4. Элементы теории рядов

§1. Числовые ряды Теоретический материал

Определение 1. Числовой ряд есть алгебраическая сумма бесконечного числа слагаемых. Всякий ряд имеет, таким образом, вид

Причем написанное выражение не имеет последнего члена, но за каждым из слагаемых имеется следующее слагаемое.

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования , а именно:

.

Определение 2. Числа , ,..., ,... называются членами ряда , называется общим членом ряда.

Рассмотрим некоторые примеры рядов. В курсе математики средней школы мы уже встречались с понятием ряда, который получается при вычислении суммы членов геометрической прогрессии:

.

Определение 3. Ряд называется рядом геометрической прогрессии.

Если, например, , , то получим ряд

.

Определение 4. Ряд

называется гармоническим рядом.

Определение 5. Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой ряда.

Если частные суммы ряда становятся все более и более точными приближениями некоторого числа, то ряд мы назовем сходящимся. То есть, если существует число , для которого , ,..., ,... являются приближенными значениями, то называют суммой ряда и пишут

.

Определение 6. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частных сумм , ,..., ,... сходится, т.е. если существует конечный предел

.

Если не существует или , то ряд называется расходящимся и ему не приписывается никакое числовое значение.

Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится и его сумма равна , то для произвольного числа ряд

так же сходится и его сумма, равная . Если же ряд расходится и , то и ряд расходится.

2. Если ряды

и

сходятся и их суммы равны соответственно и , то и каждый из двух рядов

сходится и сумма каждого равна соответственно .

Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

3. Если в ряде добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд

сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму добавленных или отброшенных членов.

4. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Следствие 1. Если n-й член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, ряд может и расходиться.

Образцы решения задач

Пример 1. Исследуем на сходимость ряд геометрической прогрессии .

Решение.

.

Рассмотрим , удовлетворяющее условию .

Тогда

.

Итак, при ряд сходится и его сумма равна . В частности, сумма ряда равна .

Если , то ряд сходится лишь при . В этом случае и, следовательно, . Если и , то

, т.е. ряд расходится.

Если и ,то получим при ряд

,

следовательно , т.е. ряд является расходящимся.

При ряд

,

где , , следовательно, последовательность частичных сумм , 0, , 0,... не имеет предела.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Для частных сумм данного ряда имеем

.

Следовательно, .

Согласно определению 6 ряд является расходящимся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Преобразуем частные суммы данного ряда. Для этого запишем общий член ряда следующим образом:

.

Найдем числа и :

Если две равные дроби имеют одинаковые знаменатели, то и их числители равны, т.е.

или .

Два многочлена являются равными, если равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных, т.е.

Откуда , . Тогда ,

,

,

,

,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

.

Отсюда

, т.к. и .

Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна .

Пример 4. Известно, что ряд сходится. Показать, что сходится и ряд

Решение. Последний ряд получается из ряда умножением на , следовательно, он сходится согласно свойству 1.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

и если он сходится, найти его сумму .

Решение. Данный ряд можно представить в виде

Так как ряды

и

являются рядами геометрической прогрессии, его знаменателями, меньшими единицы, то они сходятся и их суммы равны соответственно , (см.пример 1).

Следовательно, данный ряд сходится по свойству 2 и его сумма равна .

Пример 6. Как известно, ряд геометрической прогрессии является сходящимся. Тогда сходящимся является, например, и ряд , который получается из данного отбрасыванием конечного числа членов: и добавлением слагаемых: .

Рассмотрим необходимое условие сходимости ряда.

Пример 7. Ряд

расходится, так как в силу необходимого признака сходимости (свойство 4)

.

При вычислении предела воспользовались тем, что .

Подчеркнем, что рассматриваемый признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что член стремится к нулю, еще не следует, что ряд расходится, ряд может и расходиться. Примером такого ряда может служить гармонический ряд . Он расходится, хотя

. Чтобы доказать это, напомним, что т.е.

.

Логарифмируя неравенство по основанию e, получим

, или .

Отсюда

, или .

Подставим в полученное неравенство поочередно , , ,..., , .

Получаем неравенства

, , ,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

, .

Сложив почленно эти неравенства, получаем

, т.е. частичная сумма гармонического ряда . Поскольку , получаем , следовательно, гармонический ряд расходится.