План ускорений и его свойства

План ускорений – построенный в определенном масштабе векторный график, характеризующие ускорения всех точек и звеньев механизма. Произвольная точка р_а, из которой производится построение плана ускорений, называется полюсом плана ускорений.

Построение плана ускорений основано на следующих его свойствах:

1. Неподвижные точки механизмы имеют соответствующие им точки плана ускорений, расположенные в полюсе.

2. Отрезки плана ускорений, проходящие через полюс, изображают абсолютные ускорения. Векторы абсолютных ускорений направлены всегда от полюса.

3. Отрезки плана ускорений, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений, изображают полные относительные ускорения.

4. Концы векторов абсолютных ускорений механизма, принадлежащих одному звену, образуют фигуры, подобные, сходственно расположенные и повернутые относительно фигур, образуемых этими точками на плане механизма.

Пользуясь теоремой подобия, подобную фигуру на плане ускорений необходимо строить методом засечек, соблюдая правило обхода контура.

5. План ускорений позволяет определить величины и направления угловых ускорений звеньев. Угловое ускорение звена направлено в сторону касательного ускорения.

При построении плана ускорений векторы скоростей точек откладываются в масштабе µ_а. Действительное значение ускорений получается путем умножения соответствующего отрезка плана ускорений на масштабный коэффициент плана ускорений.

Примеры построения плана ускорений

Пример 1

Построить план ускорений для кривошипно-шатунного механизма (рис.11).

Дано: размеры звеньев, угловая скорость ведущего звена , положение ведущего звена . Определить ускорения точек А, В, С и угловое ускорение шатуна.

План механизма вычерчен в масштабе. Для него построен план скоростей (рис.11).

1. Выбираем произвольную точку-плюс

2. Звено ОА совершает вращательное движение с угловой скоростью , поэтому и

Направлено параллельно ОА от т.А к т.О. От полюса р_а в выбранном масштабе отложим ускорение т. А в виде вектора , направленного параллельно кривошипу ОА в направлении от А к О (к центру вращения).

3. Звено 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому для т.В, которая принадлежит звену 2, имеем:

Ускорение известно по величине и направлению, величину определяем с плана скоростей:

Направлено ускорение параллельно звену АВ в направлении от т.В к т.А., ускорение известно только по направлению, перпендикулярно АВ.

С другой стороны, т.В принадлежит ползуну – звену 3, совершаемому прямолинейное движение по направляющей х–х, откуда направление ускорения т.В известно – параллельно х–х.

Перепишем уравнение:

решаем его графически. Из конца вектора на плане ускорений параллельно АВ в направлении от В к А откладываем вектор , изображающий . Из конца вектора проводим линию перпендикулярную АВ (линию действия ). Из полюса р_а проводим линию действия ускорения , параллельно х–х. В пересечении этих линий получим т. в. По свойству плана ускорений поставим направление вектора (т.е. от полюса). Соединив т.а и в, получим вектор - вектор полного относительного ускорения . Определяем ускорения:

4. Для определения ускорения шарнира С применим теорему подобия, для чего на векторе плана ускорений следует построить треугольник ~ методом засечек, соблюдая правило обхода контура. Засечка ас определяется из пропорции: , засечка вс – из пропорции . В пересечении этих двух засечек, учитывая правило обхода контура, получим т.с. При соединении т.с с полюсом получим вектор , выражающий ускорение т.С механизма:

5. Определяем угловое ускорение звена 2:

Для выяснения направления переносим ускорение в точку В плана механизма. Как видно из чертежа, создает вращение шатуна АВ вокруг т.А (центра) против часовой стрелки. Таким образом, угловое ускорение направлено против часовой стрелки. Звено движется замедленно, т.к. и направлены в разные стороны.

Пример 2

Построить план ускорений для кривошипно-коромыслового механизма (рис.12).

Дано: размеры звеньев, угловая скорость ведущего звена , положение ведущего звена . Определить ускорения точек А и В и угловые ускорения шатуна и коромысла.

1. Ускорение точки А:

От полюса р_а плана ускорений параллельно ОА в направлении от т.А к т.О в масштабе откладываем вектор ,изображающий ускорение т.А – .

2. Для нахождения ускорения т. В составляем систему уравнений:

Ускорения и находим, используя значения скоростей и (см. план скоростей рис.7). Графически решаем систему этих уравнений.

Первое уравнение. К концу вектора (на плане т.а) пристраиваем вектор параллельно звену АВ в направлении от т. В к т. А. Вектор , поэтому через конец вектора (точка n₁) проводим линию действия .

Второе уравнение. Ускорение т.С равно нулю, следовательно, т.с находится в полюсе р_а. От полюса в направлении от т.В к т.С параллельно ВС откладываем вектор , получим т.n₂, из т.n₂ проводим линию действия вектора . В пересечении линий действий и получим т.в.

