебречь в связи с ее малостью [8].

Однако такое утверждение является справедливым для любой области поля, кроме зон, где интенсивность поля мала. Действительно, именно в регионах поля, где поперечные компоненты стремятся к нулю, продольная компонента становится сравнимой с ними по величине. Иначе говоря, в «однородно» поляризованных полях, в областях с малой интенсивностью, при описании поведения поля необходимо учитывать все три компоненты. Далее покажем, что поле в таких зонах поляризационно неоднородно, а его амплитуда не достигает значения абсолютного нуля.

Традиционный анализ поля осуществляется по следующей схеме [5; 8]:

1. Априорно допускается, что в некоторой окрестности поля существует нуль амплитуды.

2. В области (окрестности) нуля рассматриваются решения общего уравнения поля (уравнения Максвелла, параболического уравнения и т.д.).

3. Рассматривается траектория нулевого значения амплитуды поля в пространстве.

Естественно, что такой подход имеет право на существование, и, как известно, он оказался достаточно плодотворным. Однако, несмотря на это, для традиционного подхода можно выделить ряд недостатков:

1. Прежде всего, предположение о существовании в некоторых точках поля абсолютного нуля амплитуды не является очевидным (все три компоненты и равны нулю), поскольку базируется на предположении равенства нулю не только поперечных компонент но, и -вой компоненты поля.

2. Анализ поля в терминах решений общих уравнений (именно из-за его общности) не позволяет, как правило, проследить связи характеристик поля с параметрами рассеивающего объекта, с геометрией анализа поля, определяемой, прежде всего, расстоянием от рассеивателя до плоскости анализа).

Учитывая недостатки традиционного подхода и для соответствия рассчетов реальным физическим объектам, мы предлагаем подход, который сохраняет основные достоинства общего подхода, однако позволяет значительно упростить рассмотрение:

1. Рассеивающий объект предполагается достаточно тонким и плоским.

2. При когерентном облучении объекта из фундаментальных представлений о рассеянном поле следует существование корреляционной структурности граничного поля – поля непосредственно за объектом [40]. Такой подход позволяет представить граничное поле набором некоторых зон корреляции, характеристики которых зависят от характеристик самого рассеивающего объекта и расстояния от объекта до плоскости анализа. Совокупность таких зон корреляции можно интерпретировать как набор элементарных излучателей, обладающих определенными параметрами.

Так, например, на достаточно большом расстоянии от объекта граничное поле может быть представлено ансамблем точечных источников, а в зоне неразвитой спекл-структуры (волновой зоне) – зоне рождения нулей, поле непосредственно за объектом может быть представлено совокупностью элементарных волн с простыми волновыми поверхностями.

3. Далее в зоне анализа аналитически рассчитывается поле, формируемое отдельно выделенными зонами корреляции граничного поля.

4. И, наконец, в произвольной точке плоскости анализа рассчитывается и анализируется поле в допущении, что хотя бы одна из компонент поля равна нулю. Последнее утверждение не противоречит вышесказанному о существовании нулей поля, поскольку для отдельной компоненты полностью справедливый скалярный подход.

Будем рассматривать поле в зоне, для которой парциальные волны, отвечающие зонам корреляции граничного поля, могут быть представлены сферическими волнами. Тогда совокупность зон корреляции поля непосредственно за объектом можно интерпретировать как набор точечных источников.

Условно разделим рассеивающие объекты на два класса. К первому классу отнесем объекты, для которых поляризационные характеристики граничного поля такие же, как и для облучающего пучка (объекты типа фазового экрана) [40]. Модуляция поля непосредственно за объектом – чисто фазовая.

Второй класс объектов – объекты, для которых уже в граничном поле наблюдается поляризационная неоднородность (например, объекты, для которых реализуется многократное рассеивание).

Пусть плоский и тонкий рассеивающий объект (см. рис. 3.1) нормально облучается плоской волной с произвольной поляризацией. Поле непосредственно за объектом представим набором комплексных амплитуд точечных источников:

, (3.1)

где – модули амплитуды компонент; – фазы точечных источников; – координаты источников излучения.

Для объектов первого класса , где – положительные коэффициенты, а , – разности фаз компонент. Заметим, что и одинаковые для всех источников. Для объектов второго класса , – случайные величины. Поскольку анализ поля проводится в зоне, где излучение элементарного излучателя представляется сферической

в

Рис. 3.1

олной, то вклад компоненты невелик и им можно пренебречь. Тогда, из простых геометрических соображений вытекает, что в любой точке наблюдения на расстоянии от объекта, компоненты поля каждого источника и будут вносить свой вклад во все три компоненты анализируемого поля.

Поле, сформированное -компонентой -того источника, запишется в виде:

, (3.2)

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Аналогично запишется выражение для -компоненты поля путем замены индексов, соответствующих -компоненте на индексы -компоненты:

, (3.3)

где ; ; .

Результирующее поле, сформированное обоими компонентами поля -того точечного источника, определяется как сумма - и -компонент:

, (3.4)

где индекс соответствует координатам .

Необходимо отметить, что, рассматривая только две компоненты поля, излучаемые парциальными источниками, мы учитываем образование -компоненты в плоскости анализа как результат геометрии распространения волны.

Результирующее поле, сформированное всеми элементарными источниками в точке плоскости анализа, определяется суммой парциальных полей:

. (3.5)

Разложим в ряд Тейлора каждую из компонент поля в окрестности точки наблюдения. При этом считаем, что окрестность небольшая, и в ее границах изменением амплитуды элементарной волны будем пренебрегать, считая ее в окрестности точки постоянной.

В этом случае можно ограничиться нулевым и линейным членами разложения

. (3.6)

Коэффициенты разложения запишутся в виде

(3.7)

Поле компонент в окрестности точки наблюдения будет описываться выражением

,(3.8)

где , .

Введем Декартову и полярную системы координат, связанные с точкой наблюдения, для которых соответственно , , , . Направление оси оставим без изменений, а угол будем отсчитывать от оси . Выделим из экспоненциальной формы записи комплексной амплитуды поля действительную и мнимую части.

Тогда отдельные компоненты поля описываются соотношениями:

(3.9)

Таким образом, выражение для компонент поля можно записать в виде:

, (3.10)

где ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Проанализируем соотношение (3.10). Среднее значение зависит от характеристик поля непосредственно за рассеивающим объектом. Его величина зависит как от характеристик облучающего объект пучка, так и от самого рассеивающего объекта. Иначе говоря, определяется функциями распределения величин . Скорость изменения значения вдоль оси ( ) не зависит от поляризационных характеристик точечных источников, если и изменяются в одинаковых пределах. Как справедливо отмечено в [5; 8], для объектов первого типа и линейно поляризованного облучающего пучка (для определенности пусть вектор напряженности волны колеблется вдоль оси ) и намного меньше, чем . Вместе с тем, из соотношения (3.7) следует, что коэффициенты при , и нулевые члены – случайные независимые величины.

Продемонстрируем это для нулевых членов для объектов, не меняющих поляризации. Пусть при этом поляризация облучающего пучка линейная, а вектор напряженности электрического поля параллельный оси . В этом случае коэффициенты и соответственно

, (3.8)

а коэффициент корреляции двух величин и , по определению [2] равен

. (3.9)

Легко видеть, что и равны нулю. Тогда радиус корреляции для коэффициентов и запишется в виде

. (3.10)

Если и – независимые случайные величины, то должно равняться нулю. Это непосредственно следует из того факта, что – независимые равномерно распределенные величины. Аналогично можно показать, что независимо от типа рассеивающего объекта все остальные коэффициенты разложения поля в (3.7) независимые случайные величины. Необходимо отметить, что при освещении объекта типа фазовый экран эллиптически поляризованным светом коэффициенты разложения, отвечающие координатам , не являются статистически независимыми. Так, например, при освещении такого объекта циркулярно поляризованным светом коэффициенты разложения при равны. В тоже время эти коэффициенты статистически независимы по сравнению с коэффициентами при .

Таким образом, независимо от типа рассеивающего объекта и способа его освещения вероятность одновременного равенства нулю всех компонент поля в произвольной точке пространства стремится к нулю. Поэтому точку нуля амплитуды и соответственно линию нуля как функцию трех координат в пространстве можно вводить только для отдельно взятой компоненты поля.

Отметим, что гипотетично можно предположить вариант поля сразу за объектом, при котором коэффициенты в выражении (3.7) для - и -компонент не являются независимыми (например, освещение объекта первого типа циркулярно поляризованным светом). В такой ситуации, в некоторой точке пространства нуль амплитуды для - и -компонент поля будет достигаться одновременно и суммарное поле в окрестности такой точки будет определяться только -компонентой поля. Однако в любом случае можно утверждать, что в статистических когерентных полях абсолютный нуль амплитуды поля не достигается.

Рассмотрим более подробно поле вблизи точки «нуля» амплитуды, возникающего в рамках скалярного приближения для однородно поляризованной волны. Как показано в [5; 7; 8], при приближении к точке нуля амплитуды модуль градиента фазы поля неограниченно возрастает, что в свою очередь приводит к резкому изменению направления волнового вектора и полной его неопределенности в точке нуля амплитуды. Однако волновой вектор определяется всеми тремя компонентами поля и соответственно его ориентация и величина определяется -компонентой поля. Более того, при приближении к «нулю» амплитуды, определяющая роль ненулевых компонент увеличивается независимо от соотношения между средними модулями амплитуд , , . Поскольку пространственный масштаб модуляции поля для различных компонент соизмеримый, то можно утверждать, что скорость изменения волнового вектора (его ориентации) в точке «нуля» амплитуды соизмерима со скоростью изменения волнового вектора в любой другой точке поля.

3.1.2. «Абсолютный» нуль интенсивности как модель оптической сингулярности

Очевидно, что при рассмотрении физических ситуаций, которые можно считать адекватными проявлениям абсолютного нуля амплитуды поля, к ним можно подходить, исходя из следующих, в некоторой мере, тривиальных соображений: физическая ситуация будет восприниматься исследователем как ситуация, адекватная абсолютному нулю амплитуды, если используемые им методы исследования поля не дают возможности отличить реальную ситуацию от поведения поля в окрестности абсолютного нуля амплитуды.

Естественно, что такое утверждение является справедливым и для других нереализуемых оптических сингулярностей, например, краевой дислокации скалярного поля или вихря с топологическим зарядом по модулю большим чем единица и т.д.

Для физической ситуации, адекватной наличию в поле абсолютного нуля амплитуды, сформулированное утверждение может быть уточнено:

1. Очевидно, что для объектов второго типа, преобразующих поляризацию облучающего пучка (по крайней мере, и соизмеримы между собой), такая физическая ситуация возникает, когда в некоторой точке наблюдения трехмерные линии нулей всех трех компонент поля сближаются на расстояние соизмеримое с пространственной разрешающей способностью измерительного прибора, с помощью которого анализируется поле. Очевидно, что предельная величина, на которую могут сойтись нулевые линии, и при этом позиции нулей компонент могут быть идентифицированы как различные, сравнима с длиной волны излучения. В такой ситуации никакими оптическими способами, использующими ту же длину волны, невозможно отличить образовавшуюся полевую структуру от структуры, возникающей в области «абсолютного» нуля. Вероятность сближения всех трех линий нулей на расстояние, соизмеримое с разрешающей способностью (длиной волны) является конечной величиной и может быть оценена с помощью результатов, полученных в [8].

Естественно, что, учитывая статистическую независимость компонент поля, стабильность таких образований во френелевской зоне невелика. Поэтому «абсолютний» нуль в этой области распространения волны является «точечным» дефектом. При этом, чем ближе к зоне Фурье, тем больше продольные размеры такого образования, и на достаточно большом расстоянии от объекта, в зоне, где распространение поля сводится практически к его масштабному преобразованию, можно говорить о возможности существования «линий абсолютного» нуля векторного поля. Однако необходимо отметить, что вероятность образования такой структуры достаточно мала, а их количество несоизмеримо меньше, чем количество нулевых линий, отождествляемых с компонентами поля.

2. Несколько иная ситуация складывается для рассеивающих объектов, не преобразующих поляризацию облучающего пучка.

Пусть в некоторой точке основная компонента (или компоненты, если поляризация облучающего пучка эллиптическая) поля достигает нуля. Суммарное поле в окрестности такой точки определяется ненулевыми компонентами. При соответствующих соотношениях между , , и расстоянии до зоны наблюдения поперечные размеры такой окрестности соизмеримы с пространственной разрешающей способностью измерительного прибора (длиной волны излучения). При этом с возрастанием размеры окрестности уменьшаются, поскольку отношение средних интенсивностей основной и неосновной компоненты (компонент) постоянно уменьшается. В предельном случае (размеры области «абсолютного» нуля сравнимы с длиной волны излучения) можно утверждать, что в этой окрестности никакими оптическими способами, использующими ту же длину волны, невозможно определить поле, соответствующее неосновным компонентам.

В рамках этих соображений можно утверждать, что, начиная с некоторого расстояния , в пространстве существуют лини абсолютного нуля, соответствующие линиям нуля основной компоненты поля.

3.1.3. Поляризационная модуляция поля в окрестности «абсолютного» нуля амплитуд

Рассмотрим поведение характеристик поля в области, в которой реализуется модель абсолютного нуля векторного поля.

Перейдем к локальной системе координат, в которой ось направлена вдоль нормали к результирующему волновому фронту. В такой системе координат присутствуют только две компоненты амплитуды поля. Начало локальной системы координат разместим в точке нуля амплитуд, плоскость совпадает с плоскостью колебания результирующего вектора напряженности электрического поля (см. рис. 3.1.). Такое преобразование может быть осуществлено простым поворотом локальной системы координат . В системе координат компонента поля равна нулю. Можно показать, что и в этой системе координат поле в малой окрестности произвольной точки также описывается соотношениями типа (3.7). Коэффициенты при , и нулевые члены также статистически независимые величины. Для простоты будем обозначать их теми же индексами.

Тангенс фазы компоненты в окрестности нуля амплитуды запишется в виде

. (3.11)

Выражение (3.11) – тангенс фазы вихря компоненты в зоне ядра вихря.

Для простоты предположим, что в зоне ядра вихри компонент – изотропные вихри. Можно показать, что в случае анизотропных вихрей общие закономерности поляризационной модуляции существенно не зависят от отличия фронта таких вихрей от «идеального» геликоида.

1

a b

Рис. 3.2

Поведение поля в окрестности нуля амплитуд.

a) – компонентные вихри одного знака; b) – компонентные вихри разных знаков;

. Предположим, что знаки вихрей, ассоциируемых с - и -компонентами поля одинаковые. Тогда разность фаз между компонентами равна для каждой точки окрестности. Это означает, что в окрестности нуля поле поляризационно-однородное. Поляризация в общем случае эллиптическая. Эксцентриситет эллипса зависит как от разности фаз, так и от соотношения модулей амплитуд компонент и . Характерное поведение поля в окрестности нуля иллюстрируется рис. 3.2 а.

2. Знаки компонентных вихрей разные. Разность фаз между компонентами соответственно равняется, с точностью до знака, . Поведение поля в окрестности нуля в этой ситуации иллюстрируется рис. 3.2 b (для определенности ). Вдоль линий, выходящих из точки нуля под углами и , поляризация линейная. Вдоль линий под углами и – поле поляризовано циркулярно. В промежутках между этими значениями поле поляризовано эллиптически.

Можно показать, что в случае, если геликоидальный фронт отличается от идеального, будет наблюдаться определенное изменение эксцентриситетов эллипсов, пространственное смещение характерных направлений (вдоль которых поляризация линейна или циркулярна). Однако общие тенденции поведения поля в окрестности нуля амплитуд остаются без изменений.

Поскольку в этом параграфе мы рассматриваем поведение поля в окрестности модельных сингулярностей, то проанализируем также ситуацию, когда в компонентах поля реализуются краевые дислокации.

В этом случае и возможны три следующих реализаций параметров поля:

а) при ;

b) при ;

c) при , или .

Детальные иллюстрации поведения поля в случае компонентных краевых дислокаций приводить не будем, рассмотрим лишь случай, когда в компонентах и краевые дислокации направлены перпендикулярно одна к другой. Тогда поле компонент описывается соотношениями:

. (3.12)

В

a b

Рис. 3.3

Поведение поля в окрестности нуля амплитуд при наличии краевых дислокаций в обоих компонентах поля: a) – ; b) –

общем случае поле при обходе точки нуля также эллиптически поляризовано. Вместе с тем, эксцентриситет эллипсов меняется в соответствии со значением . Характерный тип поведения поля иллюстрируется рис. 3.3 a. Для того, чтобы подчеркнуть, что при обходе точки нуля на фаза излучения изменяется на противоположную, тут и далее для линейной поляризации указано только одно направление колебания вектора поля. Различное направление стрелочек коллинеарных векторов соответствует тому, что поля в этих точках находятся в противофазе. Интересным является случай, когда . Тут поляризация в окрестности точки нуля линейная, а вектор поля осуществляет поворот на при обходе точки нуля (рис. 3.3 b).

В заключение отметим, что представленный набор поляризационных ситуаций в окрестности абсолютного нуля поля далеко не исчерпан. Возможны комбинации краевой и винтовой дислокаций, разнообразные реализации краевых дислокаций и т.д.

3.2. Дисклинации. Поляризационные сингулярности

Отметим, что в силу векторной природы электромагнитного поля, необходимо четко различать поле общего вида и поле, которое может быть описано с помощью параксиального приближения. Как показано в [3; 64 – 66; 73], системы сингулярностей для этих случаев различны.

П оэтому в дальнейшем будем считать, что рассматриваемые нами поля подчиняются параксиальному приближению. Для такого типа полей можно выделить временные нулевые сингулярности – дисклинации, множества точек в которых компоненты поля принимают нулевое значение в определенный момент времени [3; 65]. Существование подобных структур легко представить, обратившись к рисунку 3.4.

П

Рис. 3.4

редположим, что преимущественное направление распространения поля совпадает с осью и в силу параксиального приближения -компонентой поля можно пренебречь. Пусть в некоторой точке поле поляризовано линейно. Разложим поле на ортогональные линейно поляризованные компоненты в соответствии с базисом, изображенным на рисунке. Как следует из рисунка, -компонента тождественно равна нулю. Иными словами, для компоненты в точке наблюдается вихрь. В то же время компонента дважды за период колебания обращается в нуль. Таким образом, именно в эти моменты времени суммарная амплитуда поля равна нулю, т.е. в точке наблюдается дисклинация.

З

a b

Рис. 3.5. Структура -контуров

a – структура -контуров типа «матрешка».

b – запрещенная для абсолютно случайного поля структура -контуров («острова в океане»).

аметим, что в точке с эллиптической поляризацией поле никогда не принимает нулевого значения. Отсюда можно сделать вывод, что место жизни дисклинаций – точки поля, где оно поляризовано линейно. Достаточно просто показать, что в силу непрерывности поля такие точки образуют в плоскости замкнутые односвязные линии (в трехмерном пространстве поверхности), отделяющие области с разным направлением поляризации (см. рис. 3.5). Эти линии будем называть -контурами (в пространстве -поверхностями) [3].

Возможность существования дисклинации на -контуре не налагает никаких ограничений на азимут поляризации в каждой его точке. Более того можно утверждать, что азимут линейной поляризации непрерывно меняется вдоль -контура, поскольку в противном случае пришлось бы допустить возможность существования для одной из поляризационных проекций поля краевой дислокации – поверхности, в каждой точке которой поле проекции равно нулю. Однако, как было показано в п. 2.3, существование таких дефектов поля невозможно.

