Практическое занятие №12.Операции над предикатами и кванторами

Все логические операции логики высказываний справедливы и для предикатов (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция). Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием, а переменную, к которой он относится, называют связанной иначе свободной. Например, в предикате x A(x, y)z B(c, z) переменные x и z - связанные, а переменные у и z – свободные.

Чаще всего используют два вида кванторов:

Название	Прочтение	Обозначение
Квантор общности	«все», «всякий», «каждый», «любой»	
Квантор существования	«существует», «найдется», «хотя бы один»	

Пусть задан одноместный предикат P(x) на множестве Х = {a₁, a₂, a₃, a₄}, тогда:xP(x)=P(a₁)&P(a₂)&P(a₃)&P(a₄); xP(x)=P(a₁)P(a₂)P(a₃)P(a₄).

Говорят, что у квантора всеобщности конъюнктивная природа, а у квантора существования – дизъюнктивная. Квантор уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает трёхместный предикат в двухместный, двухместный — в одноместный, одноместный — в высказывание.

Примеры выполнения заданий

1. Пусть предикат q(X,y) определен на конечных множествах:

X={a₁,a₂,a₃, a₄, a₅}, Y={b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆} и имеет таблицу истинности:

X	Y
	b1	b2	b3	b4	b5	b6
a1	И	И	Л	Л	И	Л
a2	Л	Л	Л	И	И	Л
a3	И	И	Л	Л	И	И
a4	Л	И	Л	Л	И	И
a5	И	И	И	И	И	И

С помощью кванторов общности и существования постройте высказывания и определите их истинность.

Решение. Результат применения кванторов общности и существования по xX:

xQ(x,y)	Y
	b1	b2	b3	b4	b5	b6
	Л	Л	Л	Л	И	Л
xQ(x,y)	И	И	И	И	И	И

Результат применения квантора общности по yY: X yQ(x,y) a1 Л a2 Л a3 Л a4 Л a5 И

Результат применения квантора существования по yY: X yQ(x,y) a1 И a2 И a3 И a4 И a5 И

Применив кванторы общности и существования повторно, получим восемь высказываний (0-арных предикатов), представленных в таблице:

Высказывание	Значение истинности
yx Q(x, y)	Л
yx Q(x ,y)	И
yx Q(x ,y)	И
xy Q(x ,y)	И
xy Q(x ,y)	И
xy Q(x ,y)	И