Соединив т.в с полюсом р_а, получим вектор , выражающий полное абсолютное ускорение т.В. Соединив т.а с т.в, получим вектор , выражающий полное относительное ускорение т.В относительно т.А.

Определяем:

Определение угловых ускорений звеньев. Угловые ускорения звеньев определяются описанным выше способом.

- направлено против часовой стрелки.

- направлено против часовой стрелки.

Пример 3

Построить план ускорений для кулисного механизма (рис.13).

Дано: размеры звеньев, угловая скорость ведущего звена , положение ведущего звена . Определить: ускорения точек механизма А, С, D, угловые ускорения звеньев 3, 4.

План механизма вычерчен в масштабе (рис.13а). Для механизма построен план скоростей (рис.13б).

1. Звено 1 вращается с постоянной угловой скоростью , поэтому:

От полюса р_а параллельно ОА в направлении от т.А к т.О (рис.14б) откладываем вектор , изображающий ускорение т.А₁.

2. Как и при построении плана скоростей, движение т.А раскладываем на переносное (вращательное движение кулисы 3) и относительное (поступательное движение ползуна 2). Точка А₁ тождественна точке А₂ (А₁ = А₂), поэтому .

Движение шарнира А₂ рассматриваем как сложное: вместе с кулисой 3 и относительно кулисы 3. На основании описанной выше процедуры сложного движения запишем:

где - вектор абсолютного ускорения точки А₂, принадлежащей ползуну;

- вектор абсолютного ускорения т.А₃, принадлежащей кулисе. Кулиса совершает вращательное движение с угловой скоростью .

Величина ускорения определяется как:

Направлено параллельно АВ от т.А к т.В; вектор направлен .

- вектор относительного ускорения т.А₂ относительно т.А₃ не известен по величине, но известен по направлению, параллелен АВ.

- кориолисово ускорение т.А₂:

- определяется по плану скоростей.

- определяется по плану скоростей.

Направление определяется по правилу Жуковского (рис.14а) путем поворота вектора относительной скорости на 90° в направлении .

Решаем графически уравнение таким образом, чтобы известный вектор был замыкающим в многоугольнике ускорений. Для этого от полюса р в направлении от А к В параллельно АВ откладываем вектор , через конец которого проводим линию действия . Вектор - замыкающий, поэтому к другому его концу (т. а₂) пристраиваем известный вектор . Вектор можно пристраивать только так, как показано на плане ускорений (рис.14б). В противном случае вектор не будет замыкающим, т.е. результирующим векторной суммы.

Через начало вектора (т.а₂) параллельно АВ проводим линию действия относительного ускорения . В пересечении линий действия и получим точку а₃ – решение данного уравнения. Согласно правилу векторной суммы расставим направление векторов, как показано на рис. 12б.

Определяем значения ускорений:

3. Определив ускорение т.А₃ и зная, что в полюсе плана ускорений расположена точка в, соответствующая ускорению неподвижного шарнира В, из пропорции находим положение т.с на плане ускорений: .

Вектор представляет собой абсолютное ускорение т.С механизма: .

4. Для определения ускорения т. D составим уравнение:

Абсолютное ускорение известно по направлению (// х–х), поэтому из полюса плана ускорений проводим прямую, параллельную х–х. К концу вектора параллельно DС в направлении от т.D к т.С пристраиваем вектор , величина которого .

Через конец вектора (т.d) проводим линию действия перпендикулярно DC. На пересечении этого перпендикуляра с горизонтальной прямой, проведенной через полюс р_а, представляющей линию действия , получим т.d – конец вектора , выражающего ускорение т.D.

Ускорения:

5. Величины и направления угловых ускорений звеньев определяем, как и в примере 1.

- направлено против часовой стрелки.

- направлено по часовой стрелке.

ЗАДАНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКУЮ РАБОТУ И ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА

Требуется решить три основные задачи кинематического анализа механизма:

1. Построить план положения механизма в положении, заданном угловой координатой .

2. Построить план скоростей для всех подвижных точек механизма, указанных на схеме. Определить угловые скорости звеньев;

3. Построить план ускорений для указанных точек. Определить угловые ускорения звеньев.

Планы положения, скоростей и ускорений построить на листе формата А3 с обязательным указанием масштабных коэффициентов. Номер варианта выдается преподавателем.

Структурные схемы и размеры звеньев приводятся в таблицах 2 – 4.

Задания I типа (№ 1 – 30) [2] рекомендуются для студентов, изучающих теорию механизмов и машин в курсах «Прикладная механика», «Теоретическая механика», «Механика». Для их выполнения достаточно рассмотреть примеры 1 и 2.

Задания II типа (№ 31 – 50) (кулисные механизмы) выполняются после рассмотрения примеров 1, 2 и 3.

