Задачи для самостоятельной работы

Задача 3. Исследовать сходимость ряда , если:

а)

;

б)

.

Задача 4. Исследовать сходимость ряда , если:

а)

;

б)

;

в)

.

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера, если:

а)	;	б)	;	в)	;		г)	;
д)	.

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд с помощью радикального признака Коши:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

.

Задача 7. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши, если

а)	;	б)	;			в)	;
г)

Ответы

3. а) Ряд сходится, б) ряд расходится. 4. а) Ряд сходится, б) ряд сходится, в) ряд расходится. 5. а) Ряд расходится, б) ряд расходится, в) ряд расходится, г) ряд сходится, д) ряд сходится. 6. а) Ряд сходится, б) ряд расходится, в) ряд сходится, г) ряд сходится, д) ряд сходится.

7. а) Ряд расходится, б) ряд сходится, в) ряд сходится, г) ряд расходится.

§3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды Теоретический материал

Определение 1. Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Пусть дан знакопеременный ряд

Рассмотрим ряд, состоящий из модулей всех членов данного ряда:

Теорема 1. Если ряд сходится, то сходится и ряд .

Так как ряд сходится, то и сходится ряд , потому что все его члены либо меньше, либо равны членам ряда , и по признаку сравнения он является сходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд, составленный из модулей членов данного ряда

,

сходится (см. пример 5, §2), следовательно, и данный ряд сходится.

Определение 2. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.

Определение 3. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд , составленный из модулей его членов, расходится.

Теорема 1 показывает, что исследование сходимости знакопеременных рядов сводится к исследованию сходимости рядов с неотрицательными членами.

Мы ограничимся исследованием знакочередующихся рядов, являющихся частными случаями знакопеременных.

Определение 4. Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно. При исследовании таких рядов можно ограничиться знакочередующимися рядами вида

,

где положительные числа.

Приведем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.

Теорема 2 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. его члены убывают по модулю,

;

2. его общий член стремится к нулю,

.

При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам .