2.5.Число молекул, ударяющихся о стенку сосуда

При решении ряда задач, встречающихся в вакуумной технике, часто тре­буется знать среднее число молекул газа n , ударяющих­ся о единицу поверхно­сти стенки за единицу времени. Для числа ударов кинетическая теория дает выражение

(2.16)

Подставив в уравнение (2.16) значение n из (2.15) и из (2.6), получим

(2.17)

Следовательно, при постоянной температуре число ударов молекул о стенку пропорционально давлению газа. Заменяя в уравне­нии (2.17) массу мо­лекулы m молекулярной массой М, имеем

(2.18)

если Р выражено в мм рт.ст., Т в Кельвинах, М в граммах.

2.6.Направление скоростей молекул после удара о стенку

Многочисленные опыты показывают, что молекулы газа после удара о стенку отлетают от нее в направлениях, совершенно не связанных с углом их падения, и подчиняются “закону косинуса”:

(2.19)

где n - число молекул, отлетающих в единицу времени по нормали к поверхно­сти и заключенных в единице телесного угла; - число молекул, отлетающих под каким-либо другим углом по отношению к нормали.

Этот механизм вытекает из механизма соударения, согласно которому мо­лекулы, ударяясь о стенку, не отрекаются, как упру­гие шары, а удерживаются на ней силами сцепления в течение не­которого времени. Затем под влиянием теплового движения в твер­дом теле они покидают стенку, подчиняясь вероят­ностным законам испарения.

2.7.Число взаимных столкновений молекул газа.

Находясь в хаотическом движении, молекулы газа не только ударяются о стенки сосуда, но и непрерывно сталкиваются между собой. Вследствие этого каждая молекула движется по сложной пространственной ломаной траектории, прямолинейные участки ко­торой соответствуют ее свободному перемещению без столкновений. Для подсчета числа столкновений молекулы газа рассматри­ваются как твердые шары радиуса r, а их соударения считают упругими. При этих допущениях столкновения двух молекул могут иметь место тогда, когда расстояние между их центрами меньше 2r (рис.2.2). Предположив, что все мо­лекулы неподвижны, за исключением одной

Рис.2.2. К вычислению средней длины свободного пробега моле­кул газа

(меченой), движущейся со скоростью u, найдем, что число столк­новений одной молекулы за единицу, времени будет равно коли­честву молекул, которые встретятся на пути меченой молекулы, и центры которых находятся в объеме цилиндра с радиусом и высотой, численно равной скорости U, т.е.

(2.20)

где n - число молекул газа в единице объема.

В действительности же все молекулы газа участвуют в теп­ловом движе­нии, и их скорости распределены согласно закону Максвелла - Больцмана. Учет этого обстоятельства позволяет уточнить формулу (2.20):

, (2.21)

где - средняя арифметическая скорость молекул газа.

Так как все n молекул движутся друг относительно друга, то полное число со­ударений Z, имеющих место в единице объема за единицу времени, можно по­лучить умножением выражения (2.21) на n/2, потому что теперь каждое соуда­рение учитывается дважды. Тогда окончательно имеем

, (2.22)

или с учетом уравнения (2.6)

. (2.23)

2.8.Средняя длина свободного пробега молекул газа

Вследствие хаотичности теплового движения прямолинейные участки мо­лекул газа между двумя столкновениями не могут быть одинаковыми. Однако из-за наличия определенного закона распре­деления длин свободных пробегов можно, аналогично понятию сред­ней скорости теплового движения, говорить о средней длине пря­молинейных участков между двумя столкновениями. Эта ве­личина также является вполне определенной и называется средней длиной сво­бодного пути или средней длиной свободного пробега . Ее можно опреде­лить, разделив средний путь, проходимый одной моле­кулой за единицу вре­мени , на число свободных пробегов (число соударений):

, (2.24)

Отсюда видно, что средняя длина свободного пробега в одно­родном газе обратно пропорциональна концентрации молекул, а, следовательно, в соответ­ствии с уравнением (2.14) зависит от давления газа

, (2.25)

Подставив в уравнение (2.25) значение константы Больцмана и выразив Т в кельвинах, Р в мм рт.ст., в сантиметрах, получим

(2.26)

В приближенных расчетах для легких газов (, , , , воздух и ) обычно пользуются величиной . Тогда формула (2.26) упрощается до вида

. (2.27)

Принятое выше допущение, что молекулы газа в процессе соу­дарения взаимодействуют чисто механически как твердые упругие шары, приводит к независимости средней длины свободного пробега от температуры. Однако, из опыта хорошо известно, что с пониже­нием температуры средняя длина свобод­ного пробега уменьшается. Более точный расчет, проведенный с учетом зави­симости газокине­тического эффективного радиуса молекулы от скорости, также дает зависимость средней длины свободного пробега молекул от темпе­ратуры газа

, (2.28)

где - средняя длина свободного пробега при температуре Т; С - постоянная Сезерленда, т.е. температура, при которой газоки­нетический поперечник моле­кулы удваивается. Для воздуха С = 113.

Для оценки длин свободного пробега молекул воздуха при лю­бых давле­ниях и комнатной температуре можно пользоваться приб­лиженным выраже­нием

. (2.29)