Длина -контуров в общем случае может меняться от нуля (вырожденный случай, когда -контур преобразуется в точку) до бесконечности, а средняя длина -контура зависит (как будет показано далее) от преимущественной поляризации векторного поля. В частности, для абсолютно случайного поля (глобально деполяризованного c Гауссово-распределенными характеристиками [74 – 76]) возможна лишь структура -контуров (рис. 3.5 а), когда область с определенным направлением поляризации (или несколько таких областей) вкладывается в область с другой поляризацией, в свою очередь ограниченную областью, в которой направление вращения вектора напряженности поля снова меняет свое направление на противоположный и т.д. Образно говоря, для такого поля реализуется структура -контуров типа «матрешка». При этом максимальный размер самой «большой» из них не ограничен. Другой возможный тип структуры -контуров («острова в океане») в таком поле не реализуется, поскольку в этом случае, даже при равенстве площадей, которые будут занимать области с разным направлением поляризации, право- и левополяризованные состояния поля не будут равноправны.

Т аким образом, -контура как место жизни дисклинаций представляют собой особую структуру векторного поля. С другой стороны, понятие дисклинации как дефекта поля является фундаментальным только для электромагнитных волн радиодиапазона. Для оптики эти дефекты поля «не существуют» из-за быстрых изменений поля и невозможности прямого измерения амплитуды колебания.

В

Рис. 3.6

оптическом смысле, более интересными являются стационарные или «поляризационные» сингулярности векторного поля. Действительно, в каждой точке пространства конец электрического вектора описывает поляризационные эллипсы, параметры которых (азимут поляризации, направление вращения вектора поля ) как функция пространственных координат тоже могут иметь сингулярности.

Для параксиального приближения вводится два основных типа таких сингулярностей [3; 64 – 67; 73; 77 – 86]:

1. К первым относят уже знакомые -контура (в пространстве -поверхности), поскольку направление вращения вектора электрического поля вдоль них неопределенно. Связь -контуров с дисклинациями естественна и есть проявлением того, что все особые множества одной физической величины (например, для скалярного поля фаза и интенсивность, см. п. 2.6) связны между собой.

2. -точки (в пространстве -линии) – точки циркулярной поляризации поля (см. рис. 3.6), в которых поляризационный эллипс вырождается в круг и, соответственно, неопределенным является направление главной оси (азимут) поляризационного эллипса и как следствие значение главной фазы [80], определяющей положение электрического вектора относительно большой оси эллипса [3; 73]. Естественно, что -точку как топологический элемент можно характеризовать двояко:

• топологическим зарядом сингулярности главной фазы (vibration phase):

(3.1)

• и топологическим зарядом сингулярности азимута

, (3.2)

который совпадает с индексом Пуанкаре -точки. В дальнейшем будем называть просто зарядом -точки, а просто ее индексом.

П

a b c

Рис. 3.7

Возможное поведение эллипсов

в окрестности -точки.

a – “star” (отрицательный индекс);

b,c – положительный индекс; b – “monstar”; c – “lemon”.

окажем, что, в отличие от зарядов и индексов скалярных особых точек, эти величины принимают значения, кратные . В частности, при обходе С-точки по замкнутому контуру азимут поляризации осуществляет поворот на угол, равный по модулю [83; 84]. Заметим, что существование -точек, при обходе которых оси эллипсов осуществляют большее количество оборотов, не запрещено, однако такие полевые структуры являются топологически и физически неустойчивыми. Поэтому будем считать, что индекс и заряд -точки могут принимать значения только . В [3; 66] показано, что только три типа поведения эллипсов вокруг -точки возможно (см. рис. 3.7). Эти пространственные распределения эллипсов получили названия: “star”, “monstar” и “lemon” соответственно.

Установим взаимосвязь между величиной и значением . Такое рассмотрение достаточно просто провести, если использовать разложение поля на ортогональные циркулярно поляризованные компоненты. Заметим, что координаты -точки, находящейся в области с определенным направлением поляризации (левым или правым), совпадают с координатами вихря ортогонально поляризованной компоненты. Именно в центре вихря ее модуль амплитуды равен нулю и суммарное поле строго циркулярно поляризовано.

Для фаз лево- и право циркулярно поляризованных компонент выполняются такие соотношения [3; 81]:

, (3.3)

где – главная фаза колебания (vibration phase); – фазы право- и лево циркулярной компонент соответственно.

Предположим, что в некоторой области поля (для определенности области с правой поляризацией) наблюдается -точка. Тогда координаты этой точки совпадают с вихрем левополяризованной компоненты. Исходя из этого, правополяризованная компонента «гладкая» в области анализа, а ортогональная ей компонента содержит сингулярность фазы в -точке. Тогда имеет место система [3]

, (3.4)

где – топологический заряд вихря левой компоненты.

Поскольку , то из (3.2) и (3.3) следует, что:

. (3.5)

Учитывая, что заряд вихря , получаем:

. (3.6)

Если -точка находится в области с левой поляризацией, имеет место система, аналогичная (3.5):

(3.7)

или для области с левой поляризацией

. (3.8)

Соотношения (3.6) и (3.8) можно объединить в одно, если ввести так называемый handedness фактор , равный для области с правой поляризацией, и для регионов поля с левой поляризацией.

С учетом (3.6) и (3.8) перепишется

. (3.9)

Такая взаимосвязь между зарядом и индексом отражает закономерности изменений поля в области -точки не только пространственные (ориентацию эллипсов), но и временные. Например, мгновенная ориентация вектора поля в области с левой (рис. 3.8 a) или правой (рис. 3.8 b) поляризацией может быть реализована только при определенном распределении азимута и главной фазы в области. Разрешенные поведения поля в окрестности -точки иллюстрируются рисунками 3.8 a и 3.8 b и запрещенные рисунком 3.8 c. При поведении поля, подобном изображенному на рис. 3.8 c при пересечении -точки возникает разрыв (скачок характеристик) поля. Другими словами, увеличение (уменьшение) главной фазы при обходе -сингулярности обеспечивает «компенсацию» дополнительного поворота вектора поля, возникающего из-за вращения осей эллипсов в окрестности -точки.

a) b) c)

Рис. 3.8

Иллюстрация временного поведения вектора поля в окрестности -точки.

Изменение площади темных серых областей на рисунках (a) и (b) иллюстрирует поведение азимута поляризации вокруг -точки. Величина светло-серых областей на рисунке (a) указывает, каким образом меняется главная фаза в окрестности -сингулярности. Темно-серые и светло-серые круговые стрелки в нижней части каждого рисунка указывают направление увеличения главной фазы (знак заряда -точки) и поляризационного азимута (знак индекса -точки) соответственно.

Напомним, что суммарный топологический индекс в области равен сумме элементарных индексов и может быть получен из соотношения:

, (3.10)

где – односвязная замкнутая линия, охватывающая все сингулярности.

Выберем в качестве контура -контур. Тогда из (3.10) следует взаимосвязь - и -синуглярностей, суть которой заключается в том, что полное количество и направление оборотов вектора линейной поляризации вдоль -контура совпадает с суммарным индексом -точек , ограниченных этим контуром. Так, например, для рисунка 3.6 суммарный топологический индекс -точек в области ограниченной -контуром , что соответствует повороту на вектора поля при полном обходе контура против часовой стрелки.

Иными словами, поляризационная ситуация внутри области гомеоморфно отражается на -контур, и параметры -, и -синуглярностей определяют характер поведения поля в любой точке области.

Таким образом, можно утверждать, что, как и в случае скалярного поля, система стационарных (поляризационных) сингулярностей формирует скелетон векторного поля, «определяющий» его поведение в любой его точке.

3.3. Вихри разности фаз. Знаковый принцип для векторного поля

3.3.1. Разложение поля на линейно поляризованные ортогональные компоненты

Как было показано в предыдущем параграфе, поляризационные сингулярности и дисклинации взаимосвязаны. Областью существования дисклинаций являются -контуры. В процессе своего движения дисклинации пробегают каждую точку -множества [3; 65]. Одновременно с этим в работе [77] показано, что топология дисклинаций зависит от присутствия и распределения -точек в области, ограниченной -контуром. С другой стороны, очевидно, справедливым является обратное утверждение, что именно дисклинации определяют поведение поляризационных сингулярностей.

Таким образом, дисклинации и поляризационные сингулярности чрезвычайно жестко связаны и взаимно определяют характеристики друг друга. Однако, как уже было отмечено ранее, дисклинации в оптическом эксперименте недоступны прямому наблюдению вследствие быстрых изменений поля во времени.

Именно поэтому было бы целесообразно перейти от системы дисклинаций к системе некоторых стационарных сингулярностей-аналогов дисклинаций, которая смогла бы заменить систему временных точечных дефектов поля и была аналогично связана с - и -сингулярными множествами. Иными словами, при построении новой системы сингулярностей необходимо перейти от временных характеристик к пространственным, например, как это делается в традиционной оптике при описании состояния эллиптической поляризации поля в терминах модулей амплитуд ортогональных компонент и разности фаз между ними [28; 80]. Таким образом, новая система сингулярностей должна быть связана с системами сингулярностей ортогональных компонент, к анализу которых применим «скалярный» подход.

Как было показано в разделе 2, такой системой для скалярных компонент векторного поля являются сети фазовых вихрей, характеризующие топологическую структуру компонент, определяющие поведение фазы и интенсивности.

Поскольку каждая из ортогональных компонент определяется своею сетью вихрей, то следует ожидать, что векторное поле должно характеризоваться их суперпозицией, т.е. «полной» системой фазовых вихрей. Анализ такой системы будем называть «вихревым» анализом векторного поля. Задачей анализа является установление связи между полной системой вихрей и поляризационными сингулярностями, дисклинациями векторного поля. Еще раз подчеркнем, что в отличие от дисклинаций, фазовые вихри ортогональных компонент легко доступны прямому наблюдению, например интерференционными методами [8 – 10;12; 36 – 39].

Сначала покажем, что векторное поле в дальней зоне можно характеризовать общей сетью новых оптических вихрей – вихрей поля разности фаз. Такой подход, по сути, сводит векторное рассмотрение проблемы к скалярному.

3.3.2. Принципы вихревого анализа векторных полей

Покажем, что «вихри разности фаз» полностью определяют топологию векторного поля и это дает возможность установить соответствие между полной системой фазовых вихрей и поляризационными сингулярностями векторного поля.

Рассмотрим электромагнитную монохроматическую волну, распространяющуюся в свободном пространстве вдоль оси .

Известно, что вектор электрического поля можно описать соотношением [28]:

, (3.11)

где – комплексный вектор вида

. (3.12)

В дальней зоне можно пренебречь -компонентой электрического вектора. Тогда рассмотрение сведется к анализу поперечной компоненты поля . – гладкие функции двух координат , а описывается соотношением

, (3.13)

где – единичные векторы; , – комплексные амплитуды ортогональных компонент; – модули и фазы комплексных амплитуд соответственно.

Распространение волны вдоль сведется (с точностью до ) к масштабному преобразованию с некоторым коэффициентом, обусловленным расстоянием до рассеивающего объекта [11]. Заметим, что приближение дальней зоны не является принципиальным и рассмотрение можно легко распространить для зависимости от трех координат.

Выберем произвольным образом в плоскости наблюдения Декартову систему координат и введем некоторую характеристическую функцию:

, (3.14)

где ; .

Очевидно, что характеристическую функцию , заданную соотношением (3.14), можно интерпретировать как комплексную амплитуду некоторого скалярного поля, фаза которого совпадает с разностью фаз ортогональных компонент. Заметим, что поле типа (3.14) может быть физически реализовано, например, методами голографии. Вихри поля находятся в тех же точках, что и нули амплитуды ортогональных компонент, поскольку в этих точках или достигают своего нулевого значения. Естественно, что разность фаз в этих точках не определена, т.е. эти точки – сингулярные точки разности фаз. Более того, эти точки могут быть интерпретированы как вихри поля . Таким образом, топология фазы поля полностью определяет топологию разности фаз  векторного поля.

Очевидно, что условие существования нулей амплитуды поля (как и для обычного скалярного поля) имеет вид:

(3.15)

Решения первого уравнения системы (3.15) определяют линии, вдоль которых или , т.е. лини, вдоль которых поляризация поля линейная. Таким образом, решения первого уравнения соответствует s-контурам. Кривые, которые получаются из второго уравнения, мы будем по аналогии называть “ -контурами”. Вдоль этих линий равна и в точках, где располагаются -точки. Далее любые кривые, вдоль которых разность фаз постоянна, будем называть контурами этой разности фаз.

Отметим, что разность фаз вдоль -контура изменяется скачком на при переходе через вихрь. Подобно дислокациям волнового фронта, вихри разности фаз [82,83] могут характеризоваться двумя типами топологических индексов: индексом Пуанкаре и топологическим зарядом. Будем обозначать их и соответственно.

Естественно, что, как и в случае фазовых вихрей, .

Очевидно, что значение топологического заряда вихрей разности фаз связано со значением топологического заряда вихрей ортогональных компонент. Для определенности будем считать, что разность фаз вычисляется как разность фаз , т.е. из фазы -ой компоненты вычитается фаза -ой. Тогда эта связь устанавливается соотношением:

. (3.16)

Как следует из уравнения (3.16), топологический заряд вихря разности фаз совпадает с зарядом вихря ортогональной компоненты, если вихрь разности фаз создан вихрем -компоненты и имеет противоположный знак по сравнению с вихрем компоненты, если он образован вихрем -компоненты.

В дальнейшем будем обозначать вихри компонент как ( и соответственно) и вихри разности фаз как (* и ~ ассоциируются с топологическими зарядами +1 и 1 соответственно).

Подчеркнем, что седловые точки поля разности фаз являются пересечениями только одной пары линий одинаковой разности фаз (топологически устойчивая структура) и соответственно и .

Применяя подход, используемый в [11] к полю разности фаз можно сформулировать следующие закономерности сохранения топологических инвариантов:

1. Количество вихрей разности фаз с топологическим зарядом одного знака равно количеству вихрей другого знака

. (3.17)

2. Количество седловых точек поля разности фаз связано с количеством экстремумов разности фаз и вихрей соотношением

. (3.18)

Заметим, что количество экстремальных точек поля разности фаз значительно меньше, чем количество вихрей и седел. Это факт непосредственно вытекает из свойств характеристической функции , ее интерпретации как скалярного поля. Как следует из п. 2.6, количество вихрей (седел) скалярного поля относится к количеству экстремумов фазы как .

Из интерпретации функции как скалярного поля также непосредственно следует, что для его вихрей автоматически справедливым является выполнение знакового принципа. Соответственно, для поля разности фаз можно сформулировать принцип, аналогичный знаковому принципу, которому подчиняются фазовые вихри:

а) на замкнутом -контуре размещается четное количество вихрей поля разности фаз. При этом соседние вихри характеризуются разным знаком топологического заряда (,~);

b) если соседние вихри разности фаз образованы вихрями фазы одной компоненты, то эти фазовые вихри разных знаков (+,).

Знак произвольного вихря поля разности фаз фиксирует знаки всех других вихрей. Изменение знака вихря на противоположный автоматически изменяет знаки всех вихрей поля разности фаз.

Расположение - и -контуров можно определить и из других соображений, вытекающих непосредственно из идеи суперпозиции сетей вихрей ортогональных компонент.

Как было показано в п. 2.1, для скалярного случая нули действительной и мнимой частей комплексной амплитуды как функции пространственных координат определяют в плоскости наблюдения два множества непрерывных кривых (линий , , ). Пересечение этих линий задают сеть вихрей поля. Тогда, в векторном случае для комплексных амплитуд ортогональных компонент поля , имеем две сети фазовых вихрей.

На рис. 3.9 a приведена суперпозиция таких сетей. Толстыми и тонкими линиями обозначены сети вихрей - и -компонент соответственно. Сплошные и пунктирные с крестиком линии (линии , ) определяют множество точек, где действительная и мнимая части комплексных амплитуд ортогональных компонент равны нулю. Линии , для каждой компоненты электрического вектора разбивают плоскость анализа на области, в которых фаза изменяется в границах (на рис. 3.9 a эти области обозначены римскими цифрами). Именно эти линии и являются эквифазными линиями с фазой, кратной .

Разность фаз комплексных амплитуд ортогональных компонент =0 может достигаться только там, где накладываются регионы , , , (на рис. 3.9 a эти пересечения отмечены светло-серым цветом), а точки поля с разностью фаз, равной могут находиться только в пересечении областей: , , , . (регионы, обозначенные темно-серым цветом). Аналогично определяются области, в которых может достигаться разность фаз (на рис. 3.9 а такие регионы обозначены белым цветом).

Очевидно, что вследствие непрерывности поля геометрическое место точек, в которых разность фаз комплексных амплитуд ортогональных компонент равняется константе с точностью до , образуют систему замкнутых линий – контуров разности фаз. Лини, вдоль которых разность фаз равняется 0 или , не что иное, как -контуры (на рис. 3.9 a тонкие пунктирные лини), а линии с – -контуры (на рис. 3.9 a тонкие штрихпунктирные линии).

Подчеркнем, что пересечения одноименных линий компонент (пересечения линий и или и ) фиксируют точки поля, в которых разность фаз точно равняется 0 или , т.е. через эти точки проходят -контуры. Пересечения разноименных линий компонент (пересечения линий и или и

Рис.3.9

Суперпозиция сетей вихрей компонент и сеть,

образованная вихрями разности фаз.

a) – суперпозиция вихревых сетей ортогональных компонент. Толстые сплошные линии – линии , с крестом – линии , тонкие сплошные линии – линии , с крестом – линии . - и -вихри соответственно. Границы изменения фазы в регионах, ограниченных линиями , обозначены римскими цифрами. Соответствие между изменением фазы и римскими цифрами приведено в таблице в правом верхнем углу рисунка. Области, где разность фаз между ортогональными компонентами может достигать значения 0, обозначены светло-серым цветом, – темно-серым. Области, де соответствующая разность фаз может достигать значения , обозначены белым цветом. Пунктирные и штрихпунктирные линии соответствуют - и -контурам. b) – сеть вихрей разности фаз, - и -контуры. Области с правой и левой поляризацией обозначены серым и белым цветами соответственно. Ориентация двойных стрелок отображает качественное поведение азимута поляризации вдоль -контура. Разность фаз вдоль -контура на дугах между вихрями разности фаз обозначена символами , .

) определяют множество точек с разностью фаз , через которые проходят -контуры.

На рис. 3.9 b, - и -контуры также обозначены пунктирными и штрихпунктирными линиями соответственно. Области с левой и правой поляризацией обозначены белым и серым цветом.

У

Рис.3.10

Изменение положения - и -контуров при изменении базиса разложения.

читывая знаковый принцип и опираясь на факт, что разность фаз вдоль -контура скачком меняется на при переходе через вихрь, можно качественно описать поведение азимута линейной поляризации поля вдоль -контура относительно выбранного базиса разложения поля [28]. Такое поведение вектора поля иллюстрируется на рис. 3.9 b с помощью толстых двойных стрелок.

Проанализируем некоторые особенности сетей, образованных вихрями разности фаз. Отметим, что характеристическая функция зависит от базиса разложения векторного поля на ортогональные компоненты. Соответственно, сеть вихрей разности фаз зависит от выбора ориентации базиса (см. рис. 3.10). Вместе с тем, положение -контуров стационарно и постоянно для произвольного базиса разложения. Простая штрихпунктирная линия и более светлые вихри соответствуют начальному базису разложения. Штрихпунктирная линия с двумя точками соответствует измененному базису. Местоположение -точек обозначено литерой . Для произвольного базиса -контура проходят через эти точки. -контуры, отвечающие двум различным базисам разложения, приведены на рис. 3.9 и обозначены с помощью штрихпунктирной и штрихпунктирной с двумя точками линиями соответственно.

При изменении ориентации базиса могут образовываться новые пересечения - и -контуров, т.е. появляться дополнительные вихри разности фаз.

Естественно, что количество таких вихрей всегда четно, а знаки топологических зарядов подчиняются знаковому принципу.

Проанализируем второе следствие, вытекающее из свойств характеристической функции . Допустим, что комплексная амплитуда скалярного поля изменяется на некоторый постоянный для всего поля фазовый множитель . Векторное поле, соответствующее такому изменению характеристической функции, можно получить, например, размещая на пути распространения волны объект, аналогичный четверть волновой пластинке. При этом структура разности фаз не изменится, но - и -контуры сместятся в соответствии с . Очевидно, если , - и -контуры поменяются местами.

