Образцы решения задач

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости степенного ряда по формуле

.

Данный ряд сходится только в точке .

Пример 3. Найти область сходимости ряда

Решение.

, т.к. .

Таким образом, , ряд сходится абсолютно в интервале . Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При получаем числовой ряд

Воспользуемся необходимым признаком сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим

, значит, ряд расходится. При приходим к ряду , который по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов расходится, т.к. не выполняется условие .

Итак, окончательно получаем, областью сходимости будет промежуток .

Пример 4. Найти область сходимости ряда

Решение. К этому ряду формула неприменима, так как отсутствуют четные степени переменной , т.е. , , 2, 3,

Применяем непосредственно признак Даламбера:

.

Данный ряд сходится для , или , т.е. , следовательно, . Проверим сходимость на концах интервала. При получаем ряды

,т.е. , которые, очевидно, расходятся.

Следовательно, областью сходимости будет .

Пример 5. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости степенного ряда по формуле

,

т.е. , ряд сходится в интервале . Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При получаем числовой ряд

,

который исследуем с помощью необходимого признака сходимости рядов. Имеем , т.е. общий член ряда не стремится к нулю и ряд расходится. При получаем числовой ряд

, который по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов расходится, т.к. не выполняется условие .

Итак, окончательно имеем: областью сходимости будет промежуток .

Пример 6. Найти радиус сходимости ряда

Решение. К этому ряду неприменима формула для нахождения радиуса сходимости, так как отсутствуют нечетные степени переменной , т.е. , Применяем непосредственно признак Даламбера:

,

при любом x, т.е. ряд сходится на всей числовой прямой.

Замечание. Если степенной ряд имеет вид , то, как мы отмечали, подстановкой он приводится к степенному ряду вида

,

интервалом сходимости которого будет , т.е. или , или , или . Следовательно, интервалом сходимости ряда будет .

Пример 7. Найти область сходимости степенного ряда

Решение.

Здесь , , ,

.

Следовательно, ряд сходится при , т.е. при _, . Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При получаем числовой ряд

,

который является сходящимся как обобщенный гармонический с . При имеем , который абсолютно сходится, т.к. сходится ряд . Следовательно, областью сходимости является отрезок .

Пример 8. Найти .

Решение. Рассмотрим ряд

,

областью сходимости которого является промежуток . Проинтегрируем ряд на отрезке , , получаем

,

или

Таким образом получим разложение функции в степенной ряд в промежутке . Отсюда, например, при получаем

Пример 9. Вычислить число , т.е. значение функции при , с точностью до 0,001 (если известно, что ).

Решение. Имеем

Тогда

,

причем абсолютная погрешность этого приближения равна

, где . При получаем

.

При этом , где ,

но так как , то .

Число определим из равенства . Откуда , т.е. . Если взять , то . Возьмем , .

Следовательно,

.

Пример 10. Вычислить с четырьмя верными знаками.

Решение. Имеем .

Так как угол в радианах (с точностью до ) равен , то

Для знакочередующихся рядов абсолютная погрешность при замене суммы ряда некоторой его частичной суммой не превышает модуля первого отброшенного члена. Поэтому вычисление слагаемых проводим до тех пор, пока слагаемое по модулю не станет меньше 0,0001. Непосредственной проверкой убеждаемся, что

, значит, достаточно ограничиться тремя слагаемыми

.

Пример 11. При изучении теории вероятности важную роль играет функция , называемая функцией Лапласа, или интегралом вероятностей. Вычислить интеграл непосредственным интегрированием нельзя, так как не выражается через элементарные функции.

Заменяя в разложении

на , получаем

Это разложение, как и разложение для , имеет место на всей числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать, т.е.

Тогда

,

сходящимся на всей числовой прямой оси. Вычислить значение функции очень просто, так как ряд быстро сходится.

Пример 12. Вычислить интеграл с погрешностью , где при значение подынтегральной функции принимается равным единице.

Решение. Из разложения для функции , заменяя на , получаем

Делением обеих частей последнего равенства на находим

Это разложение, как и разложение для , имеет место на всей числовой оси, поэтому можно почленно интегрировать:

Данный ряд является знакочередующимся, для которого остаток ряда по модулю не превосходит модуль первого члена остатка ряда. Таким образом, вычисления проводятся до тех пор, пока слагаемое по модулю не будет меньше 0,0001.

Так как , то достаточно взять

.

Пример 13. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Найдем приближенное решение данного уравнения. Для этого подставим вместо его разложения в ряд Тейлора в точке .

Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая как функцию от х:

,

,

.

Подставляя во все уравнения и во все производные и учитывая начальное условие , последовательно найдем:

, ,

,

,

Следовательно, искомое решение записывается в виде ряда Тейлора в точке .

Полученный многочлен в окрестности точки дает как угодно хорошее приближенное выражение решения.