Задачи для самостоятельной работы
Задача 1. Даны степенные ряды:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д).
Найти область его сходимости и интервал сходимости.
Задача
2. Используя
дифференцирование и интегрирование
степенных рядов, найти сумму и указать
область сходимости ряда
.
Задача
3. Используя
табличные разложения, составить ряд
Тейлора для функции
по степеням x
– 4.
Задача
4. Вычислить
интеграл
с
точностью 0,0001.
Задача
5. Найти
первые 4 – 5 отличных от нуля членов в
разложении функции у(х)
в ряд Тейлора по степеням
,
если
Ответы
1.
Область сходимости: а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
. 2. –2 < x
<
и
< x
< 2.
3.
.
4.
5.
у(x)
=
+
+
+
+
… .
§5. Ряды Фурье для функций с периодом и Теоретический материал
Рядом
Фурье периодической функции
с периодом
,
определенной на сегменте
,
называется ряд
,
где
Если
ряд Фурье сходится, то его сумма
есть периодическая функция с периодом
,
т.е.
.
Теорема Дирихле. Пусть функция на сегменте имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента и сумма этого ряда вычисляется:
1)
во всех точках неразрывности
,
лежащих внутри сегмента
;
2)
,
где
точка разрыва 1-го рода функции
;
3)
на концах промежутка, т.е. при
.
В случае, когда – четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.
где
.
В случае, когда – нечетная функция, ее ряд содержит только синусы, т.е.
где
.
Часто
приходится разлагать в тригонометрический
ряд функции периода, отличного от
В
этом случае, если
– периодическая функция с периодом
,
для которой выполняются на сегменте
условия Дирихле, то указанная функция
может быть представлена в виде суммы
ряда Фурье:
,
где
,
.
В случае, когда – четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.
где
.
В случае, когда – нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.
,
где
.
При
разложении в ряд Фурье целесообразно
придерживаться следующей схемы. Вначале
проверяем, что данная функция удовлетворяет
условиям Дирихле; затем вычисляем
коэффициенты
и
по соответствующим формулам; подставляя
их в ряд, получаем искомое разложение;
наконец, основываясь на теореме Дирихле,
определяем, при каких
полученный ряд сходится к данной функции.
Рассмотрим примеры разложения в ряд
Фурье периодических функций.
Образцы решения задач
Пример
11. Разложить
в ряд Фурье функцию
периода
,
заданную на интервале
.
y
-4π -3 -2 - 0 2 3 4π x
Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как функция нечетная, найдем коэффициенты Фурье
.
Следовательно, ряд Фурье функции будет иметь вид
.
Так
как функция
удовлетворяет условиям Дирихле, то в
любой точке непрерывности
сумма ряда равна значению функции. В
точках
и
сумма ряда равна нулю. На рис.4. 2 показаны
графики: функции
и частичных сумм ряда, содержащие 1, 2 и
3 члена. Из рисунка видно, как график
частичных сумм ряда приближается к
графику функции
при увеличении членов суммы.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале формулой
Решение.
Построим график функции (рис. 4.3). 
y
Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Находим коэффициенты Фурье
,
Разложение в ряд Фурье имеет вид
Пример
3. Разложить
в ряд Фурье функцию с периодом
,
заданную на интервале
формулой
Решение. Построим график функции (рис. 4.4).
Пользуясь
формулами разложения в ряд Фурье на
сегменте
,
полагая
и разбивая интервал интегрирования
точкой
на две части, поскольку в каждой из них
функция задана различными формулами,
получим
При
n
– четном
и
,
при n
– нечетном
и
,
при n=0
.
0
.
Искомое разложение данной функции имеет вид
.
Оно
справедливо во всей области определения
данной функции: в интервале
сумма ряда
,
в интервале
-
.
В точке разрыва
,
.
Пример
4. Разложить
в ряд Фурье функцию с периодом
,
заданную на интервале
формулой
(рис. 4.5).
Решение.
Функция
удовлетворяет условиям Дирихле. Функция
– четная, полагая
,
получим
,
.