Таким образом, можно считать, что новая система сингулярностей векторного поля сети вихрей разности фаз сформирована и установлены ее основные свойства.

В последующих параграфах сделаем попытку установить связь между такой системой сингулярностей и дисклинациями, поляризационными сингулярностями.

3.3.3. Вихри ортогонально-поляризованных компонент. Методы исследования поляризационных сингулярностей

3.3.3.1. Вихри ортогональных линейно поляризованных компонент и дисклинации. Экспериментальное определение характеристик -контуров

Рассмотрим некоторую область поля, ограниченную -контуром.

Представим как суперпозицию лево- и правополяризованных циркулярных компонент [3,81]. Из соотношений (3.3) следует, что

, (3.19 a)

или

. (3.19 b)

Рассмотрим изменение главной фазы вдоль -контура.

Каждая из компонент характеризуется своим распределением фазы. Исходя из того, что -точкам поля можно поставить в соответствие вихри циркулярно поляризованных компонент (см. п. 3.1), можно сделать вывод, что позиции вихрей циркулярно поляризованных компонент находятся в областях векторного поля с разным типом поляризации (правой или левой), т.е. разнесены пространственно. Соответственно разнесены пространственно и регионы, в которых наиболее быстро меняется фаза компонент, поскольку такие регионы тяготеют к вихрям. Исходя из этого можно сделать вывод, что в районе -контуров фазы компонент меняются (хотя бы в статистическом смысле) относительно медленно, т.е. производные от фазы компонент вдоль -контура и ( – параметр дуги контура) относительно невелики.

В работе [77] показано, что в точках -контура, где производная от главной фазы , т.е. в точках ее экстремумов, расположены точки рождения и аннигиляции дисклинаций. С другой стороны, как следует из (3.19):

, (3.20 a)

или

. (3.20b)

Соответственно, предполагая, что и невелики, экстремумы азимута поляризации должны наблюдаться в непосредственной близости от точек рождения и аннигиляции дисклинаций. Во всяком случае, вероятность локализации таких точек в области экстремума азимута поляризации значительно выше по сравнению с другими областями -контура.

Точки -контура в которых наблюдается экстремум азимута поляризации достаточно просто идентифицировать с помощью анализа вихревых сеток последовательности линейно поляризационных проекций векторного поля.

Р

Рис. 3.11

ассмотрим участок -контура (рис. 3.11 a – e), где отображено. поведение азимута линейной поляризации (рис. 3.11 a). Изменение азимута вдоль -контура схематически представлено на рисунке f. Как видим (рис. a и f), в точке 3 наблюдается локальный минимум азимута. С помощью вращающегося поляризатора будем выделять из поля различные линейно поляризованные проекции. Направление вращения указано стрелкой в правой части рисунка а. Рисунки b – e соответствуют четырем различным положениям поляризатора. Ориентация его оси совпадает с направлением жирных стрелок в правой части рисунков. В ситуации, представленной рисунком b, положение поляризатора такое, что он не пропускает излучение с поляризацией, азимут которой такой же как в точках 1’ и 1’’. В этом случае в этих точках поля поляризационной проекции образуются вихри. Можно показать, что эти вихри разных знаков. Идентификация вихрей может быть произведена, если, например, организовать интерференцию поляризационной проекции поля с опорной волной. Тогда в местах локализации вихрей будут наблюдаться интерференционные вилочки. Дальнейший поворот поляризатора (ситуация (с)) приведет к сдвигу вихрей проекции вдоль -контура из положений 1’,1’’ в положения 2’,2’’. И, наконец, при ориентации, указанной на рисунке (d) вихри сольются и аннигилируют. Дальнейший, даже небольшой поворот поляризатора приведет к тому, что на участке -контура не будет наблюдаться ни одного вихря (рис. 3.11 e).

С помощью подобной методики можно фактически проводить «визуализацию» дисклинации в произвольной точке -контура.

Действительно, рассмотрим разложение на ортогональные компоненты . Сориентируем одну из осей системы координат в произвольной точке -контура по направлению вектора . Тогда одна из компонент (допустим, ) тождественно равна нулю в любой момент времени (образуется вихрь этой компоненты). Соответственно поперечная компонента электрического поля в этой точке описывается выражением

. (3.21)

Таким образом, при ориентации одной из осей базиса разложения вдоль вектора , в этой точке на -контуре условие возникновения дисклинации будет таким:

(3.22)

Условие появления дисклинации, приведенное в [77], имеет вид:

(3.23)

С

Рис. 3.12

Схема для экспериментального наблюдения точек рождения и аннигиляции вихрей поляризационных проекций поля.

1,11 – светоделители, 2 – микро-объектив, 3 – тефлоновая пластинка, 4 – объектив, 5,6 – зеркала, 7 – пластинка , 8,9,10 – расширитель светового пучка, 12 – анализатор.

равнивая (3.22) и (3.23), видим, что на -контуре . Тогда используя поляризатор, сориентированный так, что пропускается компонента с азимутом вдоль оси , будем наблюдать вихрь -компоненты, тем самым «визуализируя» дисклинацию соответствующую моменту времени . может быть определена интерференционно (естественно с точностью до фазы опорного пучка) при повороте поляризатора на 90 градусов. Повернем поляризатор на небольшой угол относительно первоначального положения. Соответственно вихрь компоненты переместится вдоль -контура, что даст возможность визуализировать дисклинацию в другой момент времени. Таким образом, можно установить соответствие между положением (как функции времени) дисклинации на -контуре и поворотом азимута поляризатора, положением вихря (как функции пространственных координат).

Экспериментально процессы рождения и аннигиляции вихрей поляризационных проекций поля можно наблюдать в интерферометре типа Маха – Цандера, изображенного на рисунке 3.12 [82 – 85].

В объектный пучок в фокальную плоскость микрообъектива 2 помещается образец – тефлоновая пластинка – среда, в которой реализуется многократное рассеяние. Пластинка достаточно тонкая. Поэтому когерентность пучка лазера практически не разрушается, а сфокусированный пучок освещает ограниченное количество рассеивающих центров. В такой ситуации размеры светового пятна непосредственно за рассеивателем остаются практически такими же, как размеры перетяжки сфокусированного пучка. За объектом, на фокусном расстоянии располагается объектив 4, за которым формируется квазипараллельный пучок и таким образом реализуется (в том числе и в плоскости ) приближение дальней зоны. В опорный канал помещается пластинка , преобразующая линейную поляризацию опорного пучка в циркулярную. На выходе интерферометра устанавливается вращающийся анализатор 12 для выделения произвольной проекции объектного пучка и опорной волны. В плоскости наблюдается результат интерференции произвольных проекций векторного поля и соответствующих им проекций опорного пучка.

Р

Рис. 3.13

Результаты экспериментального определения положения точек рождения и аннигиляции вихрей поляризационных проекций.

Белая стрелка с левой стороны каждого рисунка – пространственный репер. Интерферограммы на рис. a – f соответствуют различным ориентациям оси поляризатора 12. Положение s-контура иллюстрируется светлой линией (рис. f).

ассмотрим результаты эксперимента (рис. 3.13). С левой стороны рисунков светлой стрелкой обозначен пространственный репер. Все полосы интерференционной картины непрерывные в границах поля интерферограммы (рис. 3.13 a). При некотором повороте оси пропускания поляризатора 12 в зоне, обозначенной белым прямоугольником, появляется ярко выраженный изгиб интерференционной полосы, свидетельствующий о резком изменении фазы в этом районе поля. При дальнейшем повороте поляризатора 12 в этом месте возникает разрыв полосы, соответствующий точке рождения вихрей (рис. 3.13 с). В этой точке, как было показано выше, наблюдается локальный экстремум азимута . На этом же рисунке можно видеть, что в зону анализа входит новый вихрь (направленная вниз интерференционная вилочка). Дальнейшее вращение анализатора приводит к тому, что от точки рождения вихрей в противоположных направлениях движутся вихри разных знаков (рис. 3.13 d). На этом же рисунке в зоне, ограниченной белым прямоугольником, можно наблюдать новый «разрыв» интерференционной полосы, отвечающий точке рождения еще одной пары вихрей. На рис. 3.13 е в зоне, выделенной прямоугольником, вихрь проаннигилировал с правым рожденным вихрем, а вихрь движется в направлении вихря . Процесс аннигиляции вихрей и уже совершился, и по всей плоскости анализа наблюдаются непрерывные интерференционные полосы, за исключением зоны вихря , продолжающего смещаться в направлении левого угла интерферограммы (рис. 3.13 f). Светлой линией на этом рисунке обозначено положение -контура.

3.3.4. -точки как вихри разности фаз.

Разложим векторное поле на ортогональные циркулярно поляризованные компоненты. Естественно, что и в этом случае получим полную систему вихрей (суперпозицию двух сетей вихрей), анализ которой позволяет установить связь между вихрями компонент и векторными сингулярностями. Однако при таком разложении, по сравнению с разложением на линейно поляризованные компоненты, отмечаются некоторые особенности:

1. Как известно, разность фаз между компонентами не зависит от ориентации базиса разложения.

2. В роли вихрей разности фаз в этом случае выступают -точки (см. п. 3.2.1).

3. Как следует из соотношения (3.3), контуры разности фаз соответствуют линиям постоянного азимута поляризации.

При таком разложении поля -контуры – линии, которые определяются решениями уравнения . Как и для разложения на линейно поляризованные компоненты, для случая разложения на циркулярно поляризованные компоненты вихрям разности фаз можно поставить в соответствие топологические заряды. Топологический заряд такого вихря по знаку совпадает с индексом -точки, а его модуль в два раза больше.

Очевидно, что для C-точек как вихрей разности фаз (с учетом (3.2) и (3.3)) может быть сформулирован знаковый принцип, аналогичный знаковому принципу фазовых вихрей скалярного поля, и вихрей разности фаз, полученных при разложении векторного поля на линейно поляризованные компоненты [83; 86; 87]:

1. На замкнутой линии равных азимутов находится четное количество -точек.

2. Соседние -точки, находящиеся на одной линии равных азимутов, характеризуются индексами разных знаков.

Е стественно, что выполняются следующие топологические инварианты:

1. Количество -точек (вихрей разности фаз) с топологическим индексом одного знака равняется количеству -точек (количеству вихрей) противоположного знака:

. (3.24)

2

Рис. 3.14

1,2 – -контуры; – точки экстремума азимута линейной поляризации; – -точки (вихри разности фаз); – седловая точка азимута поляризации (седло разности фаз).

. Количество седловых точек поля азимутов с количеством экстремумов азимута и -точек связано соотношением:

. (3.25)

Количество экстремальных точек азимута поляризации (экстремумов разности фаз) значительно меньше, чем количество -точек и седел. Этот факт снова следует из свойств оценочного скалярного поля , которое можно ввести аналогично случаю разложения на линейно поляризованные компоненты.

Практическое отсутствие экстремумов азимута поляризации как точек, в которых азимут принимает максимальное или минимальное значение, не противоречит присутствию локальных экстремумов азимута линейной поляризации вдоль -контура (рис. 3.14). Штриховыми линиями на рисунке обозначены -контуры. Штрихпунктирными (с одной и двумя точками) обозначены касательные к ним линии постоянного азимута. Как видим из рисунка, именно в этих точках касания , наблюдаются локальные экстремумы азимута линейной поляризации.

3.4. «Корреляция» между интенсивностью и поляризацией векторного поля

Как было показано в п. 2.6, поведение фазы и интенсивности скалярного поля взаимосвязаны. Очевидно, что из этого факта должна вытекать связь между распределением интенсивности и поляризационных характеристик векторного поля, поскольку изменения фазы и интенсивности ортогональных компонент как скалярных полей «антискоррелированы» [83].

Можно показать, что модуль градиента интенсивности векторного поля описывается соотношением:

, (3.26)

где – модули комплексных амплитуд и их частные производные право- и левоциркулярно поляризованных компонент.

Квадрат модуля градиента отношения модулей право- и левоциркулярно поляризованных компонент имеет вид:

. (3.27)

Очевидно, что для области поля, в которой наблюдаются незначительные изменения поляризации, должны выполняться условия:

, (3.28)

где – разность фаз между право- и левополяризованными компонентами. Из первого уравнения (3.28) и соотношений (3.26, 3.27) следует, что в области незначительных изменений поляризации градиент интенсивности подчиняется соотношению:

. (3.29)

Пусть средние значения модулей амплитуды право- и левополяризованных компонент отличаются коэффициентом . Тогда, учитывая, что независимые случайные величины и их средние значения равняются нулю, можно получить средний градиент интенсивности для всего поля:

, (3.30)

и для областей с незначительными изменениями поляризации:

. (3.31)

Из (3.30) и (3.31) следует, что отношение таких средних градиентов будет таким:

. (3.32)

Из (3.32) следует, что в областях поля с незначительными изменениями поляризации модуль градиента интенсивности в среднем в раз больше чем в остальных областях поля. Так, для «полностью деполяризованного» поля, поля с одинаковыми значениями средних интенсивностей компонент ( ) .

Иными словами, в векторном поле малым изменениям поляризации соответствуют быстрые изменения интенсивности.

Рассмотрим данные компьютерного моделирования (рис. 3.15). На рисунке (a) приведено распределение интенсивности случайного векторного поля с одинаковыми средними значениями интенсивности право- и лево- циркулярно поляризованных компонент. Уровень интенсивности соответствует различным градациям серого цвета.

Рис. 3.15

«Корреляция» между изменениями интенсивности и поляризации поля.

a – распределение интенсивности; b – распределение модуля градиента интенсивности; c – перекрытие областей с незначительным градиентом разности фаз и малым градиентом отношения модулей амплитуд право- и лево- циркулярно поляризованных компонент. Темные области соответствуют областям поля с малым градиентом отношения . Более светлый оттенок соответствует областям с незначительным градиентом разности фаз. Светло-серый цвет – области перекрытия; d – соответствие между областями с быстрым изменением интенсивности и медленными изменениями поляризации. Темные области – области с незначительными изменениями поляризации.

Рисунок (b) – поведение градиента интенсивности. Рисунок (c) иллюстрирует положение областей с незначительными изменениями поляризации. Темные области – области поля с малым градиентом отношения модулей амплитуд право- и лево- циркулярно поляризованных компонент . Более светлый оттенок серого соответствует областям с малым градиентом разности фаз. Светло-серый цвет – области перекрытия этих регионов (области поля с незначительными изменениями поляризации). Наконец, на рисунке (d) показаны области поля с медленными изменениями поляризации (темные области) и регионы с быстрым изменением интенсивности.

Как следует из рисунка (d) области поля, в которых поляризация изменяется мало, «стремятся» к областям с большим градиентом интенсивности.

3.5. Связь между вихрями компонент и -точками

Вновь представим векторное поле как сумму двух ортогональных линейно поляризованных компонент . Соответственно комплексные амплитуды -компонент связаны с параметрами ортогональных циркулярно поляризованных компонент соотношением [3; 81]:

(3.33)

где – модули амплитуд и фазы право и лево циркулярно поляризованных компонент.

Пусть -контур ограничивает область с одним типом (для определенности правой) поляризацией (Рис. 3.16). В точках -контура, где оси базиса разложения параллельны направлению колебания поля, компоненты имеют вихри , .

Р ассмотрим подробно одну из компонент ( -компоненту для определенности). Соотношение (3.33) для -компоненты может быть переписано в виде

. (3.34)

Для линейной поляризации ( -контур, )

. (3.35)

В представлении разложения поля на линейно поляризованные компоненты

Рис.3.16

. (3.36)

Заметим, что – непрерывная, гладкая вдоль -контура функция. не определена в сингулярных точках и изменяется на при переходе через вихрь. Сингулярная точка соответствует азимуту в выражении (3.35). Изменение знака косинуса при переходе через эти точки как раз и соответствует добавлению или отниманию постоянной фазы, равной . Перепишем (3.35) в виде

, (3.37)

где .

Из (3.37) следует, что:

. (3.38)

Разделим -контур на участки , на которых – непрерывная, гладкая функция и участки, включающие линейную поляризацию с азимутом, равным (вихри -компоненты). Длина участков -контура, включающих вихри , невелика и стремится к нулю. Рассмотрим сумму

, (3.39)

где – соответствующие фазы на участках ; – количество вихрей -компоненты вдоль -контура.

Д ифференциал от (3.39) имеет вид

. (3.40)

Проинтегрируем (3.40) вдоль отрезков -контура. Направление интегрирования – против часовой стрелки:

Рис.3.17

. (3.41)

Рассмотрим интеграл вдоль полуокружности радиусом (рис. 3.17; ситуации a,b) в области, включающей вихрь -компоненты. В силу малости справедливо линейное приближение при описании поля в этой области. Тогда, вследствие периодичности изменения , при обходе сингулярной точки по окружности (период см. п. 1.1) этот интеграл равен:

. (3.42)

Прибавим к левой и правой части (3.41) величину:

, (3.43)

где – суммарный топологический заряд -вихрей, расположенных на -контуре. При этом интегрирование по полуокружностям совершалось по типу a-ситуаций. Тогда величина соответствует интегралу от по некоторому замкнутому -контуру, вдоль которого является непрерывной функцией:

. (3.44)

Область, ограниченная таким контуром, содержит все -точки, лежащие в области правой поляризации, и вихри -компоненты, расположенные вдоль -контура. Предполагается, что настолько мало, что -точки, лежащие в области с левой поляризацией, не попадают в зону, ограниченную -контуром.

Из (3.10) следует, что интеграл вдоль -контура от равен суммарному топологическому заряду -точек в области, им ограниченной:

. (3.45)

Кроме того в силу непрерывности вдоль -контура и малости , справедливо соотношение:

. (3.46)

С другой стороны [3; 11],

. (3.47)

Тогда из (3.45)-(3.47) следует соотношение

. (3.48 a)

С оотношение (3.48 a) может быть получено также в предположении, что выражение типа (3.43) вычисляется при использовании процедуры b (см. рис. 3.17). Тогда замкнутый контур интегрирования -контур ограничивает область, которая не содержит -вихрей. Интеграл от по такому контуру равен нулю, и имеет место выражение

, (3.48b)

к

Рис. 3.18

оторое совпадает с (3.48 a).

Можно показать, что поскольку -компонента поля была выбрана произвольно, то и для вихрей -компоненты их суммарный топологический заряд вдвое больше суммарного топологического индекса С-точек:

. (3.49)

Теперь предположим, что рассматриваемый -контур ограничивает область с правой поляризацией A, внутри которой находится область с левой поляризацией B (рис. 3.18). Граница между областями A и B – -контур. Суммарный топологический индекс -точек в области B равняется половине суммарного топологического заряда -вихрей, расположенных на -контуре:

. (3.50)

Можно показать, что при интегрировании по контуру, охватывающему область A, соотношение (3.48 a) преобразуется к виду:

. (3.51)

Из (3.50) и (3.51) следует, что:

. (3.52)

Выражение (3.52) справедливо и в случае, когда областей типа B внутри области A не одна.

Т аким образом, суммарный топологический индекс -точек в области A определяется суммарным топологическим зарядом всех вихрей, лежащих на -контурах, ограничивающих эту область. Добавим, что это утверждение остается справедливым, если внутренние области в свою очередь содержат области с другим типом поляризации.

Э

Рис. 3.19

Схема анализа векторного поля.

1,11 – пластинки , 2,12 – светоделители, 3-5 – коллиматор, 6,7 – зеркала, 8 – микрообъектив, 9 – рассеивающий объект, 10 – объектив, 13 - анализатор, 14 – стокс-поляриметр, 15 – фотоприемник.

