Образцы решения задач

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. 1. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин, т.е. ряд

Для исследования знакоположительного ряда воспользуемся интегральным признаком (см. теорему 5, §2). Рассмотрим функцию , . Эта функция непрерывна, монотонно убывает и , следовательно, условие интегрального признака удовлетворено. Имеем

,

так как .

Итак, ряд расходится, т.е. исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Исследуем ряд на условную сходимость.

Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем

,

.

Оба условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд является условно сходящимся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин

Для исследования знакоположительного ряда воспользуемся признаком Даламбера. Имеем

,

т.к. .

Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, а исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Пример 4. Исследовать данный ряд

Решение. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин

Имеем

,

т.к. .

Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, мы заключаем, что ряд, составленный из абсолютных величин, расходится. Значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Исследуем его на условную сходимость. Проверим выполнение первого условия признака сходимости Лейбница

.

Следовательно, предложенный ряд является расходящимся.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд , если:

а)	;	б)	;
в)	;	г)	;
д)	;	е)	;
ж)	.

Ответы

1. а) Ряд сходится условно, б) ряд сходится абсолютно, в) ряд сходится абсолютно, г) ряд сходится условно, д) ряд расходится, е) ряд сходится условно, ж) ряд сходится абсолютно.

§4. Степенные ряды Теоретический материал

Определение 1. Степенным рядом называется выражение вида

где независимая переменная; фиксированное число; постоянные коэффициенты.

Если в ряде положить , где некоторое число, то получим числовой ряд

Определение 2. Степенной ряд называется сходящимся в точке , если числовой ряд , полученный подстановкой , является сходящимся рядом. При этом называется точкой сходимости ряда .

Пример 1. Степенной ряд

сходится в точке и расходится в точке . Действительно, подставляя , получим числовой ряд , который как сумма членов ряда геометрической прогрессии со знаменателем сходится. Данный степенной ряд расходится в точке , так как числовой ряд является расходящимся в силу невыполнения необходимого условия сходимости числового ряда.

Определение 3. Множество всех точек сходимости степенного ряда называется областью сходимости ряда.

Переходим к выяснению структуры области сходимости степенного ряда.

Если произвести замену , то степенной ряд примет вид

Следовательно, при изучении степенных рядов мы можем ограничиться степенными рядами вида

Заметим, что любой степенной ряд сходится в точке , действительно, если сделать подстановку , получим ряд, сумма которого равна . Таким образом, точка входит в область сходимости любого степенного ряда .

Рассмотрим довольно часто встречающиеся степенные ряды , для которых, начиная с некоторого номера, все и существует предел . Вопрос о сходимости таких рядов может быть решен с помощью признака Даламбера, примененного к ряду

,

составленному из модулей членов ряда . Имеет место следующая теорема.

Теорема 1 (о структуре области сходимости степенного ряда). Пусть существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

а) если и , то степенной ряд сходится абсолютно в интервале , т.е. при , и расходится вне этого интервала, т.е. при ;

б) если , то ряд сходится при любом ;

в) если , то ряд сходится лишь при .

Если рассмотреть ряды, для которых существует , то вопрос о сходимости таких рядов может быть решен применением к ряду признака Коши.

Теорема 2 (о структуре области сходимости степенного ряда). Пусть существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

а) если и , то степенной ряд сходится абсолютно в интервале , т.е. при , и расходится вне этого интервала, т.е. при ;

б) если , то ряд сходится при любом ;

в) если , то ряд сходится лишь при .

Определение 4. Число называется радиусом сходимости ряда , если при всех , для которых , ряд сходится, а при всех , для которых , ряд расходится.

Из теорем 1 и 2 следует, что в случае, когда и , имеет место равенство . Условимся считать для рядов, расходящихся при всех для рядов, сходящихся при любых х.

Из этого определения и теорем 1 и 2 следует

или

.

Заметим, что вопрос о сходимости ряда в точках и решается дополнительными исследованиями.

Таким образом, для области сходимости ряда возможны следующие случаи.

1.Ряд сходится только при . Область сходимости состоит из одной точки , .

2.Ряд не имеет точек расходимости. Область сходимости совпадает со всей числовой прямой , .

3.Ряд имеет как отличные от нуля числа точки сходимости, так и точки расходимости. В зависимости от данного ряда область сходимости является одним из промежутков , , , , где , или .

Определение 5. Независимо от того, какой именно случай имеет место, интервал называется интервалом сходимости ряда .

Следствие 1. Область сходимости степенного ряда либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек.

Если рассмотреть произвольный степенной ряд в общем случае, когда и , быть может, и не существуют, т.е. признаки Даламбера и Коши неприменимы к ряду , нужны дополнительные исследования.

Основную роль в определении структуры области сходимости степенного ряда в общем случае играет следующая теорема Абеля, которая приводится без доказательства.

Лемма Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при любом значении , для которого .

2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при любом значении , для которого на основании этой леммы можно доказать теорему:

Теорема 3 (о структуре области сходимости степенного ряда). Если степенной ряд имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости, то существует такое число , что ряд абсолютно сходится при всех из интервала , т.е. для которых , и расходится при всех , для которых .

Основные свойства степенных рядов

1. Если радиус сходимости ряда , то этот ряд сходится равномерно на любом интервале , где 0 < r < R.

2. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией внутри его промежутка сходимости.

3.Если ряды и имеют одну и ту же сумму в некоторой окрестности точки x = 0, то они почленно совпадают, т.е. для всех n. Иными словами, разложение функции в степенной ряд единственно.

4. В любом промежутке [0, r], |r| < R степенной ряд можно почленно интегрировать:

.

5. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать:

.

6. Из последнего свойства следует, что если степенной ряд сходится к функции f(x), то эта функция имеет производные всех порядков, а коэффициенты этого ряда имеют вид

Иначе говоря, любой степенной ряд является рядом Тейлора той функции, к которой он сходится.

Ряды Тейлора

Итак, если функция f(x) определена в окрестности точки и сколько угодно раз дифференцируема в этой точке, то её рядом Тейлора называется степенной ряд

Разность

называется остаточным членом (порядка n).

Теорема 4. Для того, чтобы ряд сходился к функции в точке x, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

.

Чтобы проверить выполнение условия в предыдущей теореме, остаточный член обычно представляют в одной из двух удобных форм:

• в форме Лагранжа

• и в форме Коши .

На основании теоремы 3 сформулируем теорему, которая дает простое достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции и может быть применима при разложении функции.

Теорема 5. Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки одним и тем же числом, то для любого из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к ней, т.е. имеет место разложение:

Ряды Тейлора некоторых элементарных функций

Ограничимся частным случаем , т.е. рядами Маклорена, которые чаще используются на практике. Имеют место следующие разложения:

,

,

,

,

,

,

.