0. Регрессионный анализ.

Корреляционный анализ позволяет установить отсутствие или наличие связи между факторами и исследуемым параметром объекта, силу и форму этой связи. Однако остается не выясненным вопрос, какой математической зависимостью может быть описана эта корреляционная связь. Ответ на этот вопрос дает регрессионный анализ.

Задачей регрессионного анализа является установление вида эмпирических зависимостей, отражающих связи между характеристиками изучаемого объекта, и оценку адекватности построенных зависимостей. При наличии корреляционной зависимости между y и x в виде уравнения

y = f (x)

его принято в регрессионном анализе называть уравнением регрессии y на x, функцию f (x) – регрессией y на x.

Различают однофакторную и многофакторную регрессионные зависимости. Однофакторная регрессия может быть аппроксимирована прямой линией, параболой, гиперболой, показательной функцией, полиномом и др. Если параметр y является функцией от нескольких факторов, ее графическое представление будет иметь вид n‑мерной поверхности.

Проведение регрессионного анализа рассмотрим на примере однофакторного регрессионного анализа. Такой анализ имеет широкое практическое применение в технологии машиностроения. В частности, он используется при исследовании зависимости жесткости узлов станка от нагрузки, исследовании зависимостей высоты шероховатостей обработанной поверхности от какого-либо фактора режима резания, стойкости режущего инструмента, устойчивости технологического процесса во времени и т. д.

Методика однофакторного регрессионного анализа включает в себя выполнение следующих процедур.

• Построение корреляционного поля. Эта процедура сводится к нанесению в плоскости XY точек результатов эксперимента.

• Проведение визуального анализа полученного поля. По тесноте и характеру расположения точек можно ориентировочно судить о виде регрессионной зависимости между параметром y и его фактором x.

В случае большого объема экспериментальных данных вместо корреляционного поля строится эмпирическая линия регрессии. Для этого диапазон изменения фактора x разбивается на произвольное число равных интервалов. Для каждого интервала определяется среднее значение исследуемого параметра y

, i = 1, 2, …, n,

где - среднее арифметическое значение параметра y в i – й группе;

y_ij – j‑е значение параметра y в i – й группе; n – число групп, m – число значений параметра y в i – й группе.

Далее на плоскости XY наносят точки средних значений , (i = 1, 2,…, n) и соединяют их отрезками прямых линий. Полученная ломаная линия является эмпирической линией регрессии. Ее вид позволяет принять решение о виде теоретической регрессионной зависимости между параметром y и его фактором x.

• Аппроксимация в соответствии с видом эмпирической линии регрессии ее теоретической регрессионной зависимостью, например

линейной ;

параболой второго порядка ;

параболой третьего порядка ;

гиперболой и др.

• Определение неизвестных коэффициентов a_i выбранной регрессионной зависимости. Обычно определение коэффициентов регрессионной зависимости осуществляют методом наименьших квадратов, согласно которому сумма квадратов отклонений теоретических значений исследуемого параметра от экспериментальных должна быть минимальной.

• Проверка адекватности теоретической регрессионной зависимости. Она в зависимости от условий (малый или большой объем выборки и др.) может осуществляться с использованием критериев Фишера (для малых выборок), Пирсона, Романовского и др.

Сущность проверки на адекватность заключается в сопоставлении результатов расчета по полученной теоретической модели (регрессионной зависимости) исследуемого параметра объекта с экспериментальными данными. Для этого рассчитывается экспериментальное (опытное) значение критерия, например, Фишера k_э и сравнивается с его теоретическим (табличным) k_т, выбираемым при требуемой доверительной вероятности p ( обычно p = 0,95). Если k_э< k_т – модель адекватна, в противном случае – модель неадекватна.

Опытное значение критерия Фишера k_э вычисляется по формуле

,

где – дисперсия адекватности; – средняя дисперсия всех результатов эксперимента. Эти дисперсии определяются по формулам [3]:

; ,

в которых y_iТ, y_iэ – теоретические и опытные значения параметра y в i – й группе;

, - опытное среднее арифметическое значение параметра y в i – й группе;

d – число коэффициентов теоретического уравнения регрессии.

Значение k_т принимается из таблицы, приводимой во многих литературных источниках по математической статистике. Входными данными для выбора теоретического значения критерия Фишера являются уровень доверительной вероятности p и числа f₁, f₂ степеней свободы, определяемые как f₁ = n-d и f₂= n(m-1).