кспериментальные исследования [81] в подтверждение проведенного рассмотрения проводились в расположении (подобном к расположению, представленному на рис. 3.9), иллюстрируемом рисунком 3.19. В интерферометр Маха – Цандера, образованный светоделителями 2,12 и зеркалами 7,6, направлялся линейно поляризованный лазерный пучок. Пластинка (1) преобразует линейно поляризованное излучение в циркулярно поляризованное. В объектном канале пучок фокусировался микрообъективом 8 и направлялся на рассеивающий объект – тонкую полимерную пластинку 9. Объект был подобран таким образом, что рассеянное им поле было «интегрально деполяризовано» со степенью деполяризации не более 50%. Степень поляризации как интегральная характеристика всего исследуемого участка поля подсчитывалась на основании анализа усредненных параметров Стокса в соответствии с известным соотношением [28]:

. (3.53)

Как будет показано в п. 3.5 в случае освещения такого объекта циркулярно поляризованным пучком, -контуры невелики по размерам и включают, как правило, области с одним типом поляризации (правая или левая). Иными словами, такие области не содержат вложенных -контуров. Анализ поля в дальней зоне обеспечивается тем, что рассеивающий объект располагается в фокальной плоскости объектива 10.

Тогда практически сразу за объективом анализируемое поле подчиняется условию дальней зоны. Опорный пучок формируется коллиматором 3 – 5. На выходе интерферометра устанавливается анализатор 13, позволяющий выделять любую поляризационную проекцию выходного поля и визуально анализировать результат интерференции поля рассеянного объектом и плоским опорным пучком. Такое оптическое расположение, как было показано выше (см. п. 3.2.3), позволяет провести полный интерференционный анализ поляризационных сингулярностей по интерферограммам поляризационных проекций векторного поля. Для реконструкции -контура и определения положения вихрей ортогональных линейно поляризационных компонент поворотом анализатора 13 выбирались соответствующие проекции векторного поля. Угловой шаг поворота анализатора составлял 20. Для определения положения С-точек в схему непосредственно за объективом 10 вводилась пластинка (11) с известной ориентацией ее оси относительно оси анализатора для получения поляризационных проекций, соответствующих лево- и правоциркулярно поляризованным компонентам поля. Положение вихрей таких ортогонально поляризованных компонент совпадает с позицией -точек. Координаты вихрей ортогональных компонент (линейно- или циркулярно поляризованных) определяются исходя из позицией интерференционных вилочек, наблюдаемых в интерферограммах, соответствующих поляризационных проекций. С другой стороны светоделителя 12 на выходе интерферометра расположен стокс-поляриметр 13, 14 и фотоприемник 15, позволяющие (при закрытом опорном пучке) осуществить измерения усредненных поляризационных характеристик поля, в том числе и степени поляризации, как интегральной характеристики анализируемого поля.

На рис. 3.20 представлены результаты экспериментальных исследований поля, рассеянного объектом. В левой колонке приведены некоторые из интерферограмм линейно поляризованных проекций поля объекта. Ориентация главной оси анализатора 13 соответствует углам 80, 100, 160. Рисунки в правой колонке иллюстрируют положение восстановленных -контуров и -точек.

На -контурах обозначены соответствующие данной поляризационной проекции вихри. Их топологические заряды обозначены кружками со знаками (+) или (–). Топологическим зарядам вихрей +1 соответствуют интерференционные вилочки, направленные вниз; отрицательным вихрям – вилочки, направленные вверх. -точки на рисунке обозначены серыми квадратами и ромбами с соответствующим знаком внутри. Из рисунков видно, что -контуру с одним вихрем (топологический заряд вихря +1) (самый верхний -контур) принадлежит одна -точка с топологическим индексом +1/2. Внутри нижнего (самого большого) -контура с двумя вихрями разного знака (нулевой суммарный топологический заряд) находятся две -точки с индексами +1/2 и –1/2. Таким образом, суммарный топологический индекс -точек, расположенных внутри контура, равен нулю. Внутри левого -контура -точки отсутствуют. Соответственно сумма топологических зарядов вихрей линейно поляризованной компоненты равна нулю.

Интересно отметить, что некоторые поляризационные проекции не содержат вихрей, расположенных на -контуре, если такой контур окружает область, в которой суммарный топологический индекс -точек равен нулю. Такой ситуации соответствует поляризационная проекция, представленная на рисунке (а). Для левого контура вместо двух вихрей наблюдается точка их аннигиляции (рождения).

Рис. 3.20

Характеристики С-точек и вихри линейно поляризованных компонент.

Степень интегральной деполяризации рассеянного поля 46%

Левая колонка – поляризационные проекции, соответствующие ориентации главной оси анализатора 80, 100, 160 (рисунки a, b, c соответственно). Правая колонка – положение s-контуров, C-точек и вихрей линейно поляризованных проекций векторного поля. – вихри линейно поляризованных ортогональных компонент, – точка их аннигиляции (рождения), – левополяризованные C-точки, – правополяризованные C-точки. Знаки соответствуют позитивным, негативным топологическим зарядам вихрей и топологическим индексам C-точек.

3.6. Элементарные поляризационные структуры и элементарные поляризационные сингулярности векторных полей

Естественно, что для векторного поля общего вида анализ топологических особенностей и поиски взаимосвязи между поведением поляризационных параметров поля и характеристиками его топологической структуры является непростой задачей. Поэтому, на наш взгляд, было бы полезно предварительно рассмотреть некоторые элементарные поляризационные структуры, связанные с -контурами и -точками, а затем на основе полученных фактов перейти к анализу полей более общего вида.

Элементарные поляризационные ситуации, возникающие в векторном поле были, всесторонне рассмотрены [77] в областях, которые непосредственно прилегают к поляризационным сингулярностям. Однако этот анализ носил локальный характер и включал только один тип поляризационных сингулярностей. В то же время, как следует из п. 3.1, все типы векторных сингулярностей жестко взаимосвязаны.

Именно поэтому целесообразно рассмотреть поля с относительно простой поляризационной структурой, которые содержат оба типа поляризационных сингулярностей: -контур и -точку.

Очевидно, что такие элементарные векторные поля могут образовываться в результате суперпозиции соответствующих однородно поляризованных простых полей, структуру которых можно предположить из разложения векторного поля с требуемыми характеристиками поляризационных сингулярностей на ортогональные компоненты.

Исходя из этого, элементарные поляризационные сингулярности можно синтезировать двумя путями:

• в результате интерференции двух ортогональных линейно поляризованных вихревых пучков [82; 83];

• как следствие суперпозиции двух ортогонально поляризованных циркулярно поляризованных относительно простых пучков [107].

3.6.1. поляризационные структуры, полученные в результате интерференции линейно поляризованных пучков

Естественно, что наиболее «простые» векторные поля содержат -контуры с минимальным количеством вихрей (два) разности фаз. Иными словами, любая поляризационная проекция векторного поля должна содержать один вихрь. Чтобы область, ограниченная -контуром, имела отличный от нуля суммарный топологический индекс ( ) эти вихри должны принадлежать к разным ортогональным компонентам [82], т.е. суммарное поле можно рассматривать как суперпозицию двух ортогонально поляризованных вихревых пучков.

Допустим для простоты, что оба вихревых пучка – изотропные вихри (см. [12] и п. 1.1). В полярной системе координат с началом в центре вихря комплексная амплитуда такого пучка описывается соотношением

, (3.54)

где – топологический заряд; – начальная фаза вихревого пучка; – модуль амплитуды, в центре вихря равный нулю.

Пусть вихревые пучки распространяются параллельно друг другу и центры вихрей находятся на расстоянии . Введем Декартову систему координат ( ) таким образом, чтобы ее начало было на одинаковом расстоянии от центров обоих вихрей, ось проходила через центры обоих вихрей, а направление оси совпадало бы с направлением распространения пучков.

Легко показать, что контур, отвечающий произвольной разности фаз , определенный с точностью до , описывается соотношением:

, (3.55)

где ; – разность начальных фаз вихревых пучков; – их топологические заряды.

Если и одного знака, то (3.55) трансформируется к виду:

. (3.56)

Если и разных знаков, то (3.55) переходит в соотношение:

. (3.57)

Уравнение (3.57) определяет контуры гиперболического типа, т.е. незамкнутые. Поэтому более подробно проанализируем только соотношение (3.56). Соотношение (3.56) – уравнение окружности, радиус и положение центра которой определяются расстоянием между вихрями и соотношением разности фаз . Заметим, что в случае формирования суммарного поля анизотропными вихрями, (3.56) трансформируется в уравнение эллипса. Аналогичными соотношениями описываются контуры суммарного поля, возникающего в результате суперпозиции вихрей с любой структурой, если расстояние между ними меньше, чем размеры зоны ядра вихря.

Обратимся вновь к соотношению (3.56). Пусть поперечные размеры вихревых пучков значительно превышают расстояние между их центрами и , где . Тогда можно утверждать, что для любой точки поля, за исключением области поля, непосредственно прилегающей к центрам вихрей, где и достигают нулевого значения, выполняется соотношение:

. (3.58)

Связь между отношением модулей амплитуд компонент, разностью фаз и размерами полуосей эллипсов определяется выражением [28]:

, (3.59)

г де ; – малая и большая полуоси поляризационного эллипса соответственно; .

И

a b c

Рис. 3.21

Характеристики контуров разности фаз и локализация -точек в зависимости от разности фаз между вихревыми пучками

з (3.59) следует, что отличие поляризационных характеристик, определяемое разностью эксцентриситетов эллипсов в разных точках поля, практически определяется отличием в разности фаз, соответствующих точкам поля и . Будем считать, что поляризационные характеристики поля в этих точках отличаются мало, если , что отвечает изменению на величину порядка 0,2. Из (3.56) следует, что область, в которой наблюдаются существенные различия поляризационных характеристик поля, прилегает непосредственно к центрам вихрей и ограничена контурами разности фаз, для которых . Уравнение таких контуров описывается выражением

(3.60)

независимо от разности фаз в вихревых пучках, т.е. определяется только расстоянием между центрами вихрей. Причем контур разности фаз, отвечающий с точностью до , – прямая, проходящая через центры обоих вихрей (рис. 3.21).

При -контур – окружность с диаметром, равным расстоянию между вихрями (рис. 3.21 a). Обе -точки находятся на одинаковом расстоянии от вихрей. При (рис. 3.21с) одна из -точек стремится занять положение на прямой, соединяющей вихри, а вторая расположена на бесконечности. Рис. 3.21 b отвечает .

На рис. 3.22 – 3.25 приведены результаты компьютерного моделирования элементарных поляризационных сингулярностей, возникших вследствие интерференции ортогонально поляризованных вихревых пучков. При этом менялась не только разность фаз между вихревыми пучками, а и параметры самих вихрей, такие как знак топологического заряда, кривизна эквифазных линий в непосредственной близости от центра вихря. Рисунки

Рис. 3.22.

Интерференция изотропных вихрей одного знака с разностью фаз между вихревыми пучками . a,b – фазовые карты вихрей, с – поведение разности фаз результирующего пучка

a b c

Рис. 3.23

Интерференция изотропных вихрей одного знака и небольшой разницей в величине кривизны эквифазных линий в зоне ядра вихрей.

a b c

Рис. 3.24

Интерференция изотропных вихрей одного знака со значительной разницей в величине кривизны эквифазных линий в зоне ядра вихрей.

a b c

Рис. 3.25

Интерференция изотропных вихрей разных знаков

a, b – фазовые карты интерферирующих вихрей. Рисунки с – разность фаз результирующего поля, приведенная с точностью до (разности фаз, отличающиеся на , обозначены одинаковыми оттенками серого). Положение - и -контуров указано стрелками.

Рис. 3.22 соответствует интерференции изотропных вихрей с общей разностью фаз между вихревыми пучками . Как следует из проведенного рассмотрения, все контуры разности фаз – окружности. Рисунок 3.23 иллюстрирует тот факт, что пока расстояние между центрами вихревых пучков такое, что эквифазные линии в зоне ядра не слишком изогнуты, контур разности фаз, соответствующий с точностью до модуля общей разности фаз между вихревыми пучками (в данном случае ), замкнутый, а его размеры сравнимы с расстоянием между центрами вихрей. Естественно, что форма контура при этом искажается. При дальнейшем увеличении кривизны эквифазных линий поля фазы интерферирующих вихрей (или увеличения расстояния между ними) такие контуры разрываются и трансформируются в контуры сложной формы, например, в контуры в виде спиралей (см. рис. 3.24). Для сравнения на рис. 3.25 представлены результаты моделирования интерференции вихрей, знаки топологических зарядов которых различны. Как видно из рисунка, даже для изотропных вихрей все контуры разности фаз незамкнуты.

Дополнительно остановимся на рисунке 3.23. Как видно внутренний -контур, проходящий через центры вихревых пучков, окружен группой дополнительных -контуров. Иными словами образовалась структура вложенных -контуров типа «матрешки». Причем в базисе разложения, отвечающем рисунку на внешних контурах вихрей разности фаз нет. Из этого факта следует вывод, что изменение азимута линейной поляризации при обходе любого внешнего контура не достигает . Как следствие – суммарный топологический заряд -точек в середине каждого внешнего -контура равняется нулю.

3.6.2. Элементарные поляризационные сингулярности, полученные в результате интерференции циркулярно поляризованных пучков

Напомним, что -точку векторного поля можно ассоциировать с вихрем одной из циркулярно поляризованных ортогональных компонент векторного поля. Очевидно, что элементарные поляризационные структуры будут образовываться при условии, что в точке циркулярной поляризации одна из компонент нулевая. Как следствие – поляризационная ячейка, содержащая -сингулярность, может быть синтезирована в результате суперпозиции циркулярно поляризованных вихревого и гладкого пучков.

Комплексные амплитуды линейно поляризованных компонент в терминах право- и левоциркулярно поляризованных составляющих описываются системой

.(3.61)

В терминах главной фазы и азимута поляризации (3.61) приобретают вид

. (3.62)

Представим себе, что в процессе суперпозиции пучков возникает дополнительная разность фаз между интерферирующими пучками . Естественно, что локализация и характеристики -точки (топологический заряд, индекс) при таком изменении условий суперпозиции не изменится. Этот факт следует из анализа (3.61) и (3.62). Вместе с тем, из этих же соотношений вытекает, что азимут поляризации и главная фаза изменяются на величину, соответствующую во всех точках поля.

Для точек поля вдоль -контура, для которых соотношения (3.61) и (3.62)трансформируются

, (3.63)

и

. (3.64)

Из этих соотношений следует, что при изменении общей разности фаз между пучками локализация -контуров не изменится, а вектор поля в каждой точке контура повернется на угол . Направление изменения азимута (+ или – ) зависит от знака дополнительной разности фаз и от того, в какой пучок (право- или левополяризованный) она вносится. Из этих же соотношений следует, что при изменении разности фаз на изменение азимута равно , т.е. ориентация векторов поля вдоль -контура такая же, как и при .

Таким образом, разница между способами формирования элементарных поляризационных структур заключается в следующем. Если изменяется разность фаз между интерферирующими линейно поляризованными вихревыми пучками, изменяется форма -контуров и локализация -точек. В то же время при формировании элементарных поляризационных структур с помощью суперпозиции циркулярно поляризованных пучков изменение фаз между ними приводит к вращению вектора линейной поляризации вдоль -контура и соответствующему вращению поляризационных эллипсов внутри области, ограниченной этим контуром. Позиции и характеристики -точек при этом остаются неизменными.

3.6.3. Экспериментальное моделирование элементарных поляризационных сингулярностей

Ф

Рис. 3.26

Схема экспериментального моделирования элементарных поляризационных областей.

1 – пластинка , 2,7,17 – светоделители, 3 – компьютерно-синтезированная «вихревая» голограмма, 4,5,6 и 14,15,16 – расширители светового пучка, 8,12 – поляризаторы, 9 – зеркало на пьезокерамике, 11,13 – зеркала, 18 – анализатор.

изическое моделирование элементарных поляризационных областей, которые образуются в результате интерференции линейно поляризованных пучков было проведено в экспериментальном расположении, приведенном на рисунке 3.26 [82; 83]. Линейно поляризованный лазерный пучок направляется в «двойной» интерферометр типа Маха – Цандера. Перед светоделитем 2 устанавливается фазовращающая пластинка , преобразующая линейную поляризацию в циркулярную. В одном из каналов интерферометра устанавливается синтезированная голограмма 3, полученная по методике, описанной в [37 – 39]. В результате дифракции на такой голограмме Гауссовый пучок преобразуется в вихревой c единичным топологическим зарядом. После расширения и фильтрации пучка коллиматором 4, 5, 6 образуется циркулярно поляризованный вихрь, близкий к изотропному. Далее вихревой пучок направляется во внутренний интерферометр. В плечах интерферометра размещаются скрещенные поляризаторы 8, 12, т.е формируются ортогонально поляризованные вихревые пучки. Одно из зеркал интерферометра 9 устанавливается на пьезокерамику, которая дает возможность варьировать разность фаз между пучками в пределах . С помощью светоделителя 10 зеркал 9, 11 изменяется расстояние между центрами вихревых пучков и задается одинаковое направление распространения пучков. С помощью делителя 17 результирующее поле смешивается с опорным пучком и в плоскости наблюдается интерференционная картина. Для визуализации движения вихрей вдоль -контура после делителя 17 устанавливается анализатор 18. Для фиксации положения интерференционной вилочки в плоскости наблюдения формируется репер в виде дифракционной картины от прямоугольного отверстия.

Р езультаты эксперимента иллюстрируется рисунком 3.27, на котором приведены интерферограммы линейно поляризованных проекций суммарного поля.

Ш

Рис. 3.27

Результаты экспериментального моделирования элементарных поляризационных областей, ограниченных замкнутыми -контурами.

(a) – (d), (e) – (h) соответствуют различным разностям фаз между вихревыми пучками. (a) – (d) иллюстрирует движение вихря поляризационной проекции вдоль -контура при некоторой неизвестной разности фаз . (e) – (h) соответствует разности фаз близкой к . (i), (j) – -контура восстановленные на основе экспериментальных данных.

аг азимута анализатора . Рисунки a – d и рисунки e – h соответствуют различным разностям фаз между вихревыми пучками. Рисунки e – h иллюстрируют поведение вихря поляризационной проекции при разнице фаз между пучками, близкой к . Как видно из рисунков, только один вихрь движется вдоль замкнутого -контура при изменении ориентации анализатора. Размеры и форма контура меняются при изменении разности фаз между пучками. Траектории следования вихря, его положение при каждом азимуте анализатора приведены на рисунках i, j. Отклонение формы -контура от окружности вызвано наличием остаточных аберраций и соответственно более сложной формой эквифазных линий поля фазы вихревых пучков. Эти же -контуры приведены на рисунках a и d.

Элементарные поляризационные структуры, возникающие при суперпозиции циркулярно поляризованных пучков, могут быть получены практически в той же схеме (рис. 3.25). Различие между схемами заключается в том, что пластинка 1 переставляется в опорную ветвь внешнего интерферометра, например, непосредственно за зеркалом 13. П оляризаторы 8 и 12 убираются из схемы, а на их место устанавливаются две четвертьволновые пластинки, оси которых ориентированы так, что после них формируются право- и левоциркулярно поляризованные пучки. Синтезированная голограмма 3 устанавливается не после делителя 2, а располагается в одном из плеч интерферометра, например, после зеркала 11. Таким образом, в нижнем плече интерферометра формируется циркулярно поляризованный вихревой пучок, а в другом плече ортогонально поляризованный гладкий пучок.

Р

Рис.3.28

Результаты моделирования элементарных поляризационных структур с помощью суперпозиции циркулярно поляризованных пучков

езультаты моделирования приведены на рисунке 3.28. Рисунки a – d иллюстрируют сдвиг вихря поляризационной проекции суммарного поля вдоль -контура при вращении анализатора 18. Рисунок (е) интерференционная вилочка, указывающая на положение -точки, полученная при перекрытии канала внутреннего интерферометра, в котором формировался гладкий пучок. На рисунке (f) представлена -точка и -контур, восстановленный на основе экспериментальных данных. Как видно из рисунка, форма -контура отличается от окружности и локализация -точки не совпадает с его центром. Этот факт можно объяснить остаточными аберрациями пучков и отклонением распределения интенсивности входного пучка от Гауссового.

