Образцы решения задач
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом.
Имеем
,
значит,
.
Так
как гармонический ряд
расходится, то и данный ряд расходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим
рядом. Имеем
,
значит,
.
Так как гармонический ряд расходится, то и данный ряд расходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Сравним данный ряд с рядом геометрической
прогрессии
,
который сходится. Имеем
Следовательно,
данный ряд сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Имеем
.
При
вычислении предела воспользовались
тем, что если
,
то
.
Следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда. Но так как
,
т.е. не выполняется необходимое условие
сходимости ряда, значит, предложенный
ряд расходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Для данного ряда получаем
Следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Сравним данный ряд с рядом
,
который, как мы знаем (пример 3, §1),
является сходящимся. Имеем
,
т.е.
,
отсюда по теореме 1 получаем сходимость
исходного ряда
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Напомним,
и
.
Имеем
Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Имеем
.
Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Имеем
,
следовательно, по признаку Даламбера
ряд сходится. При решении воспользовались
тем, что
.
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Имеем
,
следовательно, по признаку Даламбера
ряд сходится.
Пример 10. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Имеем
следовательно, по признаку Даламбера ряд расходится.
Рассмотрим
примеры, иллюстрирующие признак Коши,
который целесообразно использовать,
когда
является n-й
степенью некоторого выражения, например
,
или
.
Пример 11. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Имеем
,
следовательно, по признаку Коши ряд
сходится.
Пример 12. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Напомним, что
.
Имеем
,
следовательно, по признаку Коши ряд
расходится.
Пример 13. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Имеем
,
следовательно, по признаку Коши ряд
сходится.
Пример 14. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Имеем
.
Следовательно,
по признаку Коши данный ряд исследовать
нельзя. С другой стороны,
,
следовательно, не выполняется необходимое
условие сходимости ряда, значит, данный
ряд расходится.
Пример 15. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Используя равенство
,
получаем
,
но этот ряд сходится, так как если
отбросить первых два члена, то он
совпадает с рядом
,
который является сходящимся (см. пример
5).
Пример 16. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
,
.
Решение.
Рассмотрим функцию
,
.
Эта функция непрерывна, монотонно
убывает и
,
следовательно, можно применить
интегральный признак. При
имеем
.
Здесь необходимо рассмотреть два случая:
1)
,
т.е.
,
или
;
следовательно,
стремится к нулю, если
стремится к бесконечности. Тогда
,
таким образом, при данный ряд сходится.
В
частности, ряд
сходится,
т.к.
.
2)
,
т.е.
.
Тогда
неограниченно возрастает при
,
стремящемся к бесконечности, следовательно,
и
данный ряд расходится.
B
частности, ряд
расходится, так как
.
Пример 17. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Рассмотрим функцию
,
.
Эта функция непрерывна, монотонно
убывает и
,
следовательно, можно применить
интегральный признак
,
т.к.
неограниченно возрастает при
,
стремящемся к бесконечности. Следовательно,
ряд расходится.
Пример 18. Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Рассмотрим функцию
,
.
Эта функция непрерывна, монотонно
убывает и
,
следовательно, можно применить
интегральный признак
,
т.к.
неограниченно возрастает при
,
стремящемся к бесконечности. Следовательно,
данный ряд сходится по интегральному
признаку.