Таблица 2. Числовые данные заданий I типа

№ варианта	φ, град.	Длина звеньев, м					Расстояния, м
1	200	0,18	0,23	0,18	0,22	0,23	0,14	0,28	-	0,28	-	0,21	0,21	0,48	0,38	-	0,42
2	60	0,56	0,10	0,26	0,16	0,25	0,21	0,25	-	-	0,20	0,54	0,52	0,69	0,35	-	0,32
3	90	0,15	0,25	0,54	0,35	-	0,15	0,28	-	0,58	-	0,42	0,21	0,47	0,26	-	0,31
4	155	0,26	0,15	0,23	-	-	0,15	0,65	-	-	-	0,51	0,22	0,38	-	-	-
5	125	0,19	0,19	0,10	0,22	-	0,12	-	0,19	-	-	0,55	0,19	0,23	-	0,38	0,22
6	60	0,65	0,49	-	-	-	0,15	0,29	-	0,24	-	0,50	0,25	0,32	0,23	-	0,39
7	250	0,11	0,42	0,11	0,07	0,24	0,16	0,34	-	-	0,41	0,25	0,25	0,42	0,21	-	0,49
8	90	0,27	0,18	0,14	0,15	0,30	0,14	0,29	-	0,23	-	0,55	0,32	0,15	-	0,45	-
9	200	0,23	0,19	0,20	0,28	0,21	0,21	0,31	-	0,25	-	0,65	0,62	0,31	-	0,11	0,29
10	20	0,55	0,21	0,25	-	-	0,15	-	0,24	-	-	0,70	0,35	0,33	-	0,17	0,12
11	50	0,50	0,30	-	-	-	0,14	0,29	-	-	-	0,45	0,54	0,34	-	0,37	-
12	55	0,10	0,86	0,32	0,28	-	0,21	-	-	0,55	-	0,60	0,30	0,19	0,60	-	0,49
13	315	0,17	0,54	-	-	-	0,15	-	0,40	-	-	0,50	0,35	0,40	0,22	0,22	0,50
14	0	0,28	0,40	0,06	0,18	0,15	0,15	0,31	-	0,15	-	0,50	0,25	0,70	0,35	-	0,50
15	220	0,46	0,31	-	-	-	0,15	0,20	-	0,20	-	0,45	0,15	0,31	0,17	0,17	0,37
16	40	0,36	0,22	0,15	-	-	0,15	0,20	0,40	-	-	0,45	0,20	0,24	-	0,40	-
17	145	0,96	-	-	-	-	0,15	0,28	-	-	-	0,84	0,20	0,51	-	-	-
18	45	0,70	0,09	0,37	-	-	0,16	-	0,39	-	0,25	0,78	0,38	0,41	0,19	-	0,57
19	40	0,42	0,39	-	-	-	0,20	-	0,20	-	-	0,71	0,30	-	-	0,57	-
20	145	0,27	0,24	0,30	-	-	0,20	0,50	-	-	0,30	0,80	0,32	0,58	0,29	-	0,35
21	115	0,46	-	-	-	-	0,15	-	0,45	-	-	0,78	0,39	0,26	0,52	-	0,38
22	305	0,46	0,23	0,11	-	-	0,15	0,15	-	0,38	-	0,44	0,25	0,30	0,22	0,15	0,40
2 3	130	0,31	0,30	0,50	-	-	0,15	0,30	-	0,50	-	0,40	0,16	0,60	0,30	-	0,30
24	115	0,36	0,39	0,13	0,31	-	0,17	0,23	-	0,17	-	0,35	0,11	0,45	0,25	0,25	0,44
25	325	0,72	0,36	-	-	-	0,15	-	0,30	-	-	0,76	0,46	0,50	0,35	-	0,51
26	215	0,36	0,53	0,36	0,32	-	0,19	0,40	-	-	0,19	0,76	0,38	0,68	0,35	-	0,29
27	140	0,71	0,27	0,32	0,40	-	0,16	0,30	-	0,50	-	0,46	0,33	0,40	0,20	-	0,50
28	215	0,30	0,20	0,35	-	-	0,19	-	0,19	-	-	0,59	0,29	0,24	-	0,48	0,36
250,460,280,17--0,160,25-0,75-0,500,110,33-0,260,4429	180	0,35	0,15	0,38	0,07	-	0,10	0,16	-	0,15	-	0,50	0,33	0,16	-	0,45	0,33
30

З Таблица 2 адания I типа
1.	2.
3. 5.	6. 4.
7.	8.
9. 11.	10. 12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
Задания II типа
31.	32.
33.	34.
35. 37.	36. 38.
39.	40.
41 43	42 44
45	46
47	48
49	50

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прикладная механика: учебник для вузов/ В.В. Джамай, Ю.Н. Дрозов, Е.А. Самойлов и др.; под ред. В.В. Джамая. – М.: Дрофа, 2004. – 414 с

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учебное пособие для вузов/ Под ред. А.А. Яблонского. – 15-е изд., стер. – М.: Интеграл – Пресс, 2006 – 384 с

3. Хлебосолов О.Г. Графоаналитические методы расчета механизмов с использованием ЭВМ// Теория механизмов и машин. – 2004, №2 (4),с. 40 – 44

24