3.7. Тонкая структура неоднородного векторного поля и его усредненные поляризационные характеристики

Поляризационные параметры, характеризующие световое поле, такие как матрица когерентности, параметры Стокса и т.д. [28; 80], исторически вводились для описания поляризационных характеристик некогерентного квазимонохроматического и т.д. пучков. В результате для получения данных параметров, в любом случае, проводится интегрирование измеряемых величин (их усреднение) по сечению пучка (пространственным координатам) и времени. Возникает вопрос. Можно ли вводить подобные локальные характеристики для произвольной точки в пространстве или во времени? Ответ на такой вопрос положительный, по крайней мере, для когерентных неоднородных полей [86 – 89; 98]. Естественно, что при взаимодействии света с веществом объекта когерентные характеристики пучка ухудшаются. Однако существует класс рассеивателей, которые изменяют когерентные характеристики незначительно, и уменьшение длины когерентности настолько мало, по сравнению с длиной когерентности современного лазера, что ею можно пренебречь. К таким объектам, например, относятся рассеиватели, реализующие однократное рассеяние (тонкие пленки и т. д.) [91], небольшие отрезки многомодовых оптических волокон [92] и пр. Другими словами, несмотря на то, что поле после взаимодействия с объектом формируется как спекл-поле, оно полностью поляризовано благодаря сохранению когерентности. В таком поле, в каждом спекле, поляризация меняется от точки к точке, проходя все состояния поляризаций, начиная от правоциркулярной до левоциркулярной поляризации. В то же время, характеристики векторного поля, к примеру, матрица когерентности и параметры Стокса, измеренные для всего пучка, будут аналогичны случаю, когда объект имеет деполяризующее действие.

Таким образом, можно сделать вывод о некой аналогии между поведением традиционных поляризационных параметров, измеряемых для пучков частично когерентного и даже некогерентного света, и аналогичных усредненных параметров, которыми можно описывать состояние поляризации целой области когерентного пучка. Этот вывод напрашивается хотя бы из того факта, что в большинстве физически реализуемых ситуаций возможна замена усреднения по времени на усреднение по пространственным координатам [59]. В силу линейности операций такого усреднения усредненные параметры Стокса, элементы матрицы когерентности есть простые интегралы по площади анализа от соответствующих локальных параметров.

Возникает вопрос. Как такие усредненные параметры взаимосвязаны со специфическими структурами векторного поля, такими как поляризационные сингулярности, области поля с седловыми точками поляризационных параметров, которые формируют скелетон поля (см. п. 3.1) и определяют поведение поля в каждой точке?

3.7.1. Усредненные параметры Стокса

Предположим, что лазерный пучок с достаточно большой длиной когерентности освещает рассеивающий объект, в общем случае со случайно распределенными оптическими характеристиками, центрами рассеяния, поверхностным рельефом и т.д. При этом объект относится к такому классу рассеивателей, которые практически не разрушают когерентные характеристики рассеянного поля, и в дальней зоне формируется когерентное случайное спекл-поле. Средние размеры спекла, в дальней зоне, как известно, определяются поперечными размерами светового пятна, сформированного непосредственно за объектом, расстоянием до точки наблюдения и длиной волны излучения [1; 2]. Поэтому измеряемые традиционными методами поляризационные характеристики поля так или иначе формируются на основе усредненных по площадке фотоприемника данных. При этом количество спеклов, помещающихся на площадке приемника, должно быть достаточно велико, чтоб усредненная величина мало отличалась от математического ожидания [93]. В противном случае измеряемая величина будет в той или иной мере случайной. Иными словами, для устойчивых измерений площадь приемника должна быть такой, чтоб она покрывала (в зависимости от требуемой точности измерения) 20 - 100 спеклов. Заметим, что в дальней зоне значения длин корреляций (длин корреляции вдоль осей , лабораторной системы координат) для различных параметров поля (его интенсивности, фаз ортогональных компонент и т.д.) практически одинаковы. Поэтому под длиной корреляции поля будем понимать некие универсальные величины, не уточняя, к какой характеристике поля они относятся.

Таким образом, будем считать, что при измерении усредненных поляризационных характеристик векторного поля выполняется условие

, (3.65)

где – площадь фотоприемника, , .

Заметим, что в случае симметричного светового пятна после объекта, для достаточно широкого интервала углов рассеяния длинны корреляций и практически равны. Более того, можно показать, что эти величины тождественно равны при ориентации лабораторной системы координат так, что выполняется условие:

, (3.66)

где, , – интенсивности ортогональных компонент, усредненные по площадке фотоприемника.

Естественно, что усредненные по площадке фотоприемника характеристики поля являются некоторой функцией угла освещения объекта и угла рассеяния, т.е. локальные характеристики поля, например интенсивность, распределены в области анализа неоднородно. Вместе с тем, в малом телесном угле ограниченным размером площадки фотоприемника можно с высокой точностью считать, что характеристики поля статистически однородны. При этом в большинстве случаев [2] статистика этих величин Гауссова. Различные отклонения от Гауссовой статистики подробно проанализированы в [74 – 76] и нами рассматриваться не будут.

В дальнейшем наше исследование будем проводить для некоторого фиксированного направления рассеяния. Поскольку именно условие (3.66) будет выполняться, то мы будем использовать лишь одну величину .

Сориентируем ось в выбранном направлении. Тогда можно констатировать, что справедливыми являются следующие утверждения:

1. Выполняется параксиальное приближение, если поперечные размеры светового пятна, непосредственно за рассеивающим объектом, и размеры площадки фотоприемника (площади анализа) намного меньше расстояния между объектом и областью наблюдения.

2. Поляризационную ситуацию поля в плоскости фотоприемника перпендикулярного к оси , можно описывать традиционными параметрами Стокса (как локальными , так и усредненными , (i=0, 1, 2, 3)).

Известно [28; 80], что параметр Стокса можно получить, проводя измерения соответствующих интенсивностных параметров:

. (3.67)

где, например, – средние интенсивности - и -компонент поля и т.д.

Очевидно, что в случае измерения усредненных параметров – величина усредненная по площадке фотоприемника :

, (3.68)

где – локальный интенсивностный параметр в произвольной точке области анализа. В дальнейшем, для простоты, множитель будем упускать, так как он является постоянным и может быть всегда учтен соответствующей нормировкой.

3.7.2. Анализ усредненных параметров при разложении поля на линейно поляризованные компоненты

Известно [28; 80], что параметры Стокса (в том числе и локальные ) могут быть выражены через компоненты матрицы когерентности:

. (3.69)

Заметим что (эрмитова матрица). Исходя из (3.68, 3.69) выражается через усредненные компоненты матрицы когерентности:

, (3.70)

k,l=1, 2 – соответствуют x,y. Напомним [28], что:

, (3.71)

– усреднение по времени.

При использовании когерентного, абсолютно поляризованного света усреднение по времени «снимается» и , где – комплексная амплитуда ортогональных компонент. имеет вид

,

где – модули амплитуд и разность фаз ортогональных компонент.

Заметим, что выражение для совпадает с выражением для характеристической функции, введенной в п.3.2.2 (выражение (3.14)).

Поэтому вихри разности фаз можно трактовать как вихри недиагональных элементов матрицы когерентности. Нули совпадают с нулями компонент, которые, как было показано, однозначно связаны с поляризационными сингулярностями ( -контурами и -точками).

Усредненную компоненту матрицы когерентности

(3.72)

можно интерпретировать как максимум корреляционной функции комплексных амплитуд ортогональных компонент [28]. Заметим, что быстро осциллирующая функция. При этом наибольшая скорость изменения наблюдается в районе нулей (в областях вихрей компонент), где фаза компоненты изменятся от до в очень небольшой окрестности, включающей центр вихря. Там же, – наименьшее (либо , либо ). Как следствие, в результате интегрирования в соответствии с (3.72) вклад от таких областей в значение минимальный. Основной вклад в величину осуществляют области стационарных точек , где производная от разности фаз меняется медленно. Поскольку в дальней зоне количество экстремумов разности фаз в 15 – 20 раз меньше (см. п.3.2.2), чем количество седловых точек этой величины, в дальнейшем, под стационарными точками разности фаз будем понимать именно ее седловые точки.

Соотношение (3.72) может быть аппроксимировано с помощью метода стационарной фазы [28; 94].

В области усреднения может быть представлено как

, (3.73)

где

, (3.74)

– область, которая содержит одну стационарную точку разности фаз.

Для аппроксимации выражения (3.74) воспользуемся следующими рассуждениями, положенными в основу так называемого метода стационарных фаз [28].

Как известно, метод стационарных фаз дает возможность получить приближенное значение следующего интеграла:

. (3.75)

Обратимся к промежуточному выражению, на основе которого получена конечная формула метода стационарных фаз [28]:

, (3.76)

где , значения вторых производных от в стационарной точке .

Заметим, что в ситуации, рассматриваемой в этом параграфе

. (3.77)

Соответственно, все вторые производные тоже разности производных, ассоциируемых с ортогональными компонентами:

и т.д. (3.78)

Теперь акцентируем внимание на следующих фактах:

i Ортогональные компоненты «сильно коррелированны» (во всяком случае, до уровней интегральной деполяризации порядка 50%. Этот факт, в частности, подтверждается данными компьютерного моделирования, приведенными ниже.

В таких условиях разности типа (3.78) минимизируются (характер изменения фазы компонент практически один и тот же).

ii В дальнем поле стационарные точки фазы расположены в центре спекла ортогональной компоненты. Как известно, именно там фаза практически постоянна (см. например, [1; 18]). Соответственно в области спекла, ограниченной вихрями компоненты изменяется в границах [13; 25].

Исходя из этого, стационарные точки разности фаз, «спекла» разности фаз, ограниченном вихрями обоих компонент, также должны лежать в областях, где разность фаз меняется плавно в пределах того же порядка.

Тогда можно утверждать, что в силу соображений пунктов i и ii показатель экспоненты в подынтегральном выражении (3.76) невелик и экспонента практически равна единице. Соответственно, интеграл в (3.76) есть не что иное, как площадь анализа и с точностью до множителя соотношение (3.74) трансформируется к виду:

, (3.79)

которое справедливо хотя бы для уровней деполяризации векторного поля до величины порядка 50%.

в (3.79) находятся из условий:

, (3.80)

т.е. – значения величин в точках седел разности фаз. В итоге может быть аппроксимировано выражением:

. (3.81)

В соответствии с нашими предположениями, можно считать, что в площади анализа – Гауссово распределенные случайные величины.

В общем случае среднее значение величины ( – эффективная разность фаз между ортогональными компонентами) не равно нулю, т.е. – нецентрированная случайная величина. Представим как . Соответственно случайная величина распределена симметрично относительно =0. Плотность распределения – Гауссова:

, (3.82)

где – дисперсия фазы в седловых точках разности фаз.

Соответственно характеристическая функция имеет вид

. (3.83)

Сумма (3.81) может быть оценена как сумма случайных фазоров [2].

В соответствии с условием (3.66) (условия равенства средних интенсивностей ортогональных компонент), выберем ориентацию базиса разложения векторного поля.

Тогда

, (3.84)

где – усредненные по площади анализа интенсивности ортогональных компонент.

Из [2] известно, что для симметричных функций распределения :

, (3.85)

где – реальная и мнимая части суммы:

. (3.86)

Из (3.84 – 3.86) имеем

. (3.87)

Тогда

. (3.88)

В этом случае параметры Стокса будут иметь вид

, (3.89)

где – эффективная разница фаз ортогональных компонент.

Параметры Стокса, нормированные к единице, представляются в виде:

. (3.90)

Естественно, что, как и в случае частично когерентного излучения, справедливо неравенство:

. (3.91)

Наблюдается «интегральная деполяризация» и величина степени поляризации, рассчитанная в соответствии с соотношением:

, (3.92)

меньше единицы.

В нашем случае (3.92) трансформируется к выражению

. (3.93)

Равенство в (3.91) выполняется при =0 для однородно поляризованного поля. Как видим из (3.90), усредненные параметры Стокса определяются дисперсией разности фаз в седловых точках разности фаз.

Отметим, что связана с величиной среднего расстояния между ближайшими вихрями одного знака , относящимся к разным компонентам. При полностью скоррелированных ортогональных компонентах (однородно поляризованное поле) и =0 координаты нулей компонент полностью совпадают. При увеличении , сетки компонентных вихрей не совпадают, и расстояние между такими вихрями начинает увеличиваться. Предельный случай = – это полностью интегрально деполяризованное поле. Исходя из этих соображений, можно предположить, что является некоторой функцией : .

Эта зависимость может быть получена, например, из данных компьютерного моделирования.

3.7.3. Компьютерное моделирование параметров векторного поля

Как было указано в предыдущем параграфе, рассмотрение проводится в дальней зоне и выполняется параксиальное приближение, поскольку анализ осуществляется для малого телесного угла и на значительном удалении от рассеивающего объекта. При наших условиях рассмотрения, длина корреляции поля не зависит от структуры рассеивающего объекта и определяется такими геометрическими параметрами, как «видимые» (в направлении данного угла рассеяния) поперечные размеры светового пятна, непосредственно за рассеивающим объектом, расстояние от рассеивающего объекта до области наблюдения и длина волны излучения.

Поскольку наше рассмотрение проводится в общем виде, то алгоритм компьютерного моделирования должен обеспечивать формирование векторных полей с требуемым набором усредненных параметров Стокса. Заметим, однако, что при выполнении условия (3.66) второй усредненный параметр Стокса всегда равен нулю. А при использовании нормированных параметров первый параметр Стокса всегда равен единице. Потому требования к алгоритму моделирования сводятся к требованию формирования векторных полей с требуемыми величинами третьего и четвертого параметров Стокса.

Отметим также, что в дальней зоне для фиксированного угла рассеяния и статистической однородности поля в площади анализа теряется непосредственная связь между характеристиками рассеянного поля и объектом рассеяния [91]. Иными словами, по данным (например параметрам Стокса), полученным для одного фиксированного угла рассеивания невозможно идентифицировать рассеивающий объект. «Одинаковые» поля соответствуют разным объектам. Поэтому в нашем случае в качестве рассеивающего объекта может быть использован любой объект, формирующий векторное поле с требуемыми параметрами Стокса. Это же утверждение касается и структуры линейно поляризованных ортогональных компонент. Иными словами, поле каждой компоненты должно представлять собой случайное скалярное поле общего вида. При этом должно выполняться условие (3.66) и алгоритм моделирования должен обеспечивать получение произвольного значения коэффициента корреляции между компонентами, что равносильно заданию требуемых величин третьего и четвертого параметров Стокса.

Известно, что при выполнении параксиального приближения поле в дальней зоне , является Фурье-преобразованием поля сформированного непосредственно за рассеивающим объектом [95]. По этому, учитывая, что структура поля в дальней зоне не связана со структурой объекта (за исключением требования случайности для поля ), поле для ортогональных компонент удобно формировать совокупностью хаотически расположенных точечных источников с единичной амплитудой и случайной фазой.

, (3.94)

г де – количество точечных источников; , – фаза и координаты -го точечного источника. Различие в формировании «входной» выборки точечных источников ортогональных компонент заключается лишь в том, что в выборках, соответствующих разным компонентам, некоторое количество точечных источников полностью отличается как по фазе, так и по локализации.

В

Рис. 3.29

этом случае (в дальней зоне) будут сформированы компоненты с равной интенсивностью, а коэффициент корреляции компонент определяется простым отношением:

. (3.95)

Уровень «интегральной деполяризации» был выбран как поляризационный параметр, характеризирующий усредненные поляризационные характеристики векторного поля. Заметим, что поле остается полностью поляризованным в каждой точке. Известно, что при выполнении условия (3.66) интегральная деполяризация непосредственно связана с коэффициентом корреляции ортогональных компонент [28]:

. (3.96)

Поэтому в нашем случае характеризует уровень поляризации при выполнении условия (3.66). Для разных уровней интегральной деполяризации были получены отношения расстояния между ближайшими компонентными вихрями и длинны корреляции – , карты разницы фаз и усредненные параметры Стокса.

На рис. 3.29 представлена зависимость дисперсии разности фаз от среднего расстояния между ближайшими компонентными вихрями .

Для наглядности разность фаз представлена с точностью до . Разности фаз, отличающиеся на , обозначены одинаковым цветом. Границы между белыми и черными цветами – -контуры; точки, в которых сходятся линии всех цветов соответствуют вихрям разности фаз; точки в центре -образных областей – седловые точки разности фаз.

a b

Рис. 3.30

Карты разности фаз между ортогональными компонентами оптического поля для 40% деполяризации для эффективных разностей фаз =0 (a) и (b).

На рис. 3.30 приведены карты разности фаз для случаев эффективной разности фаз равной 0 и . Заметим, что характер поведения разности фаз не зависит от , поскольку разности фаз в обоих случаях в любой точке отличаются на постоянную величину. Следствием этого является изменение формы, размера и положения -контуров, в то время как седловые точки, вихри разности фаз своих позиций не меняют.

Очевидно, что -контуры имеют наименьший размер (во всяком случае, для небольших уровней интегральной деполяризации), когда эффективная разность фаз равна . Действительно, при небольших уровнях интегральной деполяризации область поля, непосредственно прилегающую к компонентным нулям, можно представить как суперпозицию практически одинаковых вихревых пучков. Как было показано в п. 3.5.1, минимальный размер -контуров (сравнимый с расстоянием между центрами вихрей) наблюдается именно при разности фаз = . Добавим, что полученный в этом пункте вывод о величине области, в которой поляризационные характеристики поля меняются значительно, также остается справедливым. Размеры таких областей в векторном поле с достаточно малой интегральной деполяризацией сравнимы с утроенным расстоянием между центрами вихрей.

а b

c d

Рис. 3.31

Распределение интенсивности неоднородно поляризованного поля.

Распределение интенсивности для 5%(а), 10%(b), 30%(b), 50%(d) деполяризации поля (коэффициент корреляции ортогональных компонент 0.95, 0.9, 0.7, 0.5 соответственно).

Данные компьютерного моделирования подтверждают эти соображения. Как можно увидеть из рисунка 3.30 а, -контуры имеют маленький размер и практически все смыкаются в площади рисунка, когда равна .

Результаты компьютерного моделирования интенсивности и разности фаз ортогональных компонент векторного поля для разных коэффициентов корреляции представлены на рис. 3.31, 3.32. Преимущественной была выбрана циркулярная поляризация. В этом случае, области со значительными поляризационными изменениями будут «совпадать» с областями, ограниченными -контурами.

а b

c d

Рис. 3.32

Карты разности фаз между ортогональными компонентами.

Разность фаз между ортогональными компонентами для 5% (а), 10% (b), 30% (c), 50% (d) деполяризации поля (коэффициент корреляции ортогональных компонент 0.95, 0.9, 0.7, 0.5 соответственно).

– вихри -компоненты, – вихри -компоненты.

Распределение интенсивности полей слабо отличается для разных степеней деполяризации (см. рис. 3.31). Размер -контуров и среднее расстояние между ближайшими соседними компонентными вихрями одного знака возрастают при увеличении уровня деполяризации (рис. 3.32). -контуры маленькие (относительно среднего размера спекла) замкнутые области с одним типом поляризации (правоциркулярной или левоциркулярной) при коэффициенте корреляции больше чем 0.5. Эти зоны расположены очень близко к компонентным вихрям. Размеры -контуров увеличиваются и положение областей со значительными поляризационными изменениями стают случайными для значений коэффициента корреляции меньше чем 0.5.

