6Лабораторная работа №6. Стохастическая система (имитационный метод)

Имитационные методы часто бывают очень полезны при изучении сложных систем. Аналитическими методами можно исследовать толь­ко простейшие СМО, так что при исследовании во­просов, касающихся перегрузок реальных систем обслуживания, при­ходится прибегать к имитационным моделям

Основные предположения. Относительно потока заявок и их обслу­живанием сделаем следующие предположения:

• Заявки поступают от источника заявок по одному через одинаковые интервалы времени 2,4,6, … мин.

• «Раньше пришел — раньше обслужился» т. е. ожидающие заявки образуют очередь, и когда устройство осво­бодится, на обслуживание поступает заявка, имеющее большее время ожидания. Предположим, что вначале в очереди требований нет.

• Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с функцией плотности вероятностей . Формулу для определения времени обслуживания определим из уравнения:

.

Откуда найдем

Учитывая, что случайная величина распределена так же, как и величина , можно вместо последней формулы использовать формулу:

Значения выбираются из таблицы 2 случайных чисел. Такой подход к выбору случайного промежутка времени обслуживания , распределенного в интервале называется методом Монте-Карло.

Пример выполнения работы.

Заявки поступают регулярно в моменты времени 2, 4, 6, … мин. Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с плотностью вероятностей . Требуется выполнить процесс имитации для 10 заявок и определить время ожидания обслуживания для каждой заявки.

Имитация работы системы представлена в таблице 1. В столбцах указывается время поступления заявок, время обслуживания (выбранное по методу Монте-Карло), время ожидания для 10 заявок.

Время ожидания равно нулю, если оно поступило после того, как предыдущая заявка покинула систему. Или же, вычитая время поступления заявки из времени, в которое покидает систему предшествующая заявка, получаем время ожидания обслуживания заявки в очереди.

Таблица 1. Результаты имитации работы системы

Номер заявки	Время поступления	Время обслуживания 	Время, в которое заявка покидает систему	Время ожидания	Случайные числа 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2 4 6 8 10 12 14 16 18 20	0.7 0.9 1.9 0.2 1.9 4.3 3.0 1.4 0.23 1.2	2.7 4.9 7.9 8.2 11.9 16.3 19.3 20.7 20.93 22.13	0 0 0 0 0 0 2.3 3.3 2.7 0.93	0.41 0.49 0.77 0.13 0.77 0.99 0.91 0.65 0.17 0.59

Таблица 2. Случайные числа , равномерно распределенные на отрезке [0, 1]

0.57705 0.71618 0.73710 0.70131 0.16961 0.53324 0.43166 0.26275 0.05926 0.66289

0.35483 0.09393 0.30304 0.55186 0.64003 0.20514 0.00188 0.55709 0.86977 0.31303

0.11578 0.93045 0.93011 0.42844 0.52906 0.09461 0.99602 0.69962 0.31311 0.27004

0.65339 0.93382 0.05758 0.00336 0.88222 0.98585 0.52103 0.91827 0.07069 0.13928

0.66674 0.99279 0.24202 0.94010 0.60981 0.13094 0.35193 0.64560 0.64559 0.68008

Задания к лабораторной работе 6.

Выполнить процесс имитации обслуживания для n заявок, указанных в варианте задания. Вычислите время ожидания обслуживания для каждой заявки и среднее время ожидания обслуживания. Оцените среднее время простоя, приходящееся на одну обслуженную заявку. Во всех вариантах задания дисциплина обслуживания «Раньше пришел — раньше обслужился».

Задания для вариантов 1-12.

Интервалы между поступлениями заявок распределены экспоненциально с функцией плотности вероятностей (коэффициент выбирается в соответствии с вариантом задания). Первая заявка поступает в момент времени . Время поступления остальных заявок, выбирается по методу Монте-Карло. Время обслуживания постоянно и рано секунд.

Вариант задания	n		, сек.
1	15	0.5	1
2	20	0.25	1.5
3	12	0.75	2
4	30	0.4	2.5
5	16	0.45	3
6	18	0.3	3.5
7	22	0.7	4
8	25	0.35	4.5
9	19	0.6	5
10	17	0.65	5.5
11	13	0.54	2.6
12	21	0.72	4.2

Задания для вариантов 13-25.

Заявки поступают регулярно в моменты времени 3, 6, 9, … секунд. Время обслуживания распределено экспоненциально с функцией плотности вероятностей (коэффициент выбирается в соответствии с вариантом задания). Предполагается, что в момент времени в очереди заявок нет.

Вариант задания	n
13	15	0.5
14	20	0.25
15	12	0.75
16	30	0.4
17	16	0.45
18	18	0.3
19	22	0.7
20	25	0.35
21	19	0.6
22	17	0.65
23	26	0.51
24	18	0.33
25	16	0.28