1. Криволинейная трапеция и ее площадь

Определение 1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрица­тельной функции , прямыми и отрезком оси Ох. Как вычислить площадь криволинейной трапеции? Рассмот­рим криволинейную трапецию CHKD (рис. 139), у которой абсцисса точки С равна х, а абсцисса точки D равна х+ х. Пусть график функции f(x) пересекает ось ординат в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площадей криволинейных трапеций OAKD и ОАНС. Так как площадь криволинейной трапеции ОАНС зависит от х, то ее мож­но обозначить символом . Аналогично, площадь криволиней­ной трапеции OAKD есть функция от и ее можно обозна­чить символом . Поэтому площадь криволинейной тра­пеции CHKD равна разности и и может быть обо­значена символом

Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого из них равна f(x) x, а площадь второго равна _. Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньше площади прямоугольника CHED и не больше площади прямо­угольника CMKD, можно записать неравенство

Разделим обе части этого неравенства на и найдем пре-

318

Итак, производная площади криволинейной трапеции равна функции, задающей верхнюю границу трапеции.

Поэтому площадь криволинейной трапеции есть одна из пер­вообразных функции, задающей верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования:

221. Используя равенство , вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х², х=1, х=2, у = 0.

319

2. Вычисление площади криволинейной трапеции

320

3. Определение определенного интеграла

11-1356 321

Это приращение принято называть определенным интегралом.

Равенство (2) называется формулой Ньютона—Лейбница.

Все методы интегрирования, используемые при нахождении неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных интегралов. Числовое значение определенного интеграла зависит от вида функции, стоящей под знаком интег­рала, и от значений верхнего и нижнего пределов и не зависит от обозначения переменной.

322

229—237. Вычислить определенные интегралы:

Если формулу Ньютона —Лейбница сравнить с формулой (1), то очевидно, что и есть площадь криволинейной трапеции, определяемой графиком функции на отрезке [а, Ь].

Таким образом, если функция положительна, то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции. В этом заключается геометрический смысл определен­ного интеграла.

Тогда площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле

238. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограничен­ной осью Ох, прямыми х=—1, х = 2 и параболой (рис. 146).

Решение. Так как на отрезке [ — 1, 2] функция принимает положительные значения, то для вычисления искомой площади 5

11* 323

воспользуемся формулой (3):

Применяя формулу Ньютона — Лейбница, находим

324