4. Формула полной вероятности

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий Hi, Н₂, ... Н_n называемых гипотезами. Тогда справедлива следующая формула полной вероятности:

т. е. вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Докажем это. По условию, событие А может произойти лишь вместе с одним из событий Н\, Hz, …, Н_п. Следовательно,

Так как события Hi...H„ попарно несовместны, то несовместны и события AH₁, АН₂, ..., АН_п. Поэтому, применяя теорему сложе­ния, находим

Заменив каждое слагаемое на получим

74. Имеется три партии ламп по 20, 30. 50 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время?

75. Имеется две одинаковых урны. Первая содержит 2 черных и 3 белых шара, вторая 2 черных и 1 белый шар. Сначала произвольно выбирают урну, а затем из нее наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар?

435

76. С первого станка на сборку поступает 40 % изготовленных деталей, со второго — 30 %, а с третьего -30%. Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка равна соответственно 0,01; 0,03; 0,05. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь оказалась бракованной.

77. Стрельбу в цель ведут 10 солдат. Для пяти из них вероятность попадания 0,6, для трех — 0,5 и для остальных 0,3. Какова вероятность поражения цели?

78. Имеется пять винтовок, три из которых с оптическим при­ целом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прицела — 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

§ 4. Случайные величины

• 1. Формула Бернулли

• 2. Закон распределения случайной величины

• 3. Биномиальное распределение

1. Формула Бернулли

Рассмотрим задачу, в которой проводятся повторные неза­висимые испытания с двумя исходами.

79. Стрелок выполняет три попытки. Успех (попадание в цель) и неуспех (промах) каждой из них не зависит от исходов других попыток, а вероятность успешного завершения каждой попытки постоянна и равна р. Найти вероятность успешного завершения двух попыток из трех.

436

На этом примере мы познакомились с общей схемой, которая впервые была рассмотрена швейцарским математиком Я. Бернулли, и называется схемой Бернулли.

В общем случае эта схема приводит к формуле

которая называется формулой Бернулли.

80. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что при этом герб выпадет ровно три раза?

81. Вероятность того, что лампа останется неисправной после 1000 ч работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными после 1000 ч работы?

82. Самолет имеет 4 двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя равна 0,95. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном из двигателей.

83. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение 5 дней из 7 перерасхода элек­троэнергии не произойдет?

84. Для нормальной работы на линии должно быть не менее 8 автобусов, а их имеется 10. Вероятность невыхода каждого автобуса на линию раина 0,1. Найти вероятность нормальной работы в ближайший день.

437

85. В цехе имеется три резервных мотора, работающих неза­висимо друг от друга. Для каждого мотора вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,2. Какова вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один мотор?

86. При испытаниях по схеме Бернулли вероятность ровно двух успехов в трех испытаниях в 12 раз больше, чем вероят­ность трех успехов. Найти вероятность успеха в каждом испы­тании.