2.2. Скалярное произведение векторов

Основные теоретические сведения. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается:

.

Если заданы координаты векторов , то

, -

координатная форма скалярного произведения.

Свойства и приложения скалярного произведения векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

2.3. Векторное произведение векторов

Основные теоретические сведения. Векторным произведением векторов и называется вектор , обладающий следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. вектор направлен так, как направлен винт при вращении его по кратчайшему расстоянию от первого перемножаемого вектора ко второму.

Если заданы координаты векторов , то

или ,

где - единичные векторы на осях ОХ, ОY, OZ.

Свойства и приложения векторного произведения векторов:

1. ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) - площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

7) - площадь треугольника, построенного на векторах и .

2.4. Смешанное произведение векторов

Основные теоретические сведения. Если вектор умножить векторно на вектор , а потом получившийся вектор скалярно умножить на вектор , то полученное число называется смешанным произведением трех векторов.

Обозначается: .

Если известны координаты векторов , то

.

Приложения смешанного произведения:

1) модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах, т.е. - объем параллелепипеда;

- объем пирамиды, построенной на векторах ;

2) векторы компланарны тогда и только тогда, когда .

Тема 2. Элементы аналитической геометрии

Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой. Прямая в пространстве. Плоскость в пространстве. Их взаимное расположение.

Пример 5:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3, 4):

а) параллельно прямой 2x-5y+1=0,

b) перпендикулярно прямой 2x-5y+1=0.

Решение.

а) 2x-5y+1=0; .

.

Если прямые параллельны, то .

Используем уравнение y-y₁=k(x-x₁), где , М(3, 4).

y-4= (x-3);

5(y-4)=2(х-3);

2x-5y+14=0.

b) Если прямые перпендикулярны, то .

;

;

.

Пример 6:

Составим уравнения прямой А₁, А₂.

А₁(2, 0, 3), А₂(-1, 0, 8), А₃(0, 2, 4).

Воспользуемся уравнениями прямой, проходящей через две точки в пространстве:

;

- уравнения прямой A₁A₂.

Эта прямая лежит в плоскости (т.е. в плоскости OXZ) и ее уравнения можно записать так:

.

Пример 7:

Составить уравнение плоскости А₁А₂А₃, если А₁(2, 0, ,3), А₂(-1, 0, 8), А₃(0,2,4).

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

,

,

.

Раскроем определитель:

(x-2)∙0+y∙5∙(-2)+(z-3)∙(-3)∙2-(z-3)∙0-(x-2)∙2∙5-y∙(-3)∙1=0;

-10(x-2)-7y-6(z-3)=0;

-10x-7y-6z+38=0 –

уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Литература [ 3]

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется направляющим вектором прямой?

2. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости?

3. Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки?

4. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три точки?