3.7.4. Анализ усредненных параметров при Циркулярном базисе разложения поля

Как известно, структура -, -компонент поля зависит от ориентации базиса разложения. В частности, в нашем рассмотрении, обязательным условием является такая ориентация базиса разложения, при которой интенсивности ортогональных компонент равны. С другой стороны, известно, что структура ортогональных компонент поля не зависит от ориентации базиса, если поле представлять как суперпозицию циркулярно поляризованных компонент. В этом случае разность фаз компонент напрямую связана с азимутом поляризации (3.3), а седловые точки разности фаз являются седловыми точками азимута. Поэтому проанализируем поле, как и в предыдущих параграфах, для такого базиса разложения.

Матрица когерентности, полученная при разложении поля на циркулярно поляризованные составляющие, имеет вид:

, (3.97)

где и т.д. ( – модули амплитуд циркулярно поляризованных компонент являются случайными, пространственно распределенными величинами). В данном случае локализация вихрей разности фаз совпадает с позициями -точек (см. п. 3.1).

Параметры Стокса, выраженные через элементы такой матрицы, запишутся в следующем виде:

. (3.98)

Осуществляя операции, аналогичные случаю линейного базиса, получаем следующие параметры Стокса:

, (3.99)

где , – средние интенсивности левоциркулярной и правоциркулярной компонент соответственно; – преимущественный азимут поляризации; – дисперсия азимута поляризации в его седловых точках.

Для циркулярного базиса, так же как и для линейного, справедливо неравенство:

, (3.100)

т.е. наблюдается так называемая «интегральная деполяризация». Равенство в (3.100) выполняется при для однородно поляризованного поля. Как видим из соотношения (3.99), которое аналогично (3.89; 3.90), усредненные параметры Стокса могут быть определены на основе измерения дисперсии азимута поляризации в его седловых точках. Из этого же соотношения следует, что при известных параметрах Стокса простым вычислением может быть определена дисперсия азимута поляризации в областях с преимущественной поляризацией для неоднородно поляризованного векторного поля. Заметим, что дисперсия азимута в этом случае может быть представлена как функция расстояния между ближайшими вихрями одного знака , относящимся к разным ортогональным линейно поляризованным компонентам.

3.7.5. Сравнение экспериментальных результатов и данных компьютерного моделирования

П

Рис. 3.33

1, 11 – -пластинка; 2, 12 – светоделители; 3 – 5 – коллиматор; 6, 7 – зеркала; 8 – микрообъектив; 9 – объект; 10 – объектив; 13 – анализатор; 14 – Стокс-поляриметр; 15 – фотоприемник.

араметры Стокса и среднее расстояние между ближайшими вихрями одного знака ортогональных компонент были получены не только в результате компьютерного моделирования, но и экспериментально определены для разных уровней деполяризации. В качестве тест-объектов были выбраны рассеивающие тонкие полимерные пленки. При этом деполяризации поля после рассеяния на них были близкими к уровням деполяризации, для которых проводилось компьютерное моделирование.

Схема экспериментального исследования представлена на рисунке 3.33. Циркулярно поляризованный пучок поступает на вход интерферометра Маха – Цандера. В одном из плечей интерферометра, в фокусе объектива 10 располагался рассеиватель (тонкая полимерная пленка). Такое экспериментальное положение обеспечивало, во-первых, анализ рассеянного поля в достаточно малом телесном угле и, во-вторых, обеспечивало формирование поля в дальней зоне с соответствующим масштабом спеклов, непосредственно после объектива. На выходе интерферометра располагался Стокс-поляриметр для измерения усредненных параметров Стокса. Циркулярно поляризованный опорный пучок и поляризатор 13 обеспечивали определение позиции и знака каждого компонентного вихря методом, описанным в [84,85]. При этом размер площадки фотоприемника удовлетворял неравенству (3.65). Таким образом, реализовывалась возможность одновременного измерения усредненных поляризационных параметров и получения сеток вихрей ортогональных компонент.

Компонентные вихри разных знаков можно идентифицировать из соответствующих интерференционных картин (см. рис. 3.34) как противоположно направленные интерференционные вилочки [8 – 10; 36 – 39]. В конечным итоге, были получены сети компонентных вихрей для разных объектов, которые вносили разный уровень деполяризации. А также были рассчитаны средние расстояния между соседними вихрями одного знака, относящихся к разным компонентам.

Н а рисунке 3.35 и 3.36 представлены экспериментальные результаты и результаты компьютерного моделирования векторного поля для разных степеней деполяризации поля.

Р

Рис. 3.34

исунки 3.37 и 3.38 позволяют сравненить данные компьютерного моделирования и результаты эксперимента. На рисунке 3.37 представлена зависимость между уровнем деполяризации и отношением усредненного расстояния между вихрями к длине корреляции. Длина корреляции поля определялась из следующего соотношения:

, (3.101)

где – плотность вихрей любой ортогональной компоненты [9; 12].

Рисунок 3.38 иллюстрирует зависимость параметров Стокса и от отношения усредненного расстояния между компонентными вихрями одного знака к длине корреляции.

Как видно, все зависимости практически линейны и наблюдается хорошее соответствие между данными, полученными компьютерным моделированием и экспериментальными исследованиями.

Таким образом, характеристики поляризационных сингулярностей, системы особых точек (вихрей разности фаз, -точек, седловых точек разности фаз, азимута поляризации) определяют не только качественное

Рис. 3.35

Положение вихрей (компьютерное моделирование), ассоциируемых с ортогональными компонентами для разных уровней «деполяризации» поля.

Цифра в левом верхнем углу каждого рисунка соответствует уровню деполяризации.

, и, , – позиции вихрей ортогональных компонент.

, – положительные вихри,

, –негативные вихри.

а b

c d

Рис. 3.36

Положение вихрей (эксперимент), ассоциируемых с ортогональными компонентами для разных уровней «деполяризации» поля.

Цифра в левом верхнем углу каждого рисунка соответствует уровню деполяризации.

, и, , – позиции вихрей ортогональных компонент.

, – положительные вихри,

, –негативные вихри.

а b

c d

Рис. 3.38

Зависимость параметров Стокса и от расстояния между компонентными вихрями одного знака.

– экспериментальные результаты; – компьютерное моделирование (результаты, полученные на основе соотношения (3.90)); – результаты компьютерного моделирования (прямое усреднение локальных параметров Стокса).

Рис. 3.37

Взаимосвязь между уровнем деполяризации и расстоянием между вихрями.

– экспериментальные результаты; – данные компьютерного моделирования

поведение векторного поля в каждой его точке, но и однозначно связаны с его усредненными поляризационными характеристиками.

Дисперсия разности фаз между ортогональными компонентами, соответствующая различным уровням интегральной деполяризации векторного поля, является функцией среднего расстояния между ближайшими вихрями одного знака, относящимся к разным линейно поляризованным ортогональным компонентам. В конечном итоге, усредненные параметры Стокса, дисперсия азимута поляризации могут быть получены при измерении такого среднего расстояния.

Размеры областей, в которых существенно меняется поляризация, определяются только уровнем интегральной деполяризации. Размеры и положение -контуров для уровня деполяризации менее 50% зависят также и от эффективной разности фаз между компонентами. Размеры -контуров минимальны при преимущественной циркулярной поляризации векторного поля. Для уровня деполяризации более 50% структура поля становится аналогичной структуре полностью деполяризованного поля и не зависит от эффективной разности фаз между ортогональными компонентами.

3.8. «Стокс-формализм» поляризационных сингулярностей. «Стокс-вихри».

Как было показано, в п. 3.2.3, поляризационные сингулярности могут быть однозначно идентифицированы с помощью интерференционного метода, который является особенно эффективным в зонах поля, где его интенсивность мала. Например, в случае слабо «деполяризованных» полей, когда зоны со значительными поляризационными изменениями тяготеют к зонам нулей ортогональных компонент. В такой ситуации анализ структуры векторного поля на основе интенсивностных измерений (параметров Стокса и т.д.) становится проблематичным. Вместе с тем, для полей, степень интегральной деполяризации, которых достаточно велика (более 40 – 50%), локализация поляризационных сингулярностей не связана напрямую с зонами малой интенсивности поля, и поляризационные сингулярности могут быть идентифицированы в результате анализа локальных традиционных поляризационных параметров поля [86 – 89].

Поэтому, с нашей точки зрения, было бы полезным связать поляризационные сингулярности с поведением таких характеристик векторного поля.

Предположим, что в результате экспериментальных исследований нами получен полный набор параметров Стокса (для простоты нормированных) в каждой точке поля.

Одна из записей нормированных параметров Стокса когерентного поля имеет вид [98; 99]:

, (3.102)

При этом имеет место равенство

. (3.103)

Рассмотрим так называемые Стокс-поля , определяемые соотношениями [98]:

. (3.104)

Естественно, что такого типа поля характеризуются системой сингулярностей. Эти сингулярности будем называть Стокс-вихрями [98].

Координаты Стокс-вихрей поля , как и обычных скалярных вихрей, могут быть найдены как решения системы уравнений:

. (3.105)

Из (3.102, 3.103) следует, что в точках Стокс-вихрей только один из параметров Стокса остается ненулевым. Более того, его величина по модулю равна 1.

Так, например, для вихрей поля , а . Из этого следует, что вихри поля совпадают с -точками. Введем для описания вихрей поля дополнительный параметр , определяющий знак ненулевого параметра Стокса. Тогда вихрь поля с ( ) соответствует -точке, локализованной в области с правой (левой) поляризацией.

Аналогично для поля , т.е. вихри поля совпадают с вихрями компонент (вихрями разности фаз), поскольку либо , либо равны нулю.

Обратимся вновь к соотношению (3.105). Решения первого и второго уравнений определяют системы некоторых замкнутых контуров. Так, из (3.102) легко видеть, что для поля первое уравнение определяет контура, вдоль которых интенсивности компонент одинаковы, а решения второго уравнения формируют систему -контуров (см. п.3.22).

Для поля решения аналогичных уравнений соответствуют системам - и -контуров. Иными словами, вихри этого поля, как и вихри разности фаз (вихри недиагональной компоненты матрицы когерентности ), находятся на их пересечении. Действительно, легко показать, что

. (3.106)

И, наконец, вихри поля ( ) возникают на пересечении -контуров и линий, вдоль которых интенсивности компонент одинаковы. Очевидно, что вихри поля не соответствуют ни одному типу традиционных поляризационных сингулярностей и определяют координаты «реперных» точек -контура, в которых азимут линейной поляризации либо .

Естественно, что, используя «стокс-формализм», можно сформулировать различного вида знаковые принципы, касающиеся вихрей разности фаз или -точек и достаточно просто получить различного рода топологические инварианты типа (3.50).

4. Сингулярности вектора Умова – Пойнтинга и структура оптических полей

Естественным вопросом, у человека, читающего эту книгу, является вопрос: каковы резоны рассмотрения сингулярностей вектора Умова – Пойнтинга?

Попробуем ответить на этот вопрос, отталкиваясь от уже полученной информации о «традиционных» оптических сингулярностях: фазовых вихрях, поляризационных сингулярностях.

Первое, на чем необходимо акцентировать внимание это то, что в области оптической сингулярности поле «абсолютно» гладкое, без «разрывов» и удовлетворяет уравнениям Максвелла. Так, в центре фазового вихря (скалярной сингулярности) неопределенность фазы, вообще говоря, не имеет смысла, поскольку модуль амплитуды равен нулю и значение фазы может быть любым.

А

Рис. 4.1

налогичные соображения можно привести и в отношении поляризационных сингулярностей -контуров и -точек. Действительно, если на некотором расстоянии от -точки поворот осей эллипсов поляризации реально характеризует отличие в поляризационных характеристиках поля, то в непосредственной близости от «сингулярности» эллипсы мало отличаются от окружностей (см. рис. 4.1) и понятия азимута, главной фазы, также как понятие фазы в центре вихря, теряют смысл. Иными словами, такие параметры как главная фаза, азимут, не нужны для описания состояния поля в -точке, а направление вращения вектора поля «лишняя» характеристика для точек -контура. К тому же временное поведение вектора поля в -точке (на -контуре) и рядом практически неразличимы. Традиционными оптическими измерениями невозможно различить точки, принадлежащие сингулярному множеству, и точки его окрестности. Такие области на рисунке 4.1 схематически изображены как регионы и .

Более того, оптическая сингулярность может быть обнаружена лишь «косвенными» непрямыми методами интерферометрии в результате анализа поля, образованного сингулярной структурой и некоторым «опорным» полем [8 – 10; 36 – 39; 84; 85].

Исходя из таких соображений, следует, казалось бы, очевидный, логический вывод – единственным резоном рассмотрения оптических сингулярностей является их «роль в формировании структуры» оптического поля – как скалярного, так и векторного.

С другой стороны, наличие сингулярности любого из параметров поля неминуемо должно приводить к неким физическим особенностям поля, образованного в ее окрестности.

Возникает вопрос, в чем же состоит физическое проявление оптических сингулярностей? Проявление, характеризующееся специфическим поведением физической системы, на которую воздействует электромагнитная волна.

Для скалярных вихрей такое проявление, как известно, связано с тем, что в области оптического вихря возникает орбитальный момент импульса электромагнитного поля [100 – 104]. Такой момент появляется благодаря специфической (геликоидальной) фазовой поверхности в окрестности вихря, т.е., вообще говоря, специфического поведения поля во времени. Иными словами, физическое проявление скалярной сингулярности отображается в специфическом временном поведении компонент электромагнитного поля.

Поляризационные сингулярности, в конечном итоге, тоже должны рассматриваться как временные особенности поля, поскольку характеристики волны, содержащие сингулярности: поляризационный азимут, вибрационная фаза, направление вращения вектора поля определяют поведение вектора поля – как в пространстве, так и во времени. Очевидно, что и для случая векторных сингулярностей, их физическое проявление должно быть тоже связано с временным поведением поля, которое в конечном итоге сводится к специфической величине момента импульса электромагнитного поля в области сингулярности, поведению этой характеристики поля отличному от поведения в других областях поля.

Как известно (см., например, [101]) «прямое силовое» (или «энергетическое») воздействие электромагнитной волны на некоторую физическую систему ассоциируется с вектором Умова – Пойнтинга. Во всяком случае, пространственное распределение параметров этого вектора (величины и ориентации) является одним из основных факторов, определяющих воздействие волны на систему. Кроме того, вектор Умова – Пойнтинга непосредственно связан с моментом импульса (см., например, [100; 101]). Однако, в отличие от момента импульса, вектор Умова – Пойнтинга не «привязан» к точке приложения (оси момента). В то же время, информация о поведении этого вектора позволяет легко перейти к анализу самого момента импульса поля в произвольной области.

Естественно, что для поля общего типа характеристики компонент вектора Умова – Пойнтинга (в том числе и поперечной: модуль и ориентация) могут рассматриваться как некоторые пространственно распределенные параметры поля. В общем случае такие распределения имеют особенности, включая сингулярности. Как и традиционные оптические сингулярности, сингулярности вектора Умова – Пойнтинга можно объединять в сети, которые должны (хотя бы на качественном уровне) определять поведение вектора Умова – Пойнтинга в любой точке, формировать скелетон поля этого вектора, т.е. задавать закономерности формирования пространственных распределений его параметров.

Очевидно (как это уже наблюдалось для фазы и интенсивности, поляризации и интенсивности (см. п.2.6 и п.3.3)), что характеристики таких сингулярных множеств, поведение вектора Умова – Пойнтинга должны быть связаны с характеристиками сетей традиционных сингулярностей.

Исходя из этого, анализ сингулярностей вектора Умова – Пойнтинга, установление соответствующих топологических закономерностей является актуальной задачей. Добавим, что прикладные аспекты такого рассмотрения непосредственно связаны с областью научных исследований, которая интенсивно развивается, с так называемыми оптическими пинцетами (см., например, [104]).

4.1. Общие допущения. Компоненты вектора Умова – Пойнтинга

Как и раньше, рассмотрение будем проводить при условии выполнения параксиального приближения. Однако, в отличие от традиционного подхода [100], будем анализировать не только усредненный по времени, но и мгновенный вектор Умова – Пойнтинга.

Резоны такого рассмотрения следующие:

1. Операция усреднения полностью имеет смысл только для оптической волны, что обусловлено слишком быстрыми изменениями поля во времени. Что же касается радиоволн, то их период колебания, может быть, сравним со временем реакции физической системы. В этом случае энергетическое воздействие волны на такую систему определяется поведением неусредненного вектора Умова – Пойнтинга или, по крайней мере, усредненного по гораздо меньшему интервалу времени .

Аналогично концепция наевской дисклинации является фундаментальным понятием для радиоволн и теряет свою силу в оптике [82; 83].

2. Заметим также, что рассмотрение поведения компонент во времени дает нам дополнительную информацию для более детального понимания процессов формирования усредненного вектора Умова – Пойнтинга.

Можно показать, что в случае выполнения параксиального приближения (см. Аппендикс 3) для компонент вектора Умова – Пойнтинга выполняются следующие соотношения:

, (4.1)

где

, (4.2)

и

, (4.3)

где – модули амплитуд и фазы компонент соответственно; – их производные; .

Как следует из этих соотношений, при выполнении параксиального приближения, компоненты вектора Умова – Пойнтинга могут быть записаны как функции, определяемые только -, -компонентами электрического поля.

Именно эти соотношения и их версии и будут базовыми при нашем анализе.

4.2. Сингулярности вектора Умова – Пойнтинга в скалярных полях

Сначала уточним понятие скалярного поля в соответствии с условиями нашего анализа.

Как правило, поле, поляризованное однородно можно, рассматривать как скалярное, независимо от типа поляризации [8]. В нашем случае придется сузить понятие скалярного поля до линейно поляризованного, поскольку для эллиптически поляризованного поля поведение вектора Умова – Пойнтинга может быть достаточно сложным и нетривиальным. В частности у эллиптически поляризованной волны может возникать так называемый спиновый момент импульса [100].

4.2.1. Мгновенные сингулярности скалярного поля

Достаточно просто показать, что для волны, линейно поляризованной вдоль оси (выбор оси не является принципиальным), «скалярная версия» базовых уравнений имеет вид:

, (4.4) , (4.5) . (4.6)

Как следует из этих соотношений, сингулярности вектора Умова – Пойнтинга могут возникать в двух случаях:

1. Все три компоненты равняются нулю в определенный момент времени. Этот случай соответствует возникновению дисклинации.

2. Только поперечная компонента равна нулю. Эта ситуация соответствует одновременному равенству нулю величин и .

Исходя из этого, возникновение дефекта вектора Умова – Пойнтинга при одновременном равенстве нулю всех трех компонент требует уточнения понятия дисклинации для скалярного поля.

Можно показать, что в отличие от векторного поля, в котором дисклинации – линии, движущиеся в трехмерном пространстве, или соответствующие точки в сечении поля, дисклинации в скалярном поле вырождаются в нулевые поверхности или в соответствующие замкнутые лини в сечении поля. Другими словами, в отличие от векторного поля, где дисклинации – «точечные» дефекты, в скалярном поле они движущиеся «краевые» дефекты. Более того, точечные дисклинаци не существуют в скалярном поле. Отсутствие точечных дисклинаций можно объяснить, исходя из непрерывности поля и того факта, что амплитуда линейно поляризованной волны в каждой точке поля дважды за период колебания принимает нулевое значение.

Такое поведение поля иллюстрируется поведением поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга в области изотропного вихря (рис. 4.2).

a b c d

Рис. 4.2

Вращение краевой дисклинации в области изотропного вихря.

a – распределение интенсивности изотропного вихря; b – d – мгновенное распределение модуля поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга для разных моментов времени, определяющих положение дисклинации.

Можно показать, что поперечная компонента вращается вокруг центра вихря с двойной частотой колебания волны. Направление вращения определяется знаком топологического заряда вихря.

Мгновенная ориентация компоненты вектора Умова – Пойнтинга для разных моментов времени (рис. 4.3) описывается таким соотношением:

, (4.7)

где – топологический заряд вихря.

a b c

Рис. 4.3.

Мгновенная ориентация поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга для различных моментов времени.

К ак следует из (4.7) и рисунка 4.3, азимут вектора Умова – Пойнтинга для определенного момента времени не зависит от и меняется скачком при переходе через дисклинацию.

