Лекция № 31

1. Дискретизация периодических сигналов

Модель дискретного сигнала вида 3 лекции 30 предполагает, что отсчетные значения аналогового колебания х (t) могут быть получены в неограниченном числе точек на оси времени. Практически получить столь обширные сведения о сигнале, безусловно, невозможно, поскольку обработка всегда ведется на конечном интервале времени.

Дискретное преобразование Фурье.

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов и сопоставим исходному колебанию x(t) его дискретное МИП-представление:

Представим дискретную модель 1комплексным рядом Фурье:

с коэффициентами

Подставляя формулу (1) в (3) и вводя безразмерную переменную , получим:

Используя фильтрующее свойство дельта-функции, имеем:

Формула (5) определяет последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Свойства ДПФ:

1. Сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ.

2. Число различных коэффициентов Со, C₁, С₂,…, C_N-₁ равно числу N отсчетов за период; при n = N коэффициент C_N = Со.

3. Коэффициент С_о (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчетов:

4. Если N - четное число, то

5. Пусть x_k- вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N /2, образуют сопряженные пары:

2.Обратное дискретное преобразование Фурье.

Задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена заданы и по-иному. Допустим, что коэффициенты образующие ДПФ. Положим t = kΔ и учтем, что суммируется лишь конечное число членов ряда, которые отвечают гармоникам, содержащимся в спектре исходного сигнала. Тогда:

Формула (9) выражает алгоритм обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).

Алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Чтобы вычислить ДПФ или ОДПФ последовательности из N элементов, требуется выполнить N² операций с комплексными числами. Выходом из положения явился алгоритм быстрого преобразования Фурье (Б ПФ).

Предположим, что число отсчетов N = 2^Р, где р - целое число. Разобьем входную последовательность на две части с четными и нечетными номерами:

Тогда:

Последовательности коэффициентов, относящихся к четной и нечетной частям входного массива, являются периодическими с периодом N /2:

Множитель при n > N /2 можно преобразовать так:

Тогда:

Формулы (11) и (12) лежат в основе алгоритма БПФ. Далее вычисления строят по итерационному принципу: последовательности отсчетов с четными и нечетными номерами вновь разбивают на две части. Процесс продолжается до тех пор, пока не получится последовательность, состоящая из единственного элемента. ДПФ этого элемента совпадает с ним самим.

3. Дискретная свертка.

По аналогии с обычной сверткой двух сигналов:

вводят дискретную свертку - сигнал, отсчеты которого связаны с отсчетами дискретных сигналов и соотношением

.

При этом найдем связь между коэффициентами дискретной свертки и ДПФ сигналов , .

Воспользовавшись свойствами ортогональности элементов базиса Фурье:

Так как формула (16) есть ОДПФ, можно прийти к выводу, что коэффициенты преобразования Фурье свертки являются произведениями коэффициентов ДПФ свертываемых сигналов.