5. Не полностью определенные булевы функции

5.1. Не полностью определенные бф

Для некоторых БФ значение функции на некоторых наборах может быть неопределенным. Это происходит, если данная комбинация двоичных входных переменных никогда не может образоваться, или не определено значение функции, т. е. не важно, какое значение принимает функция 0 или 1. Если значение БФ на некоторых наборах не определено, то такая БФ называется не полностью определенной. В таблице истинности значения БФ на этих наборах обозначаются крестом (Х), в отличие от определенных значений, обозначаемых 0 или 1. Например, не полностью определенная БФ f1 задана таблицей истинности (табл. 5.1, а).

Таблица 5.1

Таблица истинности БФ f₁

Из табл. 5.1 (а) видно, что на 0, 1, 8, 10 наборах данная функция не определена. Эту функцию можно доопределить. Для этого вместо неопределенных значений БФ нужно поставить определенные, т. е. либо 0, либо 1. Очевидно, что в данном случае это можно сделать 16-ю способами, т. е. возможно построить 16 таблиц. Например, один из вариантов – это табл. 5.1 (б). Минимизация такой БФ аналитическими преобразованиями или картами Карно-Вейча будет состоять в рассмотрении всех возможных доопределений функции, минимизации их и выборе наименьшей формулы БФ. Таким образом, задача минимизации усложняется и для некоторых БФ может оказаться очень трудоемкой.

При задании не полностью определенных БФ числовым способом, не определенные наборы заключаются в дополнительные скобки, например, для f1, заданной СДНФ f1=(2,4,9,11(0,1,8,10)), а при задании этой же функции в СКНФ f1=(3,5,6,7,12,13,14,15(0,1,8,10)).

5.2. Минимизация не полностью определенных булевых функций с помощью карт Карно-Вейча

При минимизации не полностью определенных БФ с помощью карт Карно-Вейча алгоритм образования контуров дополняется следующим:

1. при образовании контура, клетки карты, отмеченные Х, т. е. неопределенным значением, в любой момент времени, если это выгодно для образования контура большего размера, могут считаться отмеченными 1 для СДНФ или 0 для СКНФ;

2. любой контур не должен покрывать только клетки, отмеченные неопределенными значениями Х;

3. не все клетки, отмеченные Х, могут быть использованы при образовании контуров.

На рис. 5.1 (а) показана карта Карно, на которую нанесена БФ f1 и проведена ее минимизация.

Рис. 5.1. Минимизация БФ f1 в форме СДНФ

а – не полностью определенная; б – доопределенная по табл. 5.1 (б)

Функция (рис. 5.1, а) покрывается тремя контурами и описывается следующей формулой

Если же БФ доопределить в соответствие с табл. 5.1 (б), то контуры, покрывающие ее будут иметь вид, как на рис. 5.1 (б), а сама функция примет вид:

Очевидно, что второй вариант менее выгоден.

На рис. 5.2 приведены примеры не полностью определенных БФ S_i и проведена их минимизация (используются карты Карно и Вейча):

Рис. 5.2. Минимизация не полностью определенных БФ:

1. БФ S1=(1,2,3,5,7,8,12(0,4,11,13,14,15)) (рис. 4.2 а) (L=6, C=9)

2. БФ S2=(2,3,5,9,14(0,1,7,11,12,13,15)) (рис. 4.2 б) (L=5, C=7)

3. БФ S3=(1,3,10,13(0,2,4,15)) (рис. 4.2 в) (L=8, C=11)

4. БФ S4=(0,1,4,5,6,8,9,13,14(7,10,11,12)) (рис. 4.2 г) (L=3, C=4)

5. БФ S5=(1,3,5,6,9,13,15(0,2,7,10,11)) (рис. 4.2 д) (L=3, C=4)

6. БФ S6=(1,3,6,7,8,12,14,15(2,5,10,11)) (рис. 4.2 е) (L=5, C=7)

7. БФ S7=(0,1,2,3,7(5)) (рис. 4.2 ж) (L=2, C=2)

8. БФ S8=(0,4,5,6(3,7)) (рис. 4.2 з) (L=3, C=4)