3.Равномерное распределение.

Пусть некоторая случайная величина X может принимать значения, принадлежащее лишь

причём вероятность попадания в любые внутренние интервалы одинаковой ширины равны. Тогда :

(16)

Функцию распределения найдём :

(17)

Математическое ожидание:

(18)

Совпадает с центром отрезка

дисперсия (19)

Гауссово (нормальное) распределение.

Гауссова плотность вероятности определяется:

(20)

Содержит два числовых параметра ., которые имеют ожидания и дисперсии .

Функция распределения Гауссовой случайной величины.

(21)

Заменим переменную (22)

(23)

Ф(x) – интеграл вероятностей

Плотность вероятности функции от случайной величины.

Пусть Y –случайная величина, связь с X зависимостью вида . Попадание случайной точки x в интервал dx и попадание случайной точки Y в являются эквивалентными событиями, поэтому вероятности их совпадают: . Отсюда

(24)

Где x=g(y) функция обратная по отношению к y=f(x). Если функциональная связь неоднозначна, так, что имеется несколько обратных функций то формулу 24 можно обобщить:

(25)

4.Характеристические функции.

Среднестатического вида

(26) называется характеристической функцией случайной величины X. Это то же преобразование Фурье и

Для случайных величин равномерно распределенной на отрезке

(28)

Для Гауссовой случайной величины:

(29)

Располагая характеристической функцией легко найти моменты случайных величин:

(30)

С помощью характеристической функции удобно находить плотность вероятности случайных величин.

Лекция №14

Статические характеристики систем случайных величин.

1)Статические характеристики в многомерном случае.

2)Корреляция.

3)Случайный процесс.

Функция распределения и плотность вероятности.

Пусть даны случайные величины образующие n – мерный случайный вектор по аналогии с одномерным случаем

отвечающая ей плотность вероятности (1) удовлетворяет соотношению:

(2)

Очевидно, что (3)

любая многомерная плотность обладает обычными свойствами.

ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ.

Располагая соответствующей многомерной плотностью вероятности, можно находить средние значения :

1.Матеметическое ожидание

и дисперсия (5)

(6)

Специальный момент второго порядка:

(7)

Корреляция.

Предположим, что проведена серия опытов в результате которых каждый раз наблюдается двумерная случайная величина .

Может оказаться. Что изображающие точки в среднем располагаются вдоль некоторой прямой, так, что имеют чаще всего одинаковый знак, это наводит на мысль, что между имеется статическая связь – называемая корреляцией. Если значения расположены – хаотично , то говорят, что величины некоррелированные т.е. у них нет устойчивой связи в вероятном смысле. Качественной характеристикой степени статической связи служит их ковариационный момент или корреляционный момент ,определяемый как среднее значение произведения :

(8) иногда вводят безразмерный коэффициент корреляции:

(9) если

Если размерность случайного вектора больше двух, то можно построить всевозможные перекрестные корреляционные моменты

(11)

И коэффициент корреляции :

(12) (13)

Случайные величины статически независимы.

(14)

Функциональные преобразования многомерных случайных величин.

Пусть и причём известны обратные функции и .

Чтобы обобщить формулу (24) лек №13 на многомерный случай введём выражение:

(15) называемое якобиан, который служит коэффициентом пропорциональности между элементарными объёмами при функциональном преобразовании, т.е. если задана величина

(16)

Случайный процесс X(t) – это особого вида функция характеризующаяся тем, что в любой момент времени t принимаемые ею значения являются случайными величинами.