Т

a b

Рис. 4.4

Прецессия усредненного вектора Умова – Пойнтинга около центра вихря.

аким образом, хорошо известная прецессия (см., например, [100]) усредненного вектора Умова – Пойнтинга около центра вихря (рис. 4.4) является результатом усреднения одинаково ориентированных векторов.

Из рисунка следует, что азимут усредненной компоненты вектора Умова – Пойнтинга имеет сингулярность в центре вихря. Это сингулярность типа «центр» [88]. Оба случая, и (a) и (b), ассоциируются с позитивным индексом Пуанкаре . Поэтому для полной характеристики такой сингулярности вектора Умова – Пойнтинга необходимо ввести дополнительный параметр типа хиральности . Пусть положительная хиральность (рис. 4.4 b) соответствует прецессии вектора по часовой стрелке и отрицательная (рис. 4.4 a) характеризует противоположно направленную прецессию. В дальнейшем будем называть такие

a b c d

Рис. 4.5

Временное поведение модуля поперечной компоненты случайного скалярного поля.

Направление движения дисклинаций указано на рисунках белыми стрелками.

с ингулярности азимута вектора Умова – Пойнтинга и подобные им „вихревыми” сингулярностями.

С

Рис. 4.6

Мгновенные «пассивные» сингулярности.

a – отрицательная сингулярность; b, c – позитивные сингулярности

итуация значительно сложнее для скалярного поля общего вида, однако поведение вектора Умова – Пойнтинга подобно случаю изотропного вихря. Временное поведение поперечной компоненты для участка случайного скалярного поля иллюстрируется рисунком 4.5. Краевые дисклинации вращаются около центров вихрей поля в соответствии со знаками их топологических зарядов. Дисклинации, вращающиеся в разных направлениях, соответствующие соседним вихрям, сходятся в седловых точках фазы (рис. 4.5 b; c; d) и снова расходятся в направлении ортогональном к направлению их сближения (рис. 4.5 a). Направление движения дисклинаций указано на рисунках белыми стрелками.

Второй тип мгновенных дефектов, возникающий в скалярном поле, – это дефекты поперечной составляющей вектора Пойнтинга, соответствующие ее нулевому значению и ненулевому значению -компоненты. Такие сингулярности имеют точечный характер. Возможные реализации точечных сиснгулярностей могут быть сведены к типам структур, представленных на рис. 4.6.

Характерное поведение поперечной составляющей вектора Умова – Пойнтинга в областях, соответствующих всем типам точечных сингулярностей, полученных в результате компьютерного моделирования, иллюстрируется рис. 4.7.

О чевидно, что в отличие от вихревых сингулярностей, усредненный по пространственным координатам и малому отрезку времени момент импульса поля равен нулю в небольшой окрестности такой сингулярности. Поэтому в дальнейшем будем называть такого типа сингулярности «пассивными».

И

a b c

Рис. 4.7

з рисунков 4.6, 4.7 видно, что пассивные сингулярности могут характеризоваться как положительным (сингулярность типа «звезда» – рис. 4.6 b, c и рис. 4.7 a, c), так и отрицательным (сингулярность типа «седло» – 4.6 a и рис. 4.7 b) индексом Пуанкаре.

Соседние пассивные сингулярности разных знаков объединяются линиями тока поперечной составляющей вектора Умова – Пойнтинга в сингулярные сети. Причем седловой характер отрицательной сингулярности обеспечивает топологическую связь между положительными дефектами. Поэтому такие сингулярности рождаются и исчезают парами (( + ) и (–) сингулярность) без образования дополнительных дефектов.

Движение таких сингулярностей подчиняется определенным закономерностям. В частности, анализ (4.4) – (4.6) приводит к выводу, что точечные пассивные сингулярности обязательно проходят через все стационарные точки фазы и интенсивности.

4.2.2. Усредненные сингулярности вектора Умова – Пойнтинга скалярного поля

Легко можно показать, что усредненная версия соотношений (4.6) имеет вид:

, (4.8)

где – модуль амплитуды; – производные от фазы.

Рис. 4.8

Возможное поведение вектора Умова – Пойнтинга в окрестности

усредненных сингулярностей скалярного поля.

b, c – вихревые сингулярности; a, d, e – пассивные сингулярности поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга.

Как и в случае мгновенного вектора Умова – Пойнтинга существует возможность возникновения двух типов сингулярностей:

1. Все компоненты усредненного вектора Умова – Пойнтинга равны нулю (рис. 4.8 b, c). Этот случай соответствует усредненной вихревой сингулярности, локализованной в центре вихря. Модуль амплитуды нулевой. В области центра вихря наблюдается «классическая» прецессия вектора Умова – Пойнтинга. Такая сингулярность азимута вектора Умова – Пойнтинга характеризуется положительным индексом Пуанкаре. Вихрям, различающимся знаком топологического заряда, соответствуют сингулярности с различной хиральностью.

2. Только поперечная компонента исчезает (рис. 4.8 a, d, e). Это усредненные пассивные сингулярности. Как следует из системы (4.8), их координаты совпадают с координатами стационарных точек фазы поля. Направление распространения энергии в этих точках совпадает с осью .

Д ругими словами, именно эти точки поля «задают» преимущественное направление распространения скалярной волны.

Возможное поведение вектора Умова – Пойнтинга в малой окрестности таких сингулярностей сводится к ситуациям, иллюстрируемым рисунком 4.9.

О

Рис. 4.9

трицательные (седловые) пассивные сингулярности обеспечивают топологическую связь между вихревыми сингулярностями с одинаковой хиральностью, в то время как соседние вихри с различным направлением прецессии вектора Умова – Пойнтинга соединяются линиями тока поперечной компоненты этого вектора непосредственно.

4.3. Сингулярности вектора Умова – Пойнтинга в векторных полях

4.3.1. Мгновенные сингулярности векторного поля

Аналогично скалярным полям и в соответствии с уравнением (4.1) – (4.3), мгновенные сингулярности вектора Умова – Пойнтинга возникают в точках поля, где наблюдается дисклинация или нуль поперечной компоненты этого вектора.

Как известно, дисклинации являются точечными дефектами векторного поля [3; 65]. Как было показано в пункте 3.1., дисклинации передвигаются вдоль -контуров, рождаются и исчезают. Количество их на -контуре может меняться только на четное число, т.е. как и все топологические дефекты, они возникают и пропадают только парами [3; 77]. Движение дисклинаций, их взаимосвязь, взаимосвязь с другими полевыми структурами происходит в соответствии с топологическими связями и закономерностями.

Поэтому события, ассоциируемые с сингулярностями вектора Умова – Пойнтинга, порожденными дисклинациями должны подчиняться аналогичным закономерностям.

a b c

Рис. 4.10

Сингулярности вектора Умова – Пойнтинга, ассоциируемые с дисклинациями.

Случайное векторное поле.

a – мгновенное распределение модуля поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга;

b – распределение мгновенного азимута поперечной компоненты. Разные оттенки серого соответствуют различной ориентации вектора; c – распределение модуля и азимута поперечной компоненты. Ориентация вектора Умова – Пойнтинга обозначена белыми стрелочками.

Из уравнений (4.1) – (4.3) не следует никаких ограничений относительно знака сингулярности, ассоциируемой с дисклинацией. Более того, положительные мгновенные дефекты вектора Пойнтинга могут быть как вихревыми, так и пассивными. Этот факт иллюстрируется результатами компьютерного моделирования (рис. 4.10).

Заметим, что такие вновь появившиеся дефекты могут быть оба вихревыми, т.е. обе сингулярности характеризуются одинаковыми индексами Пуанкаре и отличаются лишь хиральностью. Различие в хиральности достаточно для обеспечения связи между родившимися Пойнтинг-вихрями, но недостаточно для образования топологической связи с другими полевыми структурами.

Исходя из этого, возможны два сценария рождения и исчезновения сингулярностей вектора Умова – Пойнтинга, ассоциируемых с дисклинациями:

1. Представим себе, что на -контуре родились две вихревые сингулярности. Они обладают различной хиральностью, однако их индексы Пуанкаре одинаковые (позитивные). Исходя из закона сохранения суммарного топологического индекса, параллельно событию рождения этих сингулярностей в той же точке поля (на -контуре) должно произойти событие рождения двух отрицательных дефектов. Естественно, что это

Рис. 4.11

Поведение сингулярностей вектора Умова – Пойнтинга, ассоциируемых с дисклинациями

для различных моментов времени.

a – d – распределение азимута поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга. Разные оттенки серого обозначают различную ориентацию вектора. e – h – распределения модуля и азимута поперечной компоненты. Ориентация компоненты иллюстрируется тонкими белыми стрелками. Толстые белые стрелки на рисунках a, b, c, d указывают направление движения сингулярностей. , – позитивные и негативные мгновенные сингулярности вектора Умова – Пойнтинга соответственно. Сплошные линии -контура.

пассивные сингулярности, которые сразу же после акта рождения покидают -контур и уходят внутрь области эллиптической поляризации.

Как следствие, топологическая реакция, соответствующая этому событию, имеет вид:

, (4.9)

т.е. четыре дефекта поля поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга появляются или исчезают.

2. Одна из сингулярностей, ассоциируемых с дисклинацией, позитивная, а вторая – отрицательная. В этом случае топологическая реакция возникновения – исчезновения трансформируется к следующему выражению:

. (4.10)

Только две сингулярности вектора Умова – Пойнтинга принимают участие в процессе.

Сингулярности вектора Умова – Пойнтинга, ассоциируемые с дисклинациями, как и сами дисклинации перемещаются вдоль -контура пропадают и рождаются (см. рис. 4.11). Их позиции повторяются через каждую половину периода колебания волны.

Рождение и аннигиляция сингулярностей может сопровождаться появлением и исчезновением дополнительных сингулярностей, когда только поперечная компонента вектора Умова – Пойнтинга равна нулю. В общем случае геометрическое место точек таких сингулярностей не находится на -контуре. Подобные сингулярности могут появляться независимо от рождения дисклинаций (рис. 4.12). При этом такие не связанные с -контуром сингулярности могут быть как пассивными, так и вихревыми.

В

Рис. 4.12

Мгновенные сингулярности, ассоциируемые с нулем поперечной компоненты вектора Поинтинга.

ременное поведение мгновенной вихревой сингулярности, родившейся в области эллиптической поляризации, иллюстрируется рисунком 4.13. Как видно из рисунка, эта сингулярность перемещается через область с неоднородной поляризацией.

В заключение этого пункта отметим, что «мгновенный» усредненный по пространственным координатам и малому интервалу времени момент импульса поля, наблюдаемый в окрестности вихревой сингулярности, является максимальным по сравнению с моментами, возникающими в области других полевых структур (с той же энергией поля, сосредоточенной на таком же по размерам участке), независимо от того, порождена эта сингулярность дисклинацией или нет.

Рис. 4.13

Движение мгновенной вихревой сингулярности,

родившейся в области с неоднородной поляризацией.

4.3.2. Поведение вектора Умова – Пойнтинга в области элементарных поляризационных сингулярностей

Р ассмотрим элементарную поляризационную ячейку – поле, содержащее минимальное количество (одну или две) -точки. Такие полевые образования с одной -точкой и методы их получения подробно рассмотрены в п. 3.5. Структура ячейки следующая. -точки одного или разных знаков помещаются в области с одним типом эллиптической поляризации (правая или левая), ограниченной -контуром относительно правильной формы. Как и поле с одной -точкой, поле с двумя -точками может быть сформировано с помощью суперпозиции вихревого циркулярно поляризованного пучка и ортогонально поляризованного гладкого. Можно показать, в случае суперпозиции циркулярно поляризованных волн -контур, как правило, замкнутый и ограниченных размеров.

Пример формирования элементарной поляризационно неоднородной ячейки иллюстрируется рис. 4.14.

Р

Рис. 4.14

Пример формирования элементарной неоднородно поляризованной области с помощью суперпозиции циркулярно поляризованных пучков

ассмотрение будем проводить при условии, что индексы -точек, распределение фазы и интенсивности в интерферирующих пучках могут меняться произвольным образом.

4.3.2.1. Симметричные распределения амплитуд и фаз интерферирующих пучков

а. Одна -точка

Предположим, что вихревой пучок циркулярно поляризованный изотропный вихрь:

, (4.11)

и ортогонально поляризованная к нему волна – плоская волна:

, (4.12)

где – handedness фактор ; – полярные координаты; – Декартовы координаты с началом в центре вихревого пучка; – топологический заряд вихря.

Соответственно комплексные амплитуды результирующего поля имеют вид:

; (4.13)

- и -компоненты поля в терминах напряженностей описываются соотношениями

, (4.14)

где

, (4.15)

. (4.16)

Можно показать, что в этом случае согласно (4.4) – (4.6):

(4.17)

Тогда для - и -компонент вектора Умова – Пойнтинга имеем

. (4.18)

Соответственно модуль поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга запишется так:

, (4.19)

где – топологический заряд главной фазы (vibration phase) в окрестности -точки.

Из (4.19) видно, что при совпадении знаков и модуль поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга тождественно равен нулю ( ) во всей анализируемой области. Физически это означает, что момент импульса поля в области такой -точки также равен нулю. Иными словами, орбитальный момент компенсируется спиновым.

Поэтому дальше будем предполагать, что и разных знаков:

. (4.20)

В этом случае модуль поперечной составляющей ведет себя аналогично своей продольной составляющей и совершает «ротацию» во времени вокруг -точки с двойной частотой светового колебания [107; 108]. Направление ротации минимума (максимума) определяется лишь знаком топологического заряда вибрационной фазы. Минимум достигается на -контуре и соответствует положению наевской дисклинации. Для заданного распределения комплексных амплитуд (4.11), (4.12) -контур – окружность. -точка расположена в ее центре.

Рис. 4.15 иллюстрирует поведение модуля поперечной составляющей во времени.

Естественно, что при более сложной структуре интерферирующих пучков поля в окрестности -точки (векторное поле в окрестности не может быть рассмотрено как суперпозиция изотропного вихря и плоской волны) и соотношение (4.19) не имеет места. Однако характер изменений тот же.

Рис. 4.15

Ротация минимума поперечной составляющей вектора Умова – Пойнтинга (дисклинации) вокруг -точки. Положение дисклинации на -контуре отмечено белой точкой.

b. Момент импульса поля в окрестности С-точки.

В соответствии с определением, плотность момента импульса описывается соотношением:

. (4.21)

Тогда, учитывая (4.18), имеем:

. (4.22)

Усредненный по времени (по одному периоду колебаний волны ) момент импульса поля в области имеет вид

. (4.23)

В конечном итоге имеем [108-110]:

, (4.24)

где – мощность вихревого пучка.

Чтобы сравнить полученное выражение с моментом вихря ( [84]), напомним, что мощность циркулярно поляризованного вихря как пучка, формирующего поляризационно неоднородную ячейку с -точкой, в два раза больше, чем . Учитывая это, для нормированных мощностей имеем соотношение:

. (4.25)

Таким образом, момент импульса в окрестности -точки в два раза больше чем у вихревого пучка, если и разного знака (спиновый и орбитальный моменты поля взаимно усиливают друг друга) и равен нулю, если знаки совпадают (спиновый и орбитальный моменты поля взаимно компенсируют друг друга).

a b c d

Рис. 4.16

Временное поведение поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтига в окрестности -точки при несовпадении знаков топологического заряда и handedness фактора. Азимут компоненты соответствует ориентации стрелочек. Длина стрелки соответствует величине модуля компоненты.

Рисунок 4.16 иллюстрирует распределение не только модуля, но и азимута мгновенной поперечной компоненты вектора Пойнтинга. Азимут компоненты соответствует ориентации стрелочек, а величина ее модуля характеризуется длиной стрелки.

Из рисунка следует, что соответствующая дисклинации, мгновенная сингулярность поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга является дефектом вихревого типа с положительной хиральностью ( , направление прецессии вектора совпадает с направлением движения часовой стрелки).

Рис.4.17

Поведение попереч-ной компоненты для различных моментов времени в точках одного из диаметров -контура

Рис. 4.18

Распределение моду-ля и азимута усредненной попе-речной компоненты вектора Поинтинга

Рассмотрим поведение поперечной компоненты в различных точках линии, пересекающей область с неоднородной поляризацией и проходящей через -точку (положение линии совпадает с одним из диаметров -контура) для различных моментов времени (рис. 4.17). Как видим, лишь для точки поля, совпадающей с положением -точки, усредненная поперечная компонента вектора Умова – Пойнтинга будет иметь нулевое значение и ее величина будет нарастать по мере удаления от -точки.

Поведение усредненной поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга представлено на рис. 4.18. Как следует из рисунка, распределение модуля и азимута поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга подобно такому же распределению, свойственному обычному вихрю. Однако в случае скалярного вихря все три компоненты вектора равны нулю, тогда как в нашем случае -компонента ненулевая. Таким образом, поток энергии в центре линейно или циркулярно поляризованного вихря отсутствует и, как правило, является максимальным в -точке. При этом направление распространения энергии совпадает с направлением оси .

c. Элементарные поляризационные ячейки с двумя -точками одного знака

Ф азовая карта циркулярно поляризованного пучка с двумя вихрями одного знака представлена на рис. 4.19. На этом же рисунке приведено положение -контура, образующегося при суперпозиции такого пучка с ортогонально поляризованной плоской волной.

В

Рис. 4.19

Фазовая карта вих-ревого пучка. Раз-личные оттенки се-рого соответствуют различным значени-ям фазы. Положение -контура результи-рующего поля ил-люстрируется белой линией.

соответствии с [82; 83] две дисклинации возникают на -контуре. Можно показать, что в случае симметричных распределений параметров вихревого и гладкого пучков структура этих дисклинаций абсолютно идентична. Как следствие, структура сингулярностей Умова – Пойнтинга должна быть также одинаковой.

Две вихревые сингулярности перемещаются вдоль -контура в одном направлении (см. рис. 4.20). В геометрическом центре области возникает дополнительная, пассивная сингулярность седлового типа с отрицательным индексом Пуанкаре. Эта сингулярность обеспечивает топологическую связь между одинаковыми позитивными вихревыми сингулярностями.

Рис. 4.20

Поведение мгновенного вектора Умова – Пойнтинга для поля, содержащего

две -точки одного знака.

сингулярность обеспечивает топологическую связь между одинаковыми позитивными вихревыми сингулярностями.

П

a b

Рис. 4.21

Поведение усредненного вектора Поинтинга для области поля содержащей две -точки. (a) – две -точки пространственно разделены. (b) – расстояние между -точками невелико.

оведение усредненного вектора Умова – Пойнтинга иллюстрируется рисунком 4.21 a. Мы видим, что характер распределения параметров поперечной компоненты не сильно отличается от случая с одной -точкой. Различия поведения нормированных параметров практически стираются, если расстояние между -точками мало (см. рис. 4.21 b). При этом необходимо помнить, что величина момента импульса поля в области с двумя близко расположенными -точками вдвое больше, чем в случае с областью, содержащей одну -точку. Кроме того, поведение мгновенного вектора Умова – Пойнтинга коренным образом отличается от аналогичного поведения этой характеристики поля в области с одной -точкой (рис. 4.22).

a b c d

Рис. 4.22

Распределение параметров мгновенного вектора Умова – Пойнтинга для поля, содержащего две близко расположенные -точки одного знака.

d. Элементарные поляризационные ячейки с двумя -точками разного знака

Ф

Рис. 4.23

азовая карта циркулярно поляризованного пучка с двумя вихрями разного знака представлена на рисунке 4.23. Вихри расположены на том же расстоянии, что и для поля, содержащего две одинаковые -точки. Там же приведено положение -контура, образующегося при суперпозиции такого пучка с ортогонально поляризованной плоской волной. Как видим, положение -контура такое же, как и для области -точек одного знака.

Как и в предыдущем случае, на -контуре возникают две сингулярности вектора Умова – Пойнтинга, ассоциируемые с дисклинациями поля. Однако одна из них вихревая (на

a b c d

Рис. 4.24

Поведение мгновенного вектора Умова – Пойнтинга для поля, содержащего

две -точки разного знака.

р исунке b она слева), а вторая пассивная, отрицательная (на рисунке b она справа). Кроме того, эти сингулярности перемещаются вдоль -контура в противоположных направлениях.

В

Рис. 4.25

Распределения пара-метров усредненного вектора Поинтинга для поля, содержа-щего две -точки разного знака. Длина стрелки соответству-ет величине модуля поперечной состав-ляющей вектора.

процессе движения (рис. 4.24) эти сингулярности аннигилируют (рис. c) и вновь появляются (рис. а). Поведение азимута поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга для обеих ситуаций характеризуется отсутствием каких бы то ни было дефектов вдоль -контура. Изменение азимута как функция параметра -контура не претерпевает разрывов вдоль контура также в случае, когда дисклинации на -контуре отсутствуют (рис. d). Вместе с тем, модуль поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга практически равен нулю в окрестности -точки (правая -точка), для которой знак топологического заряда такой же, как знак handedness фактора в области, ограниченной -контуром. В точке поля, с координатами совпадающими с -точкой, наблюдается пассивная сингулярность компоненты вектора Умова – Пойнтинга.

Поведение параметров усредненного вектора Умова – Пойнтинга представлено на рисунке 4.25.

Видим, что вихревая сингулярность локализована в позиции -точки, для которой выполняется соотношение (левая -точка) и модуль поперечной составляющей вектора Умова – Пойнтинга практически равен нулю в области -точки, у которой знак топологического заряда такой же, как знак handedness фактора (правая -точка).

4.3.2.2. неСимметричные распределения амплитуд и фаз интерферирующих пучков

Покажем, что позиции сингулярных точек усредненной поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга сдвигаются относительно позиций -точек при несимметричных распределениях модуля амплитуды и фазы в интерферирующих пучках. Этот эффект наблюдается даже для области, содержащей одну -точку.

Сдвиг сингулярности относительно -точки возникает, когда оба или даже один из интерферирующих пучков обладает асимметрией распределения фазы или амплитуды (в дальнейшем просто асимметрией) относительно позиции -точки. Можно показать, что главным фактором, определяющим величину сдвига, является не сама величина асимметрии, а взаимное соотношение фаз, отношений модулей амплитуд, ассоциируемых с каждым пучком. Таким образом, для установления закономерностей влияющих на величину сдвига сингулярности вектора Умова – Пойнтинга относительно -точки, достаточно вносить изменение фазы или интенсивности только в один из пучков. Поэтому будем вносить изменения в параметры только одного из пучков, например гладкого. Можно показать, что в этом случае усредненные - и -компоненты вектора Умова – Пойнтинга описываются следующим выражением.

, (4.26)

где – производные по фазе гладкого пучка; – его модуль амплитуды; – относительные изменения модуля амплитуды.

Из соотношения (4.26) следует, что сдвиг нуля поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга определяется как градиентом фазы опорного пучка, так и градиентом относительных изменений его амплитуды. Отличие заключается лишь в том, что -, -изменения в фазе влияют на одноименную компоненту вектора, а изменения модуля амплитуды на противоположную.

Предположим, что в зоне анализа вносимые изменения не очень велики и выполняется линейное приближение – как для модуля амплитуды, так и для фазы пучка.

Именно такое условие было положено в основу цифрового моделирования.

Рис. 4.26

Сдвиг сингулярности поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга под воздействием фазовой асимметрии в опорном пучке.

a – распределение модуля поперечной компоненты, b – распределение азимута составляющей. Азимут поперечной составляющей вектора на рисунках (с) соответствует ориентации стрелок, величина ее модуля иллюстрируется длиною стрелок:

1 – «нуль» асимметрии;

2 – «незначительная» фазовая асимметрия гладкого пучка;

3 – «значительная» фазовая асимметрия опорного пучка.

Рисунки 4.26 – 4.28 иллюстрируют изменения в поле вектора Умова – Пойнтинга, которые соответствуют различным значениям асимметрии, вносимой в опорный пучок. Для простоты сравнения результатов в строке 1 приведены распределения параметров вектора Умова – Пойнтига для поля, сформированного симметричными пучками.

Рисунки (a) иллюстрируют поведение модуля поперечной составляющей вектора Умова – Пойнтинга результирующего поля. Столбец (b) – карты азимутов компоненты вектора Умова – Пойнтинга. На рисунках (с) представлено распределение как модуля, так и азимута. На ориентацию вектора указывает направление стрелок, величина модуля составляющей иллюстрируется длиною стрелок.

Рис. 4.27

Сдвиг сингулярности поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга под воздействием асимметрии модуля амплитуды в опорном пучке.

a – распределение модуля поперечной компоненты; b – распределение азимута составляющей. Азимут поперечной составляющей вектора на рисунках (с) соответствует ориентации стрелок, величина ее модуля иллюстрируется длиною стрелок:

1 – «нуль» асимметрии;

2 – «незначительная» асимметрия модуля амплитуды гладкого пучка;

3 – «значительная» асимметрия модуля амплитуды опорного пучка.

На рисунке 4.26 представлено влияние фазовой асимметрии на позицию сингулярности вектора Умова – Пойнтинга.

Как видим, при определенной величине асимметрии сингулярность поперечной составляющей может сдвинуться относительно позиции -точки даже за границу -контура, переместившись в область с другим типом эллиптической поляризации.

Рис. 4.28

Сдвиг сингулярности поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга под воздействием обоих типов асимметрии опорного пучка

a – распределение модуля поперечной компоненты; b – распределение азимута составляющей. Азимут поперечной составляющей вектора на рисунках (с) соответствует ориентации стрелок, величина ее модуля иллюстрируется длиною стрелок:

1 – «нуль» асимметрии;

2 – «незначительная» асимметрия гладкого пучка;

3 – «значительная» асимметрия опорного пучка.

Рисунок 4.27 иллюстрирует возникновение сдвига сингулярности под воздействием амплитудной асимметрии.

На рисунке 4.28 представлены данные компьютерного моделирования, подтверждающего сдвиг сингулярности вектора Умова – Пойнтинга под влиянием обоих типов асимметрии.

Таким образом, благодаря фазовой или амплитудной асимметрии, возникшей хотя бы в одном из интерферирующих пучков, сингулярность поперечной составляющей вектора Умова – Пойнтинга, а значит, и точка приложения максимального усредненного момента импульса поля, сдвигается относительно позиции -точки.

Очевидно, что такой сдвиг характерен не только для элементарных поляризационных ячеек, но и для неоднородно поляризованных полей общего вида.

Естественно, что соответствующую асимметрию интерферирующих пучков можно «вводить» искусственно, путем формирования специальных гладких или вихревых пучков, например, с помощью использования специальных синтезированных голограмм. Такие голограммы могут быть сформированы и на оперативном носителе типа пространственно-временной модулятор света. Тогда, по нашему мнению, возникает реальная возможность создания светлой поляризационно-неоднородной ловушки с управляемой точкой приложения орбитального момента импульса поля.

4.3.2.3. Экспериментальное подтверждение существования орбитального момента импульса в области -точки

Э

Рис. 4.29

Распределение поляризационных характеристик в поле элементарной поляризационной ячейки. Серая область соответствует области поля с левой поляризацией. Топологический заряд -точки = и его знак совпадает со знаком топологического заряда вихревого пучка.

лементарная поляризационная ячейка с -точкой в середине области, ограниченной замкнутым -контуром, была сформирована методом суперпозиции циркулярно поляризованного вихревого пучка и ортогонально поляризованной опорной волны с Гауссовым распределением интенсивности [106 – 110]. При этом знак топологического заряда вихря не совпадал со знаком handedness фактора вихревого пучка. В этом случае результирующее поле обладает характерным распределением поляризационных характеристик (см. рис. 4.29.

Исходя из рассмотрения, проведенного в п. 4.3.2.1. b, в области -точки должен существовать орбитальный момент импульса поля.

Поскольку формирование элементарной поляризационной ячейки не составляет особого труда в экспериментальном аспекте, то главной задачей при проверке теоретических предположений являлось правильно выбрать «индикатор» присутствия орбитального момента импульса в области «тестового» поля.

К сожалению, выбор возможных вариантов идентификации орбитального момента достаточно невелик (см., например, [100]). С точки зрения вариантов, наиболее подходящих к нашим экспериментальным условиям, оптимальным являлся метод, основанный на явлении передачи момента импульса поля некоторой механической системе, на которую воздействует электромагнитная волна.

Такая идентификация орбитального момента импульса основана на следующих фактах:

1. Как известно (см., например, [104]), при фокусировке лазерного пучка возникает оптическая ловушка, способная захватить и удерживать микрообъект.

2. При этом наблюдается вращение захваченного микрообъекта, если поле обладает спиновым или орбитальным моментом импульса (см., например, [102; 103]). Главным фактором, влияющим на частоту вращения, является величина этого момента, а направление вращения определяется знаком момента.

3. В общем случае сфокусированный пучок обладает как спиновым, так и орбитальным моментом импульса поля. Частота вращения микрообъекта будет максимальной, если знаки спинового и орбитального моментов будут совпадать, и она будет минимальной (возможно даже прекращение вращения или изменение его направления), если эти знаки разные (спиновый момент импульса компенсирует орбитальный).

Т

Рис. 4.30

Экспериментальное расположение для наблюдения орбитального момента импульса поля поляризационной ловушки.

1 – He-Ne лазер; 2, 8, 10 – светоделители, 3, 6 – пластинки ; 4, 5 – зеркала; 7 – вихревая компьютерно-синтезированная голограмма; 9 – анализатор; 11, 14 – микрообъективы; 12 – образец с микрочастицами; 14 – зеленый фильтр; 12 – CCD-камера; 16, 17 – система подсветки образца.

аким образом, если сфокусировать неоднородно поляризованный пучок, сформированный в результате суперпозиции циркулярно поляризованных пучков, образуется поляризационно неоднородная оптическая ловушка, способная захватывать и вращать микрообъект. При этом характеристики вращения будут меняться, если изменять параметры интерферирующих пучков, например знак вихревого пучка или его handedness фактор.

Э кспериментальное расположение (рис. 4.30), используемое для идентификации орбитального момента импульса поля подобно, описанному в п. 3.5, отличается от него тем, что на выходе интерферометра, формирующего элементарную поляризационную ячейку, устанавливаются устройства для фокусировки пучков и наблюдения результатов воздействия поля на микрочастицу.

Линейно поляризованный пучок He-Ne лазера направляется в интерферометр Маха – Цандера (элементы 2 – 8). Этот пучок преобразуется в ортогонально циркулярно поляризованные пучки с помощью четвертьволновых пластинок 3, 6. Один из них проходит через вихревую компьютерно-с интезированную голограмму 7. После этой голограммы возникает циркулярно поляризованный вихрь 4.

Поляризационно-неоднородное поле, содержащее -точку формируется на выходе интерферометра.

Д

a) b)

Рис. 4.31

Распределения интенсивностей цир-кулярно-поляризованных компонент результирующего поля. a – цирку-лярно-поляризованный вихревой пучок, b – гладкий опорный пучок.

алее результирующее поле фокусируется с помощью микрообъектива 11 в плоскость образца с микрочастицами 12. Результат воздействия пучка на микрообъекты наблюдается с помощью оптической системы 13, 14 с CCD-камерой. Для формирования оптической ловушки использовался -микрообъектив с единичной апертурой. Поперечные размеры ловушки составляли 8 – 10 мкм.

Д

Рис. 4.32

Распределения интенсивности различных поляризационных проекций поля ловушки. Ось анализатора вращается в направлении против часовой стрелки. Серая линия соответствует экспериментально установленному -контуру. Белые точки на -контуре иллюстрируют положение вихрей поляризационных проекций. Угловой шаг вращения оси анализатора приблизительно 30 градусов.

ля сохранения поляризационных характеристик сформированного в интерферометре поля было выбрано горизонтальное экспериментальное расположение. Благодаря этому действующий пучок только проходил через оптические поверхности, но не отражался от них. В этом случае поляризационная структура пучка в плоскости образца оставалась практически такой же, как и на выходе интерферометра.

Знак (направление воздействия поля в поперечной плоскости) орбитального момента импульса мог легко меняться выбором дифракционного порядка после вихревой голограммы 7. Известно (см. [37 – 39] и п. 1.4), что вихри, сформированные в положительных и отрицательных дифракционных порядках, отличаются знаком топологического заряда.

Рисунок 4.31 иллюстрирует распределение интенсивностей циркулярно поляризованных компонент результирующего поля.

Анализатор 9 мог вводиться в пучок после интерферометра с целью визуализации поляризационной модуляции в ловушке. Распределения интенсивностей линейно поляризованных проекций результирующего поля для различной ориентации анализатора приведены на рисунке 4.32.

Темное пятно на границе ловушки на каждом рисунке соответствует позиции вихря поляризационной проекции (белая точка на рисунках).

Эти точки также идентифицируют координаты точек в которых наблюдаются наевские дисклинации, движущиеся вдоль -контура под действием временных изменений векторного поля. Как видно из рисунка 4.32, интенсивности вихревого и гладкого пучков были подобраны таким образом, что -контур располагался практически по краю ловушки. Благодаря этому область с одним значением handedness фактора и соответственно с одним направлением спинового момента импульса реализуется практически по всей области ловушки.

Координаты -точки могут быть определены как координаты точки в середине ловушки с постоянной интенсивностью для всех поляризационных проекций.

Таким образом, поляризационная ячейка с орбитальным моментом импульса, определяемым знаком топологического заряда вихревого пучка и практически неизменным по всей площади ловушки (области со значительной интенсивностью излучения) спиновым моментом импульса, была реализована. Именно энергия поля, заключенная в границах этой области, в основном влияет на характеристики вращения микрочастицы.

При этом плотность спинового момента импульса уменьшается от -точки по направлению к -контуру вследствие уменьшения эксцентриситета поляризационных эллипсов. Поэтому можно утверждать, что область в которой проявляется влияние спинового момента импульса, непосредственно прилегает к -точке и эта область по размерам значительно уступает размерам всей оптической ловушки. Поэтому изменение знака орбитального момента наиболее сказывается на характеристиках захваченного микрообъекта, по размерам сравнимого с размерами всей ловушки. Исходя из таких соображений, и были выбраны размеры микрочастиц (частицы в масле). Поведение захваченной ловушкой частицы иллюстрируется рисунками 4.33 и 4.34.

Захваченная частица вращается по часовой стрелке (рис. 4.33). Период вращения частицы составлял величину порядка 4 – 5 секунд.

Рисунок 4.34 соответствует ситуации, когда знак формирующего поляризационную ловушку вихря изменялся на противоположный, что соответствует изменению знака орбитального момента импульса. Частица вращалась против часовой стрелки со значительно меньшей скоростью. В этом случае период вращения составлял величину порядка 8 – 10 секунд. Различие между периодами вращения в первом и во втором случае может быть объяснено только тем, что в первой ситуации спиновый момент влияет на частицу в том же направлении, что и орбитальный, а при изменении топологического заряда -точки спиновый момент компенсирует орбитальный.

a) b) c) d)

Рис. 4.33

Вращение относительно большой прозрачной частицы благодаря орбитальному моменту импульса поля. Направление вращения по часовой стрелке.

a) b) c) d)

Рис. 4.34

Изменение направления и скорости вращения захваченной частицы благодаря изменению знака орбитального момента импульса.

a) b) c) d)

Рис. 4.35

Вращение маленькой поглощающей темной частицы, захваченной дифракционным кольцом, окружающем поляризационную ловушку. Вращение по часовой стрелке. Наиболее «яркая» часть светлого дифракционного кольца обозначена белой стрелкой на фигуре (b).

Следующий результат (рис. 4.35) иллюстрирует влияние орбитального момента импульса на маленькую поглощающую темную частицу, захваченную темным дифракционным кольцом, окружающим поляризационную ловушку. К сожалению, на рисунке видно только часть светлого дифракционного кольца, поскольку интенсивность в центре ловушки значительно превышает интенсивность кольца. Вдобавок интенсивность также сильно изменяется вдоль самого кольца. Как следствие – небольшой динамический диапазон CCD-камеры не позволил передать все градации интенсивности поля, соответствующего рисунку 4.35.

Видно, что частица вращается вдоль границы «главной» области ловушки. Такой характер вращения частицы можно объяснить только наличием орбитального момента импульса поля. Размер частицы составлял величину порядка 2-4 мкм. Период вращения 0.5 – 1 секунда.

В заключение этого параграфа акцентируем внимание читателя на характеристиках вращения частицы (рис. 4.33). Как следует из рисунка, центр вращения частицы явно не совпадает с центром световой ловушки. Это значит, что сингулярность вектора Умова – Пойнтинга смещена относительно позиции -точки (центр ловушки). Смещение сингулярности становится понятным, если обратиться к рисунку 4.31, из которого следует, что интерферирующие пучки обладали, по крайней мере, амплитудной асимметрией. Соответствеено, как показано в пункте 4.3.2.2, это должно было привести к смещению точки приложения максимального усредненного момента импульса поля.

Добавим, что существование орбитального момента импульса в окрестности -точки интересно не только с фундаментальной точки зрения, но может быть использовано и в прикладном аспекте для создания светлых поляризационных ловушек с контролируемым орбитальным моментом импульса поля.

4.3.3. Усредненный вектор Умова – Пойнтинга векторного поля

К ак было показано в предыдущем пункте возникновение сингулярности усредненного вектора Умова – Пойнтинга в области элементарных поляризационных ячеек связано с наличием в этой области -точек с определенными характеристиками. Очевидно, что принципиально ничего не должно поменяться, если рассматривать возникновение сингулярностей этого вектора в поле общего вида.

Иными словами, так или иначе, возникновение сингулярности вектора Умова – Пойнтинга ассоциируется с -точкой, находящейся около этого дефекта (см. рис. 4.36).

Т

Рис. 4.36

ип сингулярности (вихревая или пассивная) зависит от соотношения знаков топологического заряда вибрационной фазы -точки и handedness фактора в области анализа. Вихревая сингулярность возникает, в случае если эти знаки разные:

. (4.27)

Пассивная сингулярность образуется, когда знаки и одинаковые. Как следует из п. 3.1, связь между топологическим зарядом и индексом -точки имеет вид

. (4.28)

Т

Рис. 4.37

Связь между сингулярностями поперечной компоненты вектора Поинтинга и -точками

, – отрицательные и положительные -точки соответственно;

, – вихревые и пассивные сингулярности.

Хиральность вихревых сингулярностей обозначена белыми стрелками. Черные сплошные линии -контура. Цифры – примеры конкретных пар, -точка – сингулярность, с которой она ассоциируется.

огда можно утверждать, что вихревая сингулярность поперечной компоненты вектора Умова – Пойнтинга соответствует -точкам с отрицательным индексом (или просто отрицательным -точкам) и пассивный дефект вектора возникает вблизи от позитивных -точек.

Этот факт иллюстрируется данными компьютерного моделирования, проведенного для случайного векторного поля (см. рис. 4.37). Видно, что поблизости от вихревых сингулярностей расположены отрицательные -точки. Пример такой ситуации обозначен на рисунке цифрами 1,1. Пассивные дефекты тяготеют к положительным -точкам (цифры 2,2).

Отметим, что вихревые сингулярности отличаются хиральностью. Тип хиральности ( или ) определяется знаком handedness фактора области, где расположена отрицательная -точка. Поперечная компонента вектора Умова – Пойнтинга циркулирует вокруг Пойнтинг-вихря по часовой стрелке в области с правой поляризацией ( , ) и она прецессирует в противоположном направлении в регионах с левой поляризацией ( , ).

В заключение этого раздела приводим две таблицы, в которых сведены основные свойства сингулярностей вектора Умова – Пойнтинга и их связь с традиционными оптическими сингулярностями.