Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд .

Задача 2. Доказать, что ряд расходится, если:

а)	;	б)	;
в)	;	г)	.

§2. Числовые ряды с неотрицательными членами Теоретический материал

При анализе рядов, полученных в результате моделирования какой-нибудь конкретной задачи, возникают два вопроса: во-первых, сходится ли полученный ряд, т.е. стабилизируется ли моделируемый процесс, и если он сходится, то, во-первых, найти его сумму. Во многих практических задачах принципиальное значение имеет ответ на первый вопрос. Поэтому мы уделим основное внимание вопросу установления признаков сходимости рядов.

Без доказательства сформулируем признаки сравнения.

Теорема 1. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

, .

, .

Если для любого , то из сходимости ряда следует сходимость ряда и сумма ряда не превосходит сумму ряда ; из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Замечание 1. Утверждение теоремы остается в силе, если существует натуральное такое, что для любого выполняется неравенство .

Теорема 2. Предельный признак сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами , .

Если существует конечный и неравный нулю предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называется обобщенным гармоническим рядом. В примере 16 будет показано, что при данный ряд сходится, а при расходится.

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами. Допустим, что существует и

.

Тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится.

Замечание 2. Если , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся (см. приведенные ниже примеры 4 и 5). В этом случае для решения вопроса о сходимости ряда необходимы дополнительные исследования.

Теорема 4 (признак Коши). Пусть ряд с неотрицательными членами. Допустим, что существует и

.

Тогда:

1. если , то ряд сходится;

2. если , то ряд расходится;

3) если , то ряд может быть как сходящийся, так и расходящийся (см. приведенные далее примеры 14 и 15).

Сформулированный выше признак целесообразно использовать, когда является n-ой степенью некоторого выражения, например , или .

Замечание. Признака Даламбера и признак Коши дают ответ о сходимости только тех рядов, порядок малости членов которых не меньше, чем у ряда геометрической прогрессии, т.е. только для “быстро” сходящихся рядов. С другой стороны, эти признаки устанавливают расходимость только таких рядов, у которых общий член даже не стремится к нулю. Эти признаки, следовательно, являются слишком грубыми. Они неприменимы к рядам с медленно растущими частичными суммами, каким является, например, гармонический ряд.

Сформулируем сейчас признак, который в некоторой степени восполняет этот пробел.

Теорема 4 (интегральный признак). Пусть дан ряд с положительными членами, причем и такая непрерывная монотонно убывающая функция, что . Тогда данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходится или расходится.