7. Основные элементарные функции

Основные элементарные функции подробно изучались в школе. Напомним кратко основные свойства некоторых из них.

1 Линейная функция — действительные

числа. Область определения множество всех действительных

чисел! Графиком линейной функции является прямая (рис. 82).

Если 6 = 0, то ; эта функция выражает прямую про-порциональную зависимость между х и у. В этом случае прямая проходит через начало координат (рис. 83).

Угловой коэффициент k равен , где— угол, образован-

ный прямой с положительным направлением оси абсцисс.

Функция возрастает, если k>0 (угол — острый; рис. 83); функция убывает, если k<0 (угол тупой; рис. 84).

При k = Q получаем постоянную функцию y=b (рис. 85); в частности, если k = 0 и b = 0, то у = 0 (ось абсцисс).

Рассмотрим вопрос о четности и нечетности линейной функ­ции.

Если k = 0, то , т. е. в этом случае функция

четная.

Если 6 = 0, то , т. е. в этом случае функция нечетная.

Если k 0, b 0 то , т. е. в этом

случае функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Степенная функция , где п — любое действительное

число.

179

При n = 3 получим функцию у=х³, графиком которой является кубическая парабола (см. рис. 74).

Отметим некоторые свойства функции

Область определения —- множество всех действительных сел. Функция нечетная, так как . Функция возрастает во всей области определения.

Степенная функция в случае, когда п — четное число

обладает теми же свойствами, что и функция , а в случае,

когда п — нечетное число, — теми же свойствами, что и функ­ция

При п=1 получим функцию которая выражает обратную пропорциональную зависимость между х и у. Графиком функции является гипербола (рис. 86).

Отметим некоторые свойства функции _.

Область определения - множество всех действительных чи­сел, кроме x = 0. Функция нечетная, так как

. Функция убывает при и при

3. Показательная функция у = а^х, где основание степени a — данное положительное число, не равное единице, а показатель степени х — переменная величина, которая может принимать любые действительные значения.

Основание степени а считается отличным от единицы, так как а= 1 степень 1^х при всяком значении х равна 1. т.е. функция становится не зависящей от х. Кроме того, предполага­ется а>0, поскольку при а<0 для ряда значений х функция не существует. Например, при а=-9 и х=1/2 имели бы а^х = (—9)^1/2 = , а это есть мнимое выражение.

Функция у = а^х определена для всех действительных знаний, т.е.

Областью изменения функции служит интервал график находится в верхней полуплоскости (см. рис. 78).

Свойствами четности и нечетности функция не обладает

Функция является монотонной; она возрастает при а>1 и убывает при 0<а<1.

График проходит через точку (0; 1), так как

4. Логарифмическая функция _.Эта функция является обратной по отношению к показательной функ- ции, так как если , то . Отсюда следует, что

180

фик логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно биссектрисы I и III координатных углов (см. рис. 78).

Область определения логарифмической функции — множе­ство всех положительных чисел, т. е. (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).

Область значений функции — множество всех действительных чисел.

Свойствами четности и нечетности функция не обладает.

181