§ 5. Решения некоторых дополнительных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям

• 1. Сфера применения дифференциальных уравнений

• 2. Составление дифференциального уравнения по условию задачи

• 3. Алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений

• 4. Дополнительные задачи на составление дифференциальных уравнений

1. Сфера применения дифференциальных уравнений

Широкое распространение дифференциальных уравнений в естествознании объясняется тем, что многие явления и процессы, происходящие в природе, количественно описываются обыкно­венными дифференциальными уравнениями.

406

В настоящее время диапазон применения дифференциальных уравнений очень широк. С их помощью решаются задачи мате­матики, физики, химии, биологии, электротехники, радиоэлек­троники, экономики, технологии производства и многих других сфер человеческой деятельности.

Дифференциальные уравнения возникают в тех случаях, когда исследуются процессы, в описании которых используются такие величины, как скорость (быстрота) протекания процесса,

изменение скорости и т. п. С помощью дифференциальных уравнений или систем таких уравнений можно создать математическую модель изучаемого физического, химического или биологического процесса. Реше­ние этих уравнений позволяет предсказать свойства изучаемого явления и прогнозировать конечный результат. Правда, это возможно лишь в том случае, когда составленное дифференциальное уравнение совершенно точно и полно отра­жает физическую, химическую или биологическую сущность явления. Составить, а тем более решить такие уравнения удается далеко не всегда. Поэтому часто дифференциальные уравнения оказываются приближенными, описывающими лишь частный случай изучаемого процесса.

2. Составление дифференциального уравнения по условию задачи

Рассмотрим конкретные задачи, решение которых приводит к интегрированию дифференциальных уравнений.

При решении этих задач сначала составляют дифференци­альное уравнение, которое затем решают тем или иным способом в зависимости от его типа.

Составление дифференциальных уравнений по условию зада­чи напоминает составление алгебраических уравнений.

Дифференциальное уравнение задачи составляют по ее усло­вию и в зависимости от этого условия оно получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции.

При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между дифференциалами переменных можно делать различные допущения, упрощающие задачу и вместе с тем не отражающиеся на результатах.

Например, как и при отыскании дифференциала неизвестной величины, здесь можно небольшой участок кривой считать пря­молинейным, небольшой участок поверхности — плоским, пере­менное движение в течение малого промежутка времени можно рассматривать как равномерное, а всякий физический, хими­ческий или технический процесс — как протекающий с неизмен­ной скоростью. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между производными используют

407

геометрический, физический или механический смысл произвол ной.