1.2. Системы линейных уравнений

Правило Крамера решения систем линейных уравнений. Рассмотрим систему:

,

где

- главный определитель;

, - вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (₁) и при y (₂) колонкой свободных членов.

Решение системы по правилу Крамера имеет вид:

.

Для систем трех уравнений с тремя неизвестными

правило Крамера имеет вид:

,

где

Матричный метод решения систем линейных уравнений. Для систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными

введем следующие обозначения:

, .

В этих обозначениях система уравнений примет вид: .

Если определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу , которая может быть вычислена по следующей формуле:

, где ─ алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы A.

Умножим обе части матричного уравнения слева на :

- решение системы.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений заключается в приведении системы уравнений к треугольному виду путем элементарных преобразований уравнений системы, к которым относятся:

- перестановка двух уравнений;

- умножение обеих частей одного из уравнений на ненулевое число;

- прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения.

Две системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Элементарные преобразования переводят данную систему в эквивалентную ей.

2. Элементы векторной алгебры

2.1. Линейные операции над векторами. Координаты точки. Координаты вектора

Основные теоретические сведения. Вектором называется направленный отрезок прямой или упорядоченная пара точек (про которые известно, какая первая – начало, какая вторая – конец).

Обозначают: или .

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными: .

Действия над векторами

В геометрической форме:	В координатной форме:
1. Сложение
а) правило параллелограмма б) правило треугольника
2. Вычитание
3. Умножение вектора на число
	, k- число

Если , то

1. - длина вектора;

2. .

Если заданы две точки A(x₁, y₁, z₁) , B(x₂, y₂, z₂), то

1. 

2. если , тогда координаты точки С, делящей отрезок в заданном отношении, находятся по формулам:

В частности, если С – середина отрезка, то

.