Задачи для самостоятельного решения

1. Написать программу полного исследования совокупности корней биквадратно­го уравнения.

2. Написать программу вычисления Р по формуле

где п - заданное натуральное число.

3. Написать программу вычисления

4. Проверить, делится ли заданное натуральное число на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

5. Вычислить max(min(3,5),nun(2,6)).

6*. Задача Ферма. Найти квадрат, который в сумме со всеми его собственными делителями дает куб.

7*. Вычислить (результат принадлежит Сринивазу Рамануджану):

Ответ 3

8*. Вычислить (результат принадлежит Сринивазу Рамануджану):

где знаки перед корнями периодически повторяются группами по три "-","+","-"

Ответ 1+2 sin 20°

9*. Вычислить (результат принадлежит Сринивазу Рамануджану):

где знаки перед корнями периодически повторяются группами по три "-","+","-".

Ответ 1+4 sin 10°

10*. Вычислить (результат принадлежит Сринивазу Рамануджану)

где знаки перед корнями периодически повторяются группами по три "-","+","-".

Ответ 1+4 sin 20°

11*. Замечательным достижением Франсуа Виеты является введение в математи­ку задачи о нахождении бесконечного произведения Вычислить

Разумеется, Виета не доказывает сходимости полученного бесконечного произве­дения, будучи интуитивно уверенным, в справедливости своего предельного утвержде­ния. Ответ 2/

12. По вещественному х вычислить значение функции sh(x)tg(x+l)-tg²(2+sh(x-l)).

13. Описать функцию Stepen(x,n) от вещественного х и натурального п, вычис­ляющую (посредством умножения) величину хⁿ, и использовать ее для вычисления b=2.7^k+(a+1)^-5

14. Даны три натуральных числа. Определить их наибольший общий делитель.

15. Даны отрезки а,b,с и d Для каждой тройки этих отрезков, из которых можно построить тре­угольник, напечатать площадь данного треугольника Определить проце­дуру Р1(х, у, z), пе­­чатающую площадь треугольника со сторонами x, y и z, если такой треугольник существует.

16. Пусть процедура maxmin(x, у) присваивает параметру х большее из вещест­венных чисел х и у, а параметру у - меньшее. Описать данную процедуру и использо­вать ее для перераспределения значений вещественных переменных а, b и с так, чтобы стало, а b с.

17. Даны координаты вершин двух треугольников. Определить, какой из них име­ет большую площадь.

18. Описать процедуру Socr(a, b, p, q) от целых параметров (b0), которая приводит дробь к несократимому виду .

19. Пусть процедура Socr(a, b, p, q) от целых параметров (b0) приводит дробь к несократимому виду . Описать данную процедуру и использовать ее для приведения дроби к несократимому виду .

20. Даны длины a, b и с сторон некоторого треугольника. Найти медианы тре­угольника, сторонами которого являются медианы исходного треугольника Длина ме­дианы, проведенной к стороне а, равна .

21. Описать функцию , где n и m - неотрицательные целые числа.

22. Даны координаты вершин треугольника и координаты некоторой точки внут­ри него. Найти расстояние от данной точки до ближайшей стороны треугольника (При определении расстояний учесть, что площадь треугольника вычисляется и через три его стороны, и через основание и высоту).

23. Три прямые на плоскости заданы уравнениями а_k х + b_k, у = с_k, k = 1,2,3. Ес­ли эти прямые попарно пересекаются и образуют треугольник, тогда найти его пло­щадь.

24. Найти наименьшее общее кратное четырех заданных натуральных чисел.

25. Два простых числа называются близнецами, если они отличаются друг от дру-га на 2 (таковы, например, числа 41 и 43) Напечатать все пары "близнецов" из отрезка [n,2n], где п - заданное целое число, большее двух. Воспользоваться функцией распо­знавания простых чисел.

26. Два натуральных числа называются 'дружественными", если каждое из них равно сумме всех делителей другого, за исключением его самого (таковы, например, числа 220 и 284) Напечатать все пары "дружественных" чисел, не превосходящих за­данного натурального числа

27. Задача Ферма. Найти куб, который в сумме со всеми его собственными дели­телями дает квадрат. Ответ 343

28. Дано четное число п>2. Проверить для этого числа гипотезу Гольдбаха. Эта гипотеза (по сегодняшний день не опровергнутая и полностью не доказанная) заключа­ется в том, что каждое четное и, большее двух, представляется в виде суммы двух про­стых чисел. Воспользоваться функцией распознавания простых чисел.

29. Дано натуральное число n. Выяснить, является ли оно полным квадратом. Оп­ределить функцию, позволяющую распознавать полные квадраты.

30. Даны натуральное число п. Выяснить, является ли оно степенью пятерки. Оп­ределить функцию, позволяющую распознавать степени пятерки.

31. Дано натуральное число п. Выяснить, является ли оно простым. Определить функцию, позволяющую распознавать простые числа.

32. Даны три натуральных числа. Определить их наибольший общий делитель.

33. Числа Фибоначчи u₀,и₁,и₂, определяются следующим образом u₀=1, u₁=2, un=u_n-1+u_n+1 (п=2,3,....). Написать программу вычисления к, для данного неотрицательно­го целого и, включающую использование нерекурсивной функции.