Лабораторная работа №4

Решение нелинейных уравнений

Цель работы. Изучение численных методов решения нелинейных уравнений.

Задание. Решить нелинейное уравнение указанными в табл.7 методами, предварительно определив интервал [a,b], на котором существует решение уравнения. Сделать проверку решения.

Варианты заданий. Варианты уравнений и методов их решения приведены в табл.7.

Таблица 7

Вар.	Уравнение	Методы решения
1	x=exp(-x)	перебора и половинного деления
2	x=cos(x)	перебора и хорд
3	х=x2-1	перебора и касательных
4	x=2exp(-x)	перебора и хорд-касательных
5	x=exp(-3x)	перебора и половинного деления
6	x=3cos(x)	перебора и хорд
7	x=exp(-3x2)	перебора и касательных

Продолжение таблицы 7

Вар.	Уравнение	Методы решения
8	x=tg(x)	перебора и хорд-касательных
9	x=cos(2x)	перебора и половинного деления
10	x=tg(2x)-1	перебора и хорд
11	x=exp(-3x)+1	перебора и касательных
12	x=exp(-x2)	перебора и хорд-касательных
13	x= ln(x)+2	перебора и половинного деления
14	x=exp(-3x)	перебора и хорд
15	x2=exp(-x2)	перебора и касательных
16	x=2exp(-3x)+1	перебора и хорд-касательных
17	x=exp(-x2)+2	перебора и половинного деления
18	x= ln(x)+3	перебора и хорд
19	x=3exp(-3x)	перебора и касательных
20	x2=exp(-x2)-1	перебора и хорд-касательных
21	x=exp(-3x2)	перебора и половинного деления
22	x=tg(x)	перебора и хорд
23	x=cos(2x)	перебора и касательных
24	x=tg(2x)-1	перебора и хорд-касательных
25	x=exp(-3x)+1	перебора и половинного деления

Математическое описание. Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...¥ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.

1. Метод перебора. При решении нелинейного уравнения методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)>0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x=x+h) . Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x,x+h] существует решение уравнения. Структограмма метода приведена на рис.3.

Пока F(x)*F(x+h)>0
	x=x+h		Рис.3

2. Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность . Затем определяется середина интервала с=(а+в)/2 и проверяется условие F(a)´F(c)<0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу (а=с). Деление отрезка пополам продолжается покаúb-aú>. Структограмма решения нелинейных уравнений методом половинного деления приведена на рис.4.

Пока úb-aú>
	c=(a+b)/2
	F(a)´F(c)<0 да нет
	b=c	a=c

Рис.4

3. Метод хорд. При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и точность . Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)*F(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку с переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности úF(c)ú<Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (попытайтесь получить формулу самостоятельно). Структограмма метода хорд показана на рис.5.

Пока úF(c)ú>
	\EMBED Equation
	F(a)´F(c)<0 да нет
	b=c	a=c

Рис.5

4. Метод касательных. При решении нелинейного уравнения методом касательных задаются начальное значение аргумента x_o и точность . Затем в точке (x_o,F(x_o)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x₁. В точке (x₁,F(x₁)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x₂ и т.д. Указанную процедуру повторяем пока úF(x_iú >Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x_o)* (x_o)>0. . Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.6.

Пока úF(x)ú>
			Рис.6

5. Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F^'(x_i) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных . Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.

6. Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x_o и точность . Первое приближение решения x₁ находим из выражения x₁=f(x₀), второе - x₂=f(x₁) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле x_i+1 =f(x_i. Указанную процедуру повторяем пока úf(x_ix_iú > Условие сходимости метода итераций . Структограмма метода итераций показана на рис.7.

Пока úf(xixiú >
	xi+1 =f(xi		Рис.7

Содержание отчета:

1. Название, цель работы и задание.

3. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.

5. Результаты расчета, проверка и выводы по работе .