5.4. Скобочные формы бф
Тупиковые
ДНФ и КНФ могут быть не самыми короткими
формулами БФ. Например, формула
имеет длину L=4,
но если вынести за скобку переменную
х1,
то получим
,
и длина формулы уменьшается до L=3.
Такая форма БФ носит название скобочной.
Рассмотрим БФ от шести переменных:
.
Преобразуем ДНФ в скобочную форму, вынося одинаковые переменные:
Комбинационные схемы, реализующие оба варианта БФ Z, представлены на рис. 5.12.
Рис. 5.12. Реализации БФ Z:
а – по формуле ДНФ; б – по скобочной формуле
Рассмотрим еще один пример построения скобочной формы функции, заданной ДНФ: Q=ABE+ABF+ACDE+BCDF.
Перепишем функцию в несколько ином виде и вынесем за скобки общие сомножители:
Q= ABE+ABF+ACDE+BCDF=AB(AE+BF)+CD(AE+BF)=(АE+BF)(AB+CD).
Цена схемы для исходной функции С=18, для функции после преобразования в скобочную форму С=14. На рис. 5.13 приведены КС, реализующие обе функции.
Рис. 5.13. Реализация функции Q:
а – в форме ДНФ; б – в скобочной форме
Для контактных (релейных) схем скобочные формулы также дают более короткую реализацию.
При преобразованиях формул бывает выгодно выделить общую часть в виде
Такой фрагмент БФ реализуется в электронных схемах с помощью элементарной функции «исключающее ИЛИ» (рис. 3.1, е), а в схемах на реле – парой переключающих контактов (рис. 3.13, д).
Задана БФ R=(0,1,3,12,13,15). Минимизация картой Карно дает результат (рис. 5.14, а). Если же минимизировать эту функцию как ДНФ (рис. 5.14, б) или раскрыть скобки в формуле КНФ, то получим другую формулу этой функции
Функция RКНФ реализована на логических элементах (рис. 5.14, в) и на реле (рис. 5.14, д). При реализации RДНФ на электронных элементах использован элемент «исключающее ИЛИ» (рис. 5.14, г), а в релейной схеме (рис. 5.14, е) использованы переключающие контакты реле.
Рис. 5.14. Реализация функции R:
а – карта Карно для КНФ; б – карта Карно для ДНФ;
в – электронная реализация RКНФ; г – релейная реализация RКНФ;
д – электронная реализация RДНФ; е – релейная реализация RДНФ
5.5. Применение законов поглощения для упрощения формул бф и кс
Законы поглощения в общем виде для конъюнктивной формы можно записать в следующем виде:
Например,
для функции
выполним
алгебраические преобразования и
преобразования с использованием
выражения (5.1):
Результаты в обоих случаях одинаковы.
Для
функции
проведем преобразования с использованием
выражения (5.2):
И в этом случае результаты одинаковы. Отсюда следует ряд правил, которые можно использовать для упрощения как контактных (релейных), так и логических схем.
Если на выходе электронной схемы включен логический элемент И, на вход которого поступает переменная А, то на всех входах других элементов схемы вместо одноименных переменных А можно подать постоянный уровень «1», а вместо инверсного значения переменной Ā подать уровень «0». Пример преобразования приведен на рис. 5.15 (а), 5.15 (б).
Рис. 5.15. Упрощение комбинационной схемы:
а – прямая переменная; б – инверсная переменная
Если последовательно с контактной схемой включен одиночный контакт реле, то все одноименные контакты этого реле можно закоротить, а все разноименные контакты исключить из схемы. Пример преобразования приведен на рис. 5.16 (а), 5.16 (б).
Рис. 5.16. Упрощение комбинационной схемы на реле:
а – прямая переменная; б – инверсная переменная
Для дизъюнктивных нормальных форм БФ законы поглощения имеют вид:
Правила упрощения электронных и контактных схем формулируются следующим образом:
если на выходе электронной схемы включен элемент ИЛИ, на вход которого подается переменная хк, то на входах всех элементов вместо этой переменной можно подать 0, а вместо инверсного значения переменной подать 1. Пример приведен на рис. 5.17 (а), рис. 5.17 (б);
если параллельно контактной схеме включен одиночный контакт реле, то все одноименные контакты этого реле можно исключить из схемы, а все разноименные контакты закоротить. Пример преобразования приведен на рис. 5.18 (а), рис. 5.18 (б).
Проведем алгебраические преобразования функций и покажем их тождественность при применении формул (5.1) и (5.2).
БФ, описывающие КС рис. 5.15 (а). Выход каждого логического элемента и всей КС:
Если к выходной функции D8 применить 5.1, то получится следующая формула:
Рис. 5.17. Упрощение комбинационной схемы:
а – прямая переменная; б – инверсная переменная
Рис. 5.18. Упрощение комбинационной схемы на реле:
а – прямая переменная; б – инверсная переменная
Обе формулы совпадают. Для схемы на рис. 5.15 (б)
При использовании формулы 5.1 выход D5 вычисляется как
КС на рис. 5.16 (а) описывается БФ, которая после алгебраических преобразований и преобразований с помощью выражений 5.1 и 5.2 имеют вид:
Для схемы на рис. 5.16 (б):
Для этой же схемы с учетом формулы 5.2:
Для схемы на рис. 5.17 (а) алгебраическое преобразование и преобразование с помощью формулы 5.3 имеет вид:
Такие же преобразования для схемы на рис. 5.17 (б):
Для контактной схемы на рис. 5.18 (а)
Для контактной схемы на рис. 